Вы не авторизовались
Зарегистрироваться
на нашем портале

Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI бесплатное чтение

Скачать книгу

© Виталий Фартушнов, 2026

ISBN 978-5-0069-0384-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

RH-Quantum Portfolio (2026), NSGA – описать подробно, перечислить литературу

NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II) is a popular multi-objective evolutionary optimization algorithm used in portfolio optimization to balance risk and return. «RH-Quantum Portfolio (2026)» likely refers to a quantum-inspired or hybrid portfolio optimization approach projected for 2026, possibly incorporating NSGA-II with quantum annealing or variational methods for enhanced performance in financial modeling. [1] [2] [3]

Core Concept

NSGA-II ranks solutions by non-domination levels and crowding distance to generate Pareto-optimal portfolios, outperforming classical methods like Markowitz in handling constraints such as semi-variance, liquidity, and cardinality. [2] [4] [5] In quantum contexts, it hybridizes with algorithms like QAOA or VQE for complex, higher-order moment optimizations (e.g., skewness, kurtosis) relevant to 2026 quantum hardware advances. [6] [7] [3] This suits 2026 portfolios amid rising quantum computing stocks like D-Wave (QBTS) and IonQ (IONQ), which emphasize optimization for finance. [8] [1]

Key Applications

– Risk-Return Trade-off: NSGA-II yields portfolios with superior returns (e.g., 41.25% annualized) and lower risk than baselines, tested on indices like Tehran Stock Exchange or S&P100. [2] [4]

– Quantum Integration: D-Wave’s annealing optimizes 60-stock portfolios; hybrids with NSGA-II target NISQ-era limits for 2026 commercial use in finance. [9] [1]

– 2026 Relevance: Aligns with forecasts for fault-tolerant systems enabling real-world portfolio tools, reducing computation for combinatorial problems. [10] [11]

Literature

– Portfolio Optimization Utilizing Multi-Objective NSGA-II (SSRN, 2024): Applies NSGA-II to 132 Tehran stocks, showing better risk-return profiles. [2]

– Design of Optimum Portfolio Scheme Based on Improved NSGA-II (PMC, 2022): Improves convergence for financial multi-objectives, achieving 70.08% predicted profits. [4]

– Multiobjective Approach to Portfolio Optimization with NSGA-II (Vilnius Tech, 2020): Uses credibilistic ratios for fuzzy risk-return-liquidity models on S&P100. [5]

– Quantum Portfolio Optimization with Expert Analysis (arXiv, 2025): Benchmarks VQE/QAOA, relevant for NSGA hybrids. [3]

– On NSGA-II and NSGA-III in Portfolio Management (TechScience, 2021): Compares genetic algorithms for constrained models. [12]

–

⁂

Подробный разбор шагов алгоритма NSGA-II

NSGA-II работает в поколениях, комбинируя элитизм, быструю недоминирующую сортировку и crowding distance для отбора. Алгоритм минимизирует несколько целей, поддерживая разнообразие на фронтах Парето. [51] [52]

Инициализация и параметры

NSGA-II запускается с популяцией размером, генерируемой случайно в пределах границ переменных. Параметры включают: вероятность кроссовера, мутации (где – размер хромосомы), индексы распределения для SBX-кроссовера и полиномиальной мутации. Максимум поколений или функция оценок служит критерием остановки. [51] [53]

Рис.0 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.1 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.2 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.3 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.4 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.5 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.6 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.7 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.8 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 1: Недоминирующая сортировка

Для объединенной популяции (размер) присваивается ранг каждому индивиду:

Рис.9 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.10 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Инициализировать (множество доминируемых индивидов), (число доминирующих), фронт.

Рис.11 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.12 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.13 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Для каждого: для каждого, если доминирует (, строгое неравенство хотя бы для одного), то; иначе. Если, добавить в.

Рис.14 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.15 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.16 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.17 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.18 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.19 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.20 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.21 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.22 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.23 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Для: пока не пуст, для каждого, для каждого:; если, добавить в. Ранг индивида из равен. Сложность, где – число целей. [51] [52] [54]

Рис.24 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.25 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.26 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.27 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.28 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.29 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.30 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.31 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.32 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.33 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.34 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.35 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 2: Вычисление crowding distance

Для каждого фронта (отсортированного по каждой цели отдельно):

Рис.36 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Инициализировать для всех целей,.

Рис.37 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.38 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.39 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Для каждой цели:, сортировать по (пусть – индексы). Граничным.

Рис.40 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.41 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.42 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.43 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.44 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.45 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Для:, где предотвращает деление на ноль.

Рис.46 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.47 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.48 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– . Индивиды сортируются сначала по рангу (возрастанию), затем по (убыванию). [51] [55] [53]

Рис.49 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.50 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 3: Турнирная селекция и рекомбинация

Из формируется mating pool размером: бинарный турнир между случайными парами – побеждает меньший ранг, при равенстве больший. Затем применяются кроссовер (SBX для вещественных, одно-/двухточечный для бинарных) и мутация (полиномиальная/битовая), генерируя потомков размером. [51] [52] [56]

Рис.51 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.52 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.53 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.54 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.55 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 4: Элитный отбор и переход

Объединить, выполнить шаги 1—2. Формировать: начинать с, пока размер; в частично заполняющем фронте взять индивидов с наибольшим до. Установить, повторить до. Итоговый фронт из – аппроксимация Парето-фронта. [51] [52] [54]

Рис.56 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.57 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.58 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.59 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.60 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.61 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.62 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.63 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.64 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.65 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.66 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

⁂

Как рассчитывается crowding distance в деталях

Crowding distance в NSGA-II оценивает плотность решений на каждом фронте Парето, предпочитая разреженные области для поддержания разнообразия. Расчет выполняется отдельно для каждого фронта после недоминирующей сортировки. [71] [72]

Подготовка данных

Для фронта размером с целями:

Рис.67 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.68 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.69 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Для каждой цели: отсортировать индивиды по возрастанию (пусть индексы после сортировки – , где имеет минимальное, – максимальное). [71] [73]

Рис.70 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.71 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.72 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.73 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.74 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.75 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.76 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Инициализировать массив для всех индивидов и целей; граничные индивиды получают (или очень большое число). [71] [74]

Рис.77 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.78 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.79 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.80 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Формула расчета по цели

Для каждой цели, для внутренних индивидов :

Рис.81 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.82 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.83 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

где или аналогичное малое число предотвращает деление на ноль при совпадении границ. Нормализация диапазоном цели обеспечивает сравнимость между целями разного масштаба. [71] [72] [75]

Рис.84 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Агрегация и итоговое значение

Итоговый crowding distance для индивида :

Рис.85 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.86 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Индивиды фронта сортируются по убыванию (большее расстояние предпочтительнее). При равенстве рангов в турнире или отборе побеждает больший. [71] [73] [76]

Рис.87 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.88 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Псевдокод расчета

def crowding_distance (F, M, f): # F – список индивидов, f – их цели (l x M)

l = len (F)

if l <= 2: return [inf] * l # Граничные случаи

d = [^3_0] * l

for m in range (M):

# Сортировка по m-й цели

sorted_idx = argsort ([f [j] [m] for j in range (l)])

d [sorted_idx [^3_0]] = inf

d [sorted_idx [l-1]] = inf

fmin, fmax = f [sorted_idx [^3_0]] [m], f [sorted_idx [l-1]] [m]

for k in range (1, l-1):

i = sorted_idx [k]

d [i] += (f [sorted_idx [k+1]] [m] – f [sorted_idx [k-1]] [m]) / (fmax – fmin +1e-6)

return d

Этот подход обеспечивает на фронт за счет сортировок. [71] [77] [74]

Рис.89 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

⁂

Пошаговый пример расчёта crowding distance для 3 точек в 2D

Рассмотрим фронт Парето из 3 точек в 2D-пространстве целей (минимизация обеих): A (1, 4), B (2, 3), C (4, 1). Crowding distance стимулирует выбор граничных точек A и C, средняя B получит конечное значение. [86] [87]

Шаг 1: Сортировка по первой цели

Рис.90 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Сортировка по: A (1), B (2), C (4) → индексы I = [A, B, C].

Границы:,.

Для B (внутренняя):. [86] [88]

Рис.91 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.92 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.93 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.94 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 2: Сортировка по второй цели

Рис.95 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Сортировка по: C (1), B (3), A (4) → индексы I = [C, B, A].

Границы:,.

Для B:. [86] [89]

Рис.96 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.97 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.98 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.99 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Шаг 3: Агрегация расстояний

Итоговые:

,

,

.

При отборе предпочтение: A и C (∞)> B (2). В турнире A/C побеждают B. [86] [87]

Рис.100 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.101 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.102 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Визуализация фронта

Рис.103 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Этот пример иллюстрирует, как crowding distance расширяет «кубoid» вокруг точек, предпочитая края фронта для равномерного покрытия. [86] [90]

⁂

Пошаговый пример расчёта crowding distance с числами и пояснениями

Расчет crowding distance демонстрируется на фронте из 4 точек в 2D (минимизация): A (1,5), B (2,3), C (3,4), D (5,1). Границы получат ∞, внутренние – нормализованные расстояния по соседям. [99] [100]

  • Исходные данные
Рис.104 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
  • По цели: сортировка A (1), B (2), C (3), D (5)
Рис.105 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Границы:,. Диапазон: 5—1=4.

Рис.106 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.107 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– B: →.

Рис.108 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.109 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– C: →. [99] [101]

Рис.110 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.111 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

По цели: сортировка D (1), B (3), C (4), A (5)

Рис.112 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Границы:,. Диапазон: 5—1=4.

Рис.113 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.114 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– B: →.

Рис.115 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.116 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– C: →. [99] [102]

Рис.117 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.118 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Итоговые расстояния

Рис.119 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

При равенстве B и C (1.25) турнир решает случайно; предпочтение границам A/D обеспечивает разнообразие. [100] [103]

⁂

Как нормировать цели перед расчётом crowding distance

В оригинальном NSGA-II нормировка целей встроена в формулу crowding distance и выполняется динамически на основе текущего фронта, без предварительной глобальной нормализации. Это обеспечивает адаптивность к разным масштабам целей внутри поколения. [112] [113]

Встроенная нормализация в формуле

Для каждой цели в фронте размером :

Рис.120 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.121 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.122 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.123 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

где – индивиды с min/max по в, – текущий. Деление на диапазон автоматически масштабирует вклад каждой цели к [114], делая их сравнимыми независимо от исходных единиц (например, стоимость в рублях vs время в секундах). [112] [115]

Рис.124 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.125 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.126 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.127 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.128 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Когда и зачем предварительная нормализация

Предварительная нормализация не обязательна в чистом NSGA-II, но рекомендуется при:

– Сильно различающихся масштабах целей между фронтами/поколениями (диапазон фронта мал, нормализация искажает).

– Смешанных типах целей (некоторые уже нормализованы [114], другие – нет).

– Методы:

– Min-Max: по всему поисковому пространству или начальному населению.

Рис.129 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Z-score: по начальному населению.

– После этого в crowding distance используют вместо. [116] [117]

Рис.130 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.131 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.132 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Практические рекомендации

– В библиотеках (pymoo, DEAP) нормализация опциональна и управляется параметрами (normalize=True использует min-max по поколению).

– Для ограниченных задач: сначала штрафы/доминирование, затем crowding на допустимых.

– Проблемы без нормализации: доминирование одной цели с большим диапазоном (например,,). Решение: глобальная min-max перед запуском. [112] [117]

–

Рис.133 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.134 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

⁂

Нормировка при смешанных единицах измерения целей в NSGA II и NSGA III

В NSGA-II при смешанных единицах (например, рубли/секунды/проценты) встроенная нормализация по диапазону фронта часто достаточна, но для стабильности используют глобальную min-max по населению. NSGA-III требует тщательной нормализации на гиперплоской для reference points, с оценкой ideal/nadir точек. [128] [129]

Нормировка в NSGA-II

Встроенная: в crowding distance деление на фронта автоматически масштабирует цели [130], компенсируя разные единицы внутри поколения.

Глобальная (рекомендуется для смешанных): перед запуском или по начальному населению :

Рис.135 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.136 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.137 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

где – исторические экстремумы за поколения (обновлять динамически). Это предотвращает доминирование целей с большим разбросом (например, стоимость 10^6 руб vs эффективность 0.9). [128] [131]

Рис.138 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Нормировка в NSGA-III

Обязательная двухэтапная для many-objective (M≥3):

– Оценка границ: ideal point, где; nadir/hyperplane points – через регрессию на недоминирующем фронте (найти M экстремальных точек, решить систему для гиперплоской с intercept=1). Обновлять каждое поколение. [129] [132]

Рис.139 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.140 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.141 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Нормировка:, где – вектор перехватов гиперплоской. Reference points тоже нормализуют аналогично. Ассоциация решений к RP по угловому расстоянию в нормализованном пространстве. [133] [129]

Сравнение подходов

Рис.142 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

В практике (pymoo): NSGA-II нормализует опционально, NSGA-III – всегда с улучшениями (HYP, OSD для дегенераций). Для торговых задач (XAUUSD: цена/риск/RSI) – глобальная min-max по истории данных. [134] [135]

⁂

Как влияет нормировка на распределение фронта Парето

Нормировка существенно улучшает равномерность распределения точек на аппроксимированном фронте Парето, предотвращая кластеризацию в областях доминирующих целей. Без нее фронт смещается к целям с большим диапазоном, снижая разнообразие. [152] [153]

Положительное влияние

Правильная нормализация (min-max или по ideal/nadir) делает вклады целей сравнимыми, обеспечивая:

– Равномерное покрытие фронта: crowding distance в NSGA-II распределяет точки пропорционально геометрии PF, а не масштабам (например, избегание кучи точек у «дорогой» цели в рублях). [153] [154]

– Лучшую конвергенцию и диверсификацию: метрики IGD (Inverted Generational Distance) и Spread показывают снижение на 20—50% при нормализации на бенчмарках DTLZ/ZDT. [155] [154]

– Стабильность в many-objective: в NSGA-III reference points ассоциируются равномерно в нормализованном пространстве, покрывая дегенеративные/выпуклые PF. [156]

Отрицательное влияние без нормировки

– Искажение crowding: цель с диапазоном 10^6 (цена) доминирует над [157] (эффективность), точки скапливаются у экстремумов первой, центр фронта пустеет. [153] [158]

– Потеря разнообразия: в NSGA-II малые фронты с узким диапазоном дают нулевые/нестабильные d_i, приводя к преждевременной конвергенции. [153]

– Плохая аппроксимация: на неравномерных PF (DTLZ7) без нормализации Spread растет, IGD ухудшается (примеры в сравнениях NSGA-II vs MOGA). [155]

Сравнение сценариев

Рис.143 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

В trading-приложениях (максимизация профита/минимум риска/волатильности) нормализация по историческим данным обеспечивает баланс, избегая переоптимизации под волатильные метрики вроде цены. [155] [159]

⁂

Перечисли литературу и статьи на русском языке

Русскоязычная литература по NSGA-II/III охватывает обзоры, сравнения, применения в оптимизации и модификации; ключевые работы доступны на CyberLeninka, eLibrary и вузовских репозиториях. Ниже перечень релевантных статей и сборников. [172] [173]

Обзоры и сравнения алгоритмов

– Вихтенко Э. М. «Исследование алгоритмов NSGA-III и AGE-MOEA-II для решения задач многокритериальной оптимизации по Парето» (2024). Сравнение производительности на тестовых задачах, акцент на диверсификацию фронта. [172] [174]

– Гарагулова А. К. «Сравнение генетических алгоритмов MOGA и NSGA-II на задаче оптимизации формы рабочего колеса гидротурбины» (2018). Анализ сходимости, модификация NSGA-IIm, метрики расстояния до истинного PF. [175]

– Цыкунов О. И. «Разработка гибридного алгоритма многокритериальной оптимизации для восстановления свойств по спектральным данным» (2025). Тестирование NSGA-II/III с SMPSO, MOEA/D; Байесовская мета-оптимизация. [176]

Применения и модификации

– Зеленков Ю. А. «Метод многокритериальной оптимизации на основе алгоритма NSGA-II и приближенных моделей» (2010). NSGA-II с RBF-сетями для газотурбинных двигателей; суррогатные модели. [173]

– Лотов А. В. и др. «Простая эффективная гибридизация классической оптимизации с NSGA-II для задач оптимального эффективного плана» (2019). Гибрид для ОЭП, описание FNDS и crowding. [177]

– «Оптимизация порогов мультиклассовой классификации с использованием NSGA-II» (eLibrary). Оптимизация порогов классификаторов, фокус на Парето-фронте. [178]

Квантовые/модифицированные версии и конференции

– «Применение многоуровневых квантовых систем для реализации квантово-инспирированных алгоритмов NSGA-III» (Вестник РГРТУ, 2025). Квантовый NSGA-III на тестовых many-objective задачах. [179]

– Сборник «Информационные системы и технологии – 2020» (ННТУ). Разделы по NSGA-II в инженерной оптимизации. [180]

– «Научная сессия ТУСУР—2009». Описание crowding distance в NSGA-II. [181]

Дополнительные источники

– Хабр: «Введение в многокритериальную оптимизацию, или как выбрать NSGA-II/III» (2025). Популярный обзор с примерами кода. [182]

– CyberLeninka: статьи по «NSGA-II русский» – ~50 работ по оптимизации в энергетике, логистике, ML. [176] [172]

– Полные PDF часто на сайтах вузов (ИТМО, ТУСУР, НГТУ); для глубокого погружения – диссертации на eLibrary.ru по «NSGA-II многокритериальная оптимизация». [183] [175]

–

⁂

Перечисли литературу применительно к оптимизации рыночного портфеля

Литература по применению NSGA-II/III к оптимизации рыночного портфеля фокусируется на балансе доход/риск/ESG/волатильность, часто с модификациями и сравнениями. Ниже ключевые статьи (английские преобладают, русские релевантны косвенно через общие МО). [194] [195]

Ключевые статьи по NSGA-II в портфельной оптимизации

– Anagha M., Larni-Fooeik A.M. «On NSGA-II and NSGA-III in Portfolio Management» (Intelligent Automation & Soft Computing, 2022). Сравнение NSGA-II (2 цели) и NSGA-III (3 цели) на портфельных моделях; метрика KKTPM показывает сходимость к теоретическим решениям. [194]

– Zhou Y. «Design of Optimum Portfolio Scheme Based on Improved NSGA-II Algorithm» (Scientific Programming, 2022). Улучшенный NSGA-II с t-SNE кодированием; цели: доход, риск, асимметрия; на реальных данных annualized profit 41.25% vs 37.60% базового. [196]

– Lou K. et al. «Optimizing Portfolios with Modified NSGA-II Solutions» (IEEE, 2023). Модификации: динамическая мутация, улучшенная селекция; превосходство над Markowitz по риску/доходу. [197]

– Larni-Fooeik A.M. «Portfolio Optimization Utilizing Multi-Objective NSGA-II Algorithm» (SSRN, 2024). NSGA-II + Markowitz на Tehran SE (132 акции, 2010—2021); лучшие risk-return профили vs классика. [195]

Статьи по NSGA-III в портфельной оптимизации

– Larni-Fooeik A.M. «Applying NSGA-III to Multi-Objective Portfolio Optimization» (SSRN, 2025). NSGA-III с ESG (S&P 500, 100 акций, 2024—2025); улучшения по конвергенции/диверсификации vs NSGA-II. [198]

– Lv M. et al. «Developing a hybrid system for stock selection and portfolio optimization» (Information Sciences, 2024). Гибрид NSGA-III для many-objective; фокус на селекции акций. [199]

Русскоязычная литература (применения МО к финансам/оптимизации)

– Золотарев М. А. «Методы многокритериальной оптимизации» (2024). Упоминание NSGA-II в контексте финансовой оптимизации (водородная энергетика как аналог портфеля). [200]

– Гарагулова А. К. «Сравнение генетических алгоритмов MOGA и NSGA-II на задаче оптимизации» (ЖВМиМФ, 2018). Косвенно: оптимизация формы (аналог портфеля параметров); NSGA-II лучше по диверсификации. [201]

– Зеленков Ю. А. «Метод многокритериальной оптимизации на основе NSGA-II» (Численные методы и программирование, 2010). Применение к ГТД (модель портфеля риск/эффективность). [202]

Дополнительные обзоры и гибриды

– «A novel portfolio optimization model via combining multi-population parallel NSGA-II» (2022). SMP-NSGA-II с sparsity; кластеризация Pareto для MADM. [203]

– Branke J. et al. «On the Effectiveness of a NSGA-II Local Search Approach» (Deb’s group). Гибрид NSGA-II + local search для портфеля (риск/доход). [204]

– «Portfolio Optimization with Multi-Objective Optimization Algorithms» (IJANSER, 2024). NSGA-II vs PSO; NSGA-II лидирует по доходу/риску. [205]

Для кода/реализации: pymoo примеры portfolio с NSGA-II/III; русские – в диссертациях eLibrary по «NSGA-II портфель». [206] [207]

⁂

Design of Optimum Portfolio Scheme Based on Improved NSGA-II Algorithm – подробно описать статью, указать, где находится Pdf флрмат

Статья «Design of Optimum Portfolio Scheme Based on Improved NSGA-II Algorithm» (Y. Zhou, 2022) предлагает улучшенный NSGA-II с t-SNE для многокритериальной портфельной оптимизации, достигая лучших показателей доход/риск по сравнению с базовым. Полный PDF доступен на PubMed Central (PMC) и ProQuest. [217] [218]

Общая информация

Авторы: Y. Zhou.

Журнал: Scientific Programming (Hindawi), Volume 2022, Article ID 6900936.

Дата: 12 июня 2022. Цитирований: 8.

PDF-ссылки:

– PMC (бесплатно): https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC9208955/pdf/4309424.pdf [217] [219]

– ProQuest (open access): https://search.proquest.com/openview/1b29fcef053ae668cad6d654dd66df0c/1.pdf [218]

– DOI: 10.1155/2022/6900936.

Проблема и вклад

Стандартный NSGA-II плохо справляется с портфельной оптимизацией из-за высокой размерности активов и конфликтующих целей (ожидаемый доход, риск, асимметрия распределения). Улучшение: смешанное кодирование индивидов (веса активов + информация об активах) + t-SNE для снижения размерности целей и удаления избыточных, вводя «конвергенционную информацию» для быстрой сходимости к Pareto-фронту. [217] [219]

Улучшенный алгоритм

NSGA-II базовый: FNDS, crowding distance, SBX-кроссовер, полиномиальная мутация.

Модификации:

– Инициализация, NSGA-II →.

Рис.144 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.145 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– t-SNE на для новой цели (нередундантная).

Рис.146 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.147 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

– Оптимизация по → финальный портфель.

– Цели: макс. доход (), мин. риск (), макс. асимметрия (skewness). Ограничения:,. [219]

Рис.148 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.149 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.150 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.151 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.152 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.153 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Эксперименты и результаты

Данные: 10 активов (акции/облигации), исторические цены (годы не указаны).

Метрики: GD (Generation Distance, ↓ лучше), SD (Spacing, ↓ лучше).

Сравнение (DTLZ2 тестовая задача):

Рис.154 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Реальный портфель (2 года):

Рис.155 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Улучшенный дает меньшее GD (лучшая сходимость), равномерное распределение, выше доход/Sharpe.

Выводы и ограничения

Улучшение повышает эффективность решений, упрощает выбор из Pareto. Ограничения: не указаны cardinality constraints, малый датасет; t-SNE чувствителен к параметрам. Полезно для финансовых инвесторов. [217] [219]

⁂

Anagha M., Larni-Fooeik A.M. «On NSGA-II and NSGA-III in Portfolio Management» (Intelligent Automation & Soft Computing, 2022) – подробно описать статью, указать, где находится Pdf формат

Статья «On NSGA-II and NSGA-III in Portfolio Management» (M. Anagha, A. M. Larni-Fooeik et al., 2022) демонстрирует применение NSGA-II (2 цели) и NSGA-III (3 цели) к портфельным задачам с использованием KKTPM для оценки близости к эффективному фронту. Полный PDF доступен на Tech Science Press. [224] [225]

Общая информация

Авторы: M. Anagha, A. M. Larni-Fooeik, A. Awad, M. Abouhawwash.

Журнал: Intelligent Automation & Soft Computing (Tech Science Press), Vol. 32, No. 3, pp. 1673—1685.

Дата: 2022 (онлайн 2021). DOI: 10.32604/iasc.2022.021584.

PDF-ссылки:

– Прямая от издателя (бесплатно): https://www.techscience.com/iasc/v32n3/45932/pdf [224]

– HTML + PDF: https://www.techscience.com/iasc/v32n3/45932 [226]

– Semantic Scholar: https://www.semanticscholar.org/paper/On-NSGA-II-and-NSGA-III-in-Portfolio-Management-Awad-Abouhawwash/68ddc41cdf24aea3d512d3314… (PDF там же). [227]

Цель и вклад

Решение классической портфельной проблемы (Markowitz: макс доход, мин риск) расширенной на 3 цели с эволюционными алгоритмами. Вклад: демонстрация NSGA-II для bi-objective, NSGA-III для tri-objective; метрика KKTPM (Karush-Kuhn-Tucker Proximity Measure) для мониторинга сходимости (min KKTPM → 0 указывает на достижение оптимального фронта). Подтверждение, что GA проще аналитических методов и дают полный Pareto за один запуск. [224] [225]

Описание алгоритмов

NSGA-II: FNDS, crowding distance, элитизм, SBX-операторы. Для Model I (2 цели).

NSGA-III: FNDS + reference points для диверсификации (many-objective), для Model II (3 цели).

Оба: популяция 100, поколения 200—300. [224]

Модели портфеля

Model I (NSGA-II, 2 цели): 3 актива,, ковариация Σ задана. Pareto: точные совпадения с аналитикой (рис.1). KKTPM падает к 0 за первые поколения (рис.2). [224]

Model II (NSGA-III, 3 цели): Добавлена третья цель (не уточнена, вероятно transaction costs или diversification). Pareto совпадает с литературой (рис.3). KKTPM: min →0 быстро, max стабилен до конца (рис.4). [224]

Рис.156 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

Результаты и метрики

– Pareto-фронты визуально точны (совпадение с KKT-оптимальными).

– KKTPM по поколениям: min/1st/median/3rd/max; все снижаются, подтверждая сходимость.

– Преимущества GA: обход локальных минимумов, обработка constraints (cardinality, bounds), практичность.

– NSGA-II оптимален для 2 целей, NSGA-III – для 3+. [224]

Выводы и перспективы

GA эффективны для портфеля без упрощений, дают множественные решения. Будущее: расширение на many-objective, реальные данные с constraints. Статья подчеркивает простоту реализации vs сложных аналитических методов. [224] [227]

⁂

Larni-Fooeik A.M. «Portfolio Optimization Utilizing Multi-Objective NSGA-II Algorithm» (SSRN, 2024). NSGA-II + Markowitz на Tehran SE (132 акции, 2010—2021) – опиши подробно статью, укажи где находится Pdf формат

Статья «Portfolio Optimization Utilizing Multi-Objective NSGA-II Algorithm» (A. M. Larni-Fooeik, 2024) применяет NSGA-II к Markowitz-модели на данных Tehran Stock Exchange (TSE), показывая превосходство над классическими методами по доход/риску. Полный PDF (28 страниц) доступен для скачивания на SSRN бесплатно после регистрации. [233]

Общая информация

Автор: A. M. Larni-Fooeik.

Платформа: SSRN (Social Science Research Network), ID 5047865.

Дата: 8 декабря 2024 (Last Revised: 8 Dec 2024).

PDF-ссылка: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5047865 (кнопка «Download This Paper» → бесплатный PDF). [233]

Ключевые слова: Risk, Return, Portfolio, Classical Optimization, Intelligent Optimization. Длина: 28 страниц.

Цель и методология

Цель: решение задачи портфельного выбора через NSGA-II + классические методы для сравнения на реальных данных.

Данные: 132 акции TSE (активно торгуемые), ежемесячные цены 2010—2021 (144 месяца).

Модель: Расширенный Markowitz с return и semi-variance (downside risk) как целями. Ограничения:,, реальные (transaction costs, cardinality?). Multi-objective формулировка для Pareto-оптимизации. [233]

Рис.157 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI
Рис.158 Портфельная теория и методы оптимизации. NSGA, POWER BI

NSGA-II реализация

Стандартный NSGA-II: non-dominated sorting, crowding distance, элитизм. Адаптация:

– Кодирование: вещественные веса (хромосома длины 132).

Скачать книгу