Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной бесплатное чтение

Стивен Строгац
Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Научный редактор Игорь Красиков

Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc

Все права защищены.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Copyright © 2019 by Steven Strogatz. All rights reserved.

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2021

* * *

Введение

Без математического анализа^[1] у нас не было бы ни мобильных телефонов, ни компьютеров, ни микроволновых печей. Ни радио, ни телевидения. Ни УЗИ для будущих мам, ни GPS для заблудившихся путешественников. Мы не расщепили бы атом, не раскрыли бы геном человека и не отправили бы астронавтов на Луну. Возможно, у нас даже не было бы Декларации прав человека.

Любопытно, что историю мира этот загадочный раздел математики изменил навсегда. Как же могло так случиться, что некая теория, изначально занимавшаяся малыми изменениями, в итоге изменила цивилизацию коренным образом?

Суть ответа кроется в замечании, которое физик Ричард Фейнман сделал во время обсуждения Манхэттенского проекта с писателем Германом Воуком. Воук собирал материал для крупного романа о Второй мировой войне, который планировал написать, и отправился в Калтех^[2], чтобы побеседовать с физиками, работавшими над созданием бомбы, а Фейнман был одним из них. Когда они прощались после интервью, Фейнман спросил Воука, знает ли тот матанализ. Воук признался, что нет. «Вам следовало бы ему поучиться, – сказал Фейнман. – Это язык, на котором говорит Бог»^[3].

Действительно, Вселенная – глубоко математическая сущность^[4], хотя причин этого явления никто не понимает. Возможно, так устроил Бог. А может, это единственный способ нашего в ней существования, ибо нематематические вселенные не могут создать жизнь, достаточно разумную для того, чтобы задать такой вопрос. В любом случае то, что наша Вселенная подчиняется законам природы, которые всегда выражены на языке анализа в виде предложений, называемых дифференциальными уравнениями, – весьма таинственный и изумительный факт. Такие уравнения описывают разницу между чем-то прямо сейчас и той же величиной мгновение спустя или между чем-то прямо здесь и бесконечно близко. Детали отличаются в зависимости от конкретной области природы, но структура законов всегда одна и та же. Иначе говоря, все выглядит так, словно у Вселенной существует какой-то код, некая операционная система, которая оживляет все в конкретный момент в конкретном месте. Анализ подключается к этому порядку и выражает его.

Исаак Ньютон первым увидел эту тайну Вселенной. Он обнаружил, что орбиты планет, ритм приливов и отливов и траектории пушечных ядер можно описать, объяснить и предсказать с помощью небольшого набора дифференциальных уравнений. Сегодня мы называем их законами движения и гравитации Ньютона. Мы обнаружили, что эта закономерность сохраняется всякий раз, когда мы открываем какую-то новую часть Вселенной. От старых стихий – земли, воздуха, огня и воды, до новейших электронов, кварков, черных дыр и суперструн – все во Вселенной подчиняется правилам дифференциальных уравнений. Бьюсь об заклад, что именно это имел в виду Фейнман, когда говорил, что на этом языке разговаривает Бог. Если что-то и заслуживает называться тайной Вселенной, то это дифференциальное исчисление.

Случайно открыв этот странный язык, сначала в области геометрии, а потом в коде Вселенной, затем научившись бегло разговаривать на нем и расшифровывать его идиомы и тонкости и в конце концов используя его способность к прогнозированию, люди стали применять анализ, чтобы переделать мир.

Это центральный вопрос нашей книги.

А коль это так, то ответ на «главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого»^[5] – вовсе не 42, да простят меня фанаты Дугласа Адамса и его книги «Автостопом по галактике»^[6]. Тем не менее «Думатель» был на верном пути: тайна Вселенной действительно «математична».

Анализ для всех

Замечание Фейнмана о языке Бога поднимает массу глубоких вопросов. Что такое анализ? Как люди поняли, что на этом языке говорит Бог (или, если вам так больше нравится, что на нем работает Вселенная)? Что такое дифференциальные уравнения и что они сделали для мира, причем не только во времена Ньютона, но и в наши дни? И наконец, как доходчиво рассказать эти истории и идеи, чтобы их с удовольствием восприняли такие доброжелательные читатели, как Герман Воук, – вдумчивые, любопытные, образованные, но имеющие смутное представление о высшей математике?

В эпилоге рассказа о встрече с Фейнманом Воук писал, что в течение четырнадцати лет даже не пытался заняться анализом. Его роман разросся до двух больших романов – «Ветры войны» и «Война и память», примерно по тысяче страниц каждый. После окончания работы над ними он попытался учиться по книгам с названиями типа «Анализ в легком изложении», но безуспешно. Он копался в нескольких учебниках в надежде, как он выразился, «найти то, что помогло бы математическому невежде вроде меня, который в колледже занимался гуманитарными науками, то есть литературой и философией, в подростковом поиске смысла существования; при этом я лишь знал, что анализ (о котором я слышал как о скучной и бесполезной вещи) – это язык, на котором говорит Бог»^[7]. Однако учебники оказались неприступными, и тогда он нанял израильского преподавателя математики, чтобы подучиться анализу и подтянуть разговорный иврит, но обе надежды опять не оправдались. Вконец отчаявшись, он стал слушать курс анализа в старших классах школы, но почувствовал, что сильно отстал, и сдался через пару месяцев. Когда он уходил, дети хлопали. Он сказал, что это было похоже на сочувствующие аплодисменты после провального выступления на сцене.

Я написал «Бесконечные силы», пытаясь сделать величайшие идеи матанализа доступными каждому. Чтобы узнать об этих эпохальных событиях в истории, вам незачем повторять печальный опыт Германа Воука. Анализ – одно из самых вдохновляющих достижений человечества, и чтобы оценить его, вовсе не обязательно им заниматься – как необязательно уметь готовить изысканные блюда, чтобы насладиться такой едой. Я постараюсь объяснить все, что нам надо, с помощью картинок, метафор и анекдотов, а также покажу вам некоторые самые красивые из когда-либо созданных уравнений и доказательств, ведь разве можно посетить галерею, не увидев ее шедевров? Что касается Германа Воука, то на момент написания книги ему было 103 года^[8]. Я не знаю, выучил ли он анализ, но если еще нет, то она для вас, мистер Воук!

Мир согласно анализу

Как вам уже, должно быть, понятно, я собираюсь изложить историю и значение анализа с точки зрения прикладного математика. Историк математики рассказал бы все иначе^[9], собственно, как и чистый математик. Что восхищает меня как прикладника – так это наличие связи между реальным миром вокруг нас и идеальным миром в наших головах. Внешние явления обусловливают вопросы, которые мы задаем, и наоборот, математика, которую мы воображаем, иногда предсказывает то, что произойдет в реальности. Когда такое случается, эффект просто поражает.

Заниматься прикладной математикой^[10] – значит смотреть вовне и быть «интеллектуально неразборчивым». Для специалистов в этой области математика не чистый и герметичный мир теорем и доказательств^[11], отражающих самих себя. Мы охватываем все виды предметов: философию, политику, историю, медицину и так далее. Именно такую историю я и собираюсь вам рассказать – мир, соответствующий анализу.

Это гораздо более широкий взгляд на анализ. Он включает множество родственных дисциплин, как смежных, так и в рамках математики. Поскольку такой широкий взгляд непривычен, я хочу убедиться, что он не вызывает никакой путаницы. Например, когда я говорил, что без анализа у нас не было бы компьютеров, мобильных телефонов и так далее, я вовсе не имел в виду, что именно математика сама по себе создала все эти чудеса. Отнюдь нет. Наука и технология были важными партнерами – возможно, главными звездами шоу. Я просто хочу сказать, что анализ также сыграл не последнюю роль (пусть часто и вспомогательную) в том, чтобы мир стал таким, каким мы его знаем.

Возьмем историю беспроводной связи. Все началось с открытия законов электричества и магнетизма^[12] такими учеными, как Майкл Фарадей и Андре-Мари Ампер. Без их наблюдений и размышлений важнейшие факты о магнитах, электрическом токе и их невидимых силовых полях остались бы неизвестными и никогда бы не появилась беспроводная связь. Очевидно, что в этой области знаний нельзя было обойтись без экспериментальной физики, но и анализ был совершенно необходим. В 1860-х годах шотландский математик Джеймс Максвелл выразил экспериментальные законы электричества и магнетизма в символьной форме, которую можно было изучать методами математического анализа. После некоторых манипуляций появилось уравнение, которое не имело смысла. Судя по всему, в физике чего-то не хватало. Максвелл подозревал, что виноват закон Ампера, и попытался внести исправления, добавив в уравнение новый член – гипотетический ток, который мог бы разрешить противоречие, а затем снова применил анализ. На этот раз получился разумный результат – простое и элегантное волновое уравнение^[13], очень похожее на уравнение, описывающее распространение ряби в пруду. Разница была в том, что результат Максвелла давал новый вид волн, где электрические и магнитные поля вместе исполняли па-де-де. Изменяющееся электрическое поле порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся электрическое поле, и так далее – поля влияют друг на друга и распространяются вместе в виде энергетической волны. Вычислив скорость этой волны, Максвелл обнаружил – и это был один из величайших моментов в истории науки, – что она распространяется со скоростью света. Таким образом, с помощью анализа он не только предсказал существование электромагнитных волн, но и решил вековую загадку природы света. Он пришел к выводу, что свет – это электромагнитная волна.

Предсказания Максвелла об электромагнитных волнах побудили Генриха Герца провести в 1887 году эксперимент, который подтвердил их существование. Восемь лет спустя Александр Попов продемонстрировал первую в мире систему радиосвязи, а еще пару лет спустя это сделал и Никола Тесла. Еще через пять лет Гульельмо Маркони передал первые беспроводные сообщения через Атлантику. Вскоре появилось телевидение, мобильные телефоны и все остальное.

Ясно, что анализ не смог бы привести к этому в одиночку, но так же ясно, что без него ничего бы этого не произошло. Или, если точнее, могло бы произойти, но гораздо позже.

Анализ – больше, чем язык

История Максвелла иллюстрирует тему, с которой мы встретимся еще не раз. Часто говорят, что математика – это язык науки. В этом есть значительная доля правды. В случае электромагнитных волн первым ключевым шагом Максвелла стало преобразование экспериментально открытых законов в уравнения, написанные на языке анализа.

Однако аналогия с языком неполна. Анализ, как и другие области математики, – нечто гораздо большее, чем просто язык. Это невероятно мощная система мышления, позволяющая нам преобразовывать одно уравнение в другое, выполняя различные символьные операции, подчиняющиеся определенным правилам. Эти правила коренятся в логике, так что, даже если кажется, что мы просто перетасовываем символы, на самом деле мы выстраиваем длинные цепочки логических рассуждений. Перемещение символов – это полезные сокращения, удобный способ строить доказательства, слишком сложные, чтобы удерживать их в голове.

Если нам повезет и мы будем достаточно умелыми – то есть правильно преобразуем уравнения, – то можем получить скрытые доселе следствия. Математику этот процесс кажется почти осязаемым. Словно мы манипулируем уравнениями, массируем их, пытаясь расслабить до такой степени, чтобы они выдали свои секреты. Мы хотим, чтобы они открылись и поговорили с нами.

Здесь требуется творческий подход, потому что часто неясно, какие манипуляции выполнять. У Максвелла было бесчисленное количество способов преобразовать его уравнения; с логической точки зрения приемлемы были все, но новый интересный научный результат давали лишь некоторые. Учитывая то, что он даже не знал, что ищет, он мог легко получить от уравнений всего лишь бессвязное бормотание (или его символьный эквивалент). К счастью, уравнения раскрыли свои секреты.

В результате правильного подхода волновое уравнение не осталось абстракцией. В этот момент лингвистическая функция матанализа снова взяла верх. Когда Максвелл перевел абстрактные символы обратно в реальность, они предсказали, что электричество и магнетизм взаимодействуют, создавая электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Через несколько десятилетий это открытие изменило мир.

Непостижимо эффективно

Тот факт, что анализ может так хорошо моделировать природу, даже несколько пугает, учитывая, насколько различны эти две сферы. Анализ – воображаемое царство символов и логики; природа – реальное царство сил и явлений. Но каким-то образом, если переводить реальность в символы достаточно искусно, с помощью логики анализа можно использовать одну истину реального мира для порождения другой. Истина на входе, истина на выходе^[14]. Начните с чего-то эмпирически истинного и выраженого в символах (как Максвелл с законами электричества и магнетизма), примените верные логические действия, и получится другая эмпирическая истина, возможно, новая – какой-то ранее неизвестный факт о Вселенной (подобно существованию электромагнитных волн). Таким образом анализ позволяет нам заглядывать в будущее и предсказывать неизвестное. Именно это делает его столь мощным инструментом для науки и технологий.

Но почему же Вселенная должна уважать хоть какую-нибудь логику, не говоря уже о той, которую можем использовать мы, ничтожные люди? Именно этому удивлялся Эйнштейн, когда писал: «Вечная тайна мира заключается в его постижимости»^[15]. Именно это имел в виду американский физик Юджин Вигнер в своем эссе «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»^[16], когда писал: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем»^[17].

Это чувство благоговения восходит к истории математики. По легенде, Пифагор^[18] ощутил его примерно в 550 году до нашей эры, когда вместе с учениками обнаружил, что музыка регулируется отношениями целых чисел. Например, представьте, что вы защипнули гитарную струну. Когда струна вибрирует, она издает определенную ноту. Поставьте палец левой руки точно на половине длины струны и снова защипните ее. Теперь колеблющаяся часть струны вдвое короче (отношение 1 к 2), и струна звучит ровно на октаву выше, чем исходная нота (это расстояние от одной ноты «до» до следующей «до» в интервале до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до). Если сократить струну на 2/3 исходной длины, то она будет звучать на квинту выше (интервал от «до» до «соль»; вспомните первые две ноты из темы «Звездных войн»). Если же вибрирующая часть составляет 3/4 исходной длины, то звук выше на кварту (интервал между первыми двумя нотами свадебного марша «Вот идет невеста»^[19]). Древнегреческие музыканты знали о таких музыкальных интервалах, как октава, кварта и квинта, и считали их красивыми. Столь неожиданная связь между музыкой (гармонией реального мира) и числами (гармонией воображаемого мира) привела пифагорейцев^[20] к мистической вере в то, что всё есть число. Считается, что они даже верили в то, что планеты на своих орбитах издают музыку – музыку сфер.

С тех пор многие из величайших математиков и других ученых заболели пифагорейской лихорадкой. Страдал ею астроном Иоганн Кеплер. И физик Поль Дирак. Это побуждало их мечтать, искать и стремиться к гармонии Вселенной и в конце концов привело к открытиям, которые изменили мир.

Принцип бесконечности

Чтобы помочь вам понять, куда мы движемся, позвольте мне сказать несколько слов о том, что такое анализ, чего он (образно говоря) хочет и чем отличается от других областей математики. К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему.

Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений. Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа – и концептуально, и исторически. Я испытываю искушение сформулировать его прямо сейчас, хотя пока это будет звучать как тарабарщина. Вам будет проще это оценить, если мы станем продвигаться медленно, спрашивая, чего хочет анализ… и как он получает то, что хочет.

Если коротко, то анализ хочет сделать сложные задачи проще. Он буквально одержим простотой. Это может показаться вам абсурдным, учитывая, что у анализа репутация сложного метода и что некоторые лучшие учебники по нему превышают тысячу страниц и весят, как кирпич. Но давайте не будем выносить резких суждений. Анализ ничего не может поделать с тем, как выглядит, и громоздкости ему не избежать. Он кажется сложным, потому что старается решать сложные задачи. И он действительно решил ряд самых трудных и важных задач, с которыми когда-либо сталкивался наш вид.

Анализ добивается успеха, разделяя запутанные задачи на более мелкие составляющие. Конечно, такая стратегия не уникальна. Все хорошие специалисты вам подтвердят, что сложные задачи становятся проще при разбиении на части. Поистине радикальный и отличительный ход анализа состоит в том, что он доводит эту стратегию «разделяй и властвуй» до крайнего предела – бесконечности. Вместо того чтобы разрезать большую задачу на несколько маленьких, анализ без устали режет и режет ее, пока не измельчит буквально в порошок, до бесконечного множества крохотных частей. Затем анализ решает исходную задачу для всех этих мелких частей, что обычно гораздо проще, чем в случае изначальной гигантской задачи. На следующем этапе главное – свести все полученные крошечные ответы воедино. Как правило, это довольно трудно, но все же не так сложно, как в исходной задаче.

Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями. Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением^[21]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением^[22].

Такая стратегия подойдет для всего, что можно представить в виде бесконечного нарезания. Такие бесконечно делимые непрерывные объекты называют континуумами, от латинского глагола continere, образованного от приставки con- «с, вместе» и слова tenere «держать». Подумайте об окружности, стальной балке подвесного моста, миске супа, остывающего на кухонном столе, параболической траектории летящего копья или продолжительности вашей жизни. Форма, объект, жидкость, движение, временной интервал – все это льет воду на мельницу анализа и все это непрерывно или почти непрерывно.

Обратите внимание на определенный акт творческой фантазии. В действительности суп и сталь не непрерывны. В масштабах обычной жизни, возможно, они и кажутся таковыми, но на уровне атомов или суперструн – нет. Анализ игнорирует неудобства, создаваемые атомами и прочими неразделимыми объектами, не потому, что их не существует, а потому, что полезно представить, что их нет. Как мы увидим, анализу присуща склонность к полезным выдумкам.

Говоря в целом, те виды сущностей, которые анализ моделирует континуумами, включают практически все, что можно представить. Ученые использовали анализ для описания того, как мяч непрерывно катится по наклонной поверхности, как луч солнца проходит сквозь воду, как непрерывный поток воздуха вокруг крыла удерживает в полете колибри или самолет и как концентрация частиц вируса ВИЧ в крови пациента непрерывно снижается в течение нескольких дней после начала комбинированного лечения. Во всех случаях стратегия одна и та же: разделить сложную непрерывную задачу на бесконечное множество более простых частей, решить их по отдельности, а затем соединить опять.

Теперь мы наконец готовы изложить главную идею.

Принцип бесконечности

Чтобы пролить свет на любые непрерывные формы, объекты, движения, процессы или явления – какими бы дикими или сложными они ни казались, – переосмыслите их как бесконечный набор более простых частей, проанализируйте, а затем сложите полученные результаты, чтобы понять исходное целое.

Голем бесконечности

Единственная неприятность во всем этом – необходимость справляться с бесконечностью. И это проще сказать, чем сделать. Хотя тщательно контролируемое применение бесконечности – секрет анализа и источник его колоссальной предсказательной силы, одновременно это и его самая большая головная боль. Подобно чудовищу Франкенштейна или голему из еврейской мифологии, бесконечность склонна ускользать из-под контроля хозяина. Как и в любой истории о гордыне, монстр неизбежно обращается против своего создателя.

Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.

Если учесть, что математика обычно изображается точной и безупречно рациональной, все эти разговоры о желаниях и заблуждениях могут показаться неуместными. Она рациональна, но не всегда изначально. Творение интуитивно, понимание приходит позже. В истории анализа логика всегда отставала от интуиции чаще, чем в других областях математики. И это заставляет чувствовать, что эта тема особенно человечна и дружелюбна, а ее гении больше похожи на нас.

Кривые, движение и изменение

Принцип бесконечности организует рассказ об анализе вокруг какой-то методологической темы. Но анализ – это не только методология, но и загадки. Его развитию особенно способствовали три: загадка кривых, загадка движения и загадка изменения. Плодотворность их изучения доказала ценность чистого любопытства.

Задачи о кривых, движении и изменении на первый взгляд могут показаться неважными, а может, даже безнадежно заумными. Но они затрагивают настолько глубокие концептуальные вопросы, а математика так глубоко вплетена в ткань Вселенной, что их решение имело далеко идущие последствия для хода цивилизации и нашей повседневной жизни. Как мы увидим в следующих главах, мы пожинаем плоды этих исследований всякий раз, когда слушаем музыку в своих телефонах, делаем покупки в магазинах с помощью лазерных сканеров или находим дорогу домой благодаря GPS-навигатору.

Все началось с загадки кривых. Здесь я использую слово «кривые» в самом широком смысле – для обозначения любой изогнутой линии, изогнутой поверхности или изогнутого твердого тела – представьте себе резиновую ленту, обручальное кольцо, плавающий пузырь, контуры вазы или палку салями. Чтобы упростить вещи, ранние геометры, как правило, сосредоточивались на абстрактных, идеализированных версиях кривых форм и игнорировали толщину, шероховатости и текстуру. Например, математическая сфера представлялась бесконечно тонкой, гладкой, идеально круглой мембраной без толщины, неровностей или волосатости, как у кокосового ореха. Но даже при таких идеализированных представлениях изогнутые формы вызывали принципиальные трудности, поскольку там не было прямых. С треугольниками и квадратами проблем не возникало. С кубами тоже. Они состоят из прямых линий и плоскостей, соединенных между собой в углах. Нетрудно вычислить их периметр, площадь или объем. Такие задачи умели решать геометры всего мира – в Древнем Вавилоне и Египте, Китае и Индии, Греции и Японии. Но с округлыми формами дело обстояло гораздо хуже. Никто не знал, какова поверхность сферы или какой у нее объем. В древности даже вычисление длины окружности или площади круга представлялось невыполнимой задачей. Не было стартовой точки и прямых линий, от которых можно оттолкнуться. Все изогнутое казалось непостижимым.

Так начинался анализ. Он рос из любопытства геометров и разочарования в округлости. Круги, сферы и прочие изогнутые формы были Гималаями той эпохи. И не потому, что они ставили важные практические задачи, по крайней мере поначалу. Дело было в жажде приключений, характерной для человеческого духа. Подобно покорителям Эвереста, геометры хотели разобраться с кривыми просто потому, потому что они есть^[23].

Прорыв произошел благодаря идее, что кривые на самом деле состоят из прямых частей. Хотя это неправда, но можно сделать вид, что это так. Загвоздка была в том, что тогда эти части должны быть бесконечно малы и бесконечно многочисленны. Благодаря такой фантастической концепции родилось интегральное исчисление. Это самое раннее применение «принципа бесконечности». История его развития растянется у нас на несколько глав, но его суть в зародышевой форме мы можем изложить уже сейчас: если очень сильно увеличить окружность (или другую гладкую кривую), то часть, которую мы увидим под микроскопом, будет выглядеть как прямая линия. Так что в принципе можно вычислить длину кривой, сложив длины всех маленьких прямых кусочков. Чтобы выяснить, как именно это делать – нелегкая задача, – понадобились многовековые усилия величайших математиков человечества. В итоге коллективно (а иногда и в результате ожесточенного соперничества) они продвинулись по пути к решению загадки кривых. Побочными результатами, как мы увидим в главе 2, стала математика, используемая для рисования реалистично выглядящих волос, одежды и лиц персонажей в компьютерной анимации и вычисления, необходимые пластическим хирургам для выполнения операций на лице виртуальных пациентов, прежде чем оперировать реальных.

Поиски решения загадки кривых достигли апогея, когда стало ясно, что кривые – это нечто большее, чем просто геометрические отклонения. Они были ключом к разгадке тайн природы. Они естественным образом возникали в параболической дуге летящего мяча, в эллиптической орбите Марса, движущегося вокруг Солнца, и в выпуклой форме линзы, которая могла преломлять и фокусировать свет в нужном месте, без чего было бы невозможно бурное развитие микроскопов и телескопов в Европе позднего Возрождения.

Так началась вторая великая одержимость: увлечение тайнами движения на Земле и в Солнечной системе. С помощью наблюдений и замысловатых экспериментов ученые обнаружили интересные численные закономерности для простейших двигающихся объектов. Они измеряли колебания маятника, определяли ускорение шара, катящегося по наклонной плоскости, и наносили на карту движение небесных тел. Обнаруженные закономерности восхищали их: действительно, Иоганн Кеплер впал в состояние описанного им «священного помешательства», обнаружив законы движения планет, поскольку эти закономерности показались ему признаком работы Бога. С более светской точки зрения такие законы подкрепляли утверждение, что природа глубоко «математична», как и говорили пифагорейцы. Единственная загвоздка – никто не мог объяснить эти новые чудесные закономерности, по крайней мере с помощью существовавших в то время форм математики. Арифметика и геометрия не справлялись с этой задачей даже в руках великих математиков.

Проблема заключалась в том, что движение не было равномерным. Шар, катившийся по наклонной плоскости, непрерывно менял скорость, а планета, вращающаяся вокруг Солнца, все время меняла направление движения. Что еще хуже, планеты двигались быстрее, когда находились ближе к Солнцу, и медленнее, когда находились от него вдалеке. Не было никакого известного способа разобраться с непрерывно изменяющимся движением. У математиков имелась теория для самого тривиального вида движения – перемещения с постоянной скоростью, когда расстояние вычисляется путем произведения скорости на время. Но когда скорость меняется, причем непрерывно, дела обстоят совершенно иначе. Движение оказалось таким же Эверестом, как и кривые.

Как мы увидим в середине книги, очередные крупные достижения анализа выросли из стремления разгадать тайну движения. Как и в случае кривых, на помощь пришел принцип бесконечности. На этот раз пришлось притвориться, что движение с переменной скоростью состоит из бесконечно большого числа бесконечно коротких движений с постоянной скоростью. Чтобы представить, что это значит, вообразите, что вы едете в машине с нервным водителем, заставляющим автомобиль двигаться рывками. Вы с беспокойством смотрите на спидометр, стрелка которого дергается вверх и вниз при каждом рывке машины. Но даже самый резкий водитель не сможет сильно сдвинуть стрелку за миллисекунду, а уж за более короткий, то есть бесконечно малый интервал, – и подавно. Стрелка просто замрет на месте. Никто не способен так быстро нажать на педаль газа.

Эти идеи объединились в более молодой части анализа – дифференциальном исчислении. Это было именно то, что требовалось для работы с бесконечно малыми изменениями времени и расстояния, которые возникали при изучении постоянно меняющегося движения, равно как и для работы с бесконечно малыми прямыми кусочками кривых, появлявшимися в аналитической геометрии – новомодном исследовании кривых, определенных с помощью алгебраических уравнений, – популярной в первой половине 1600-х годов. Как мы увидим позже, одно время алгебра была настоящим поветрием. Ее популярность была благом для всех областей математики, включая геометрию, но она же создала буйные джунгли новых кривых, которые следовало изучить. Таким образом пересеклись загадки кривых и движения. В середине 1600-х они оказались в центре анализа, сталкиваясь друг с другом и создавая математический хаос и неразбериху. Расцвет анализа в этих суматошных условиях не обходился без бурных дискуссий. Некоторые математики критиковали анализ за чересчур свободное обращение с бесконечностью. Другие высмеивали алгебру как простой набор символов. Сопровождаемый всеми этими препирательствами прогресс анализа был медленным и нестабильным.

А потом в одно прекрасное Рождество родился ребенок^[24]. Этот юный мессия анализа был невероятным героем. Рожденный недоношенным, без отца и брошенный матерью в возрасте трех лет, этот одинокий мальчик с темными мыслями превратился в скрытного подозрительного юношу. И тем не менее он (а это, как вы уже, наверное, догадались, был Исаак Ньютон) оставил в мире такой заметный след, как никто ни до, ни после него.

Сначала он нашел «святой Грааль» анализа, открыв, как снова сложить кусочки кривой, причем легко, быстро и систематически. Объединив символы алгебры с мощью бесконечности, он нашел способ представить любую кривую в виде суммы бесконечного множества более простых кривых, которые описываются различными степенями x, например x², x³, x⁴ и так далее. Имея такие ингредиенты, он мог приготовить любую желаемую кривую – положив щепотку x, чуточку x² и полную столовую ложку x³. Это было похоже на рецепт и набор специй, мясную лавку и огород – и все в одном флаконе. С его помощью Ньютон мог решить любую задачу о формах и движениях.

Затем он взломал код Вселенной, обнаружив, что любое движение всегда происходит бесконечно малыми шагами и в любой момент описывается законами, изложенными на языке анализа. С помощью всего лишь горстки дифференциальных уравнений (законы движения и всемирного тяготения) Ньютон смог объяснить все, от траектории пушечного снаряда до орбит планет. Его потрясающая «система мира» объединила небеса и землю, положив начало просвещению и изменив западную культуру. Его влияние на философов и поэтов Европы было колоссальным. Как мы увидим, оно распространилось даже на Томаса Джефферсона и Декларацию независимости. В наше время идеи Ньютона положены в основу космических программ, предоставляя математику, необходимую для расчета траекторий, – работы, проделанной в NASA афроамериканским математиком Кэтрин Джонсон и ее коллегами (героини книги и фильма «Скрытые фигуры»).

После того как загадки кривых и движения были решены, анализ перешел к третьей великой одержимости: загадке изменений. Пусть это и клише, но от этого оно не менее истинно: нет ничего постоянного, все меняется. Сегодня дождливо, а завтра солнечно. Рынок акций растет и падает. Воодушевленные ньютоновскими взглядами, последующие поколения специалистов по анализу задались вопросом: есть ли законы изменений, аналогичные ньютоновским законам движения? Существуют ли законы роста населения, распространения эпидемий и кровотока в артериях? Можно ли использовать анализ для описания того, как электрические сигналы распространяются по нервам, или для предсказания транспортного потока на автостраде?

Следуя этой амбициозной программе, в постоянном сотрудничестве с другими областями науки и технологии, анализ помог создать современный мир. С помощью наблюдений и экспериментов ученые установили законы изменений, а затем использовали анализ для решений задач и составления прогнозов. Например, в 1917 году Альберт Эйнштейн применил анализ к простой модели атомных переходов и предсказал замечательный эффект под названием вынужденное излучение^[25] (этот термин обозначают буквы s и e в слове laser, которое представляет собой аббревиатуру, образованную от слов light amplification by stimulated emission of radiation^[26]). Эйнштейн предположил, что при определенных обстоятельствах фотоны, проходящие через вещество, могут индуцировать появление других фотонов с той же длиной волны, движущихся в том же направлении. Получается своего рода цепная реакция, которая может дать мощный когерентный луч. Спустя несколько десятилетий предсказание сбылось. Первые действующие лазеры были созданы в начале 1960-х. С тех пор они используются везде – от проигрывателей компакт-дисков и оружия с лазерным наведением до сканеров штрих-кодов в супермаркетах и медицинских лазеров.

Законы изменений в медицине не так понятны, как в физике. Тем не менее даже в случае элементарных моделей анализ может внести свой вклад в спасение жизней. Например, в главе 8 мы увидим, как модель, использующая дифференциальное уравнение, разработанная иммунологом и исследователем СПИДа, сыграла свою роль в создании комбинированной терапии из трех препаратов для лечения пациентов с ВИЧ. Идеи, подсказанные моделью, опровергли распространенную точку зрения, что вирус в организме бездействует; на самом деле он ожесточенно сражается с иммунной системой каждую минуту каждого дня. Благодаря новому пониманию, предоставленному анализом, ВИЧ-инфекция превратилась из почти неизбежного смертного приговора в управляемое хроническое заболевание – по крайней мере для тех, кто имеет доступ к комбинированной лекарственной терапии.

Общепризнанно, что некоторые аспекты нашего вечно меняющегося мира лежат за пределами приближений и моделирования, характерных для принципа бесконечности. Например, в мире субатомных частиц физики не могут представлять электрон как классическую частицу, которая движется по какой-то линии подобно планете или пушечному ядру. Согласно квантовой механике, на таком микроскопическом уровне траектории становятся размытыми и плохо определяемыми, поэтому поведение электронов приходится описывать в терминах волн вероятности, а не ньютоновских траекторий. Но как только мы это сделаем, анализ с триумфом возвращается. Он управляет эволюцией волн вероятности с помощью так называемого уравнения Шрёдингера.

Удивительно, но факт: даже на субатомном уровне, где ньютоновская физика уже не действует, созданный им анализ по-прежнему работает. И работает очень хорошо. Как мы увидим далее в книге, он объединил усилия с квантовой механикой и предсказал замечательные эффекты, лежащие в основе методов медицинской визуализации – от магнитно-резонансной (МРТ) и компьютерной (КТ) томографии до более экзотической позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ).

Пришло время ближе познакомиться с языком Вселенной. И начнем, разумеется, с бесконечности.

Глава 1. Бесконечность

Начало математике^[27] положили обычные повседневные задачи. Пастухам нужно было следить за стадами. Фермерам – взвешивать собранное зерно. Сборщикам налогов – решать, сколько коров или кур крестьянин должен отдать правителю. Из таких практических требований и возникли числа. Сначала их определяли по пальцам рук и ног. Затем стали выцарапывать на костях животных. По мере того как представление чисел эволюционировало от черточек к символам, они облегчили все задачи – от налогообложения и торговли до бухгалтерского учета и переписи населения. Доказательства тому мы находим на глиняных табличках Месопотамии, созданных более пяти тысяч лет назад, – сделанная на них клиновидными значками запись называется клинописью.

Наряду с числами значение имели и формы. В Древнем Египте измерениям линий и углов придавали первостепенное значение. Каждый год землемерам приходилось заново проводить границы крестьянских хозяйств, поскольку разлив Нила стирал их. Эта деятельность позже дала название всей области математики, изучающей формы, – геометрия, от древнегреческого слова γεωμετρία, которое означало «землемерие»: γη – «земля» и μετρέω – «измеряю».

Поначалу геометрия работала с прямыми линиями и углами, что отражало ее утилитарное происхождение: треугольники были наклонными плоскостями, пирамиды – монументами и гробницами, а прямоугольники – столами, алтарями и земельными участками. Строители и плотники использовали прямые углы для построения вертикальных линий. Для моряков, архитекторов и священников знание геометрии прямых линий было необходимо для землемерных работ, навигации, ведения календаря, предсказания затмений и возведения храмов и святилищ.

Но всегда – даже когда геометрия была зациклена на прямых линиях – выделялась одна кривая, самая совершенная из всех: окружность. Мы видим ее в годичных кольцах деревьев, в волнах на пруду, в форме солнца и луны. В природе круги повсюду. Когда мы смотрим на них, они смотрят на нас – в буквальном смысле, ведь они в глазах наших близких, в зрачках и радужках. Круги и практичны, и эмоциональны, как колеса и обручальные кольца; в них есть нечто мистическое. Вечное возвращение предполагает цикл времен года, возрождения, вечной жизни и нескончаемой любви. Неудивительно, что круги привлекали внимание с тех пор, как люди стали изучать формы.

С математической точки зрения окружности воплощают изменения без изменений. Точка, двигающаяся по окружности, меняет направление движения, не меняя при этом своего расстояния от центра. Это минимальная форма изменений – самый простой способ двигаться по кривой. И, конечно же, окружность симметрична. Если вы повернете ее вокруг центра, она будет выглядеть точно так же. Такая поворотная симметрия может быть причиной распространенности этих фигур. Везде, где природу не беспокоит направление, обязательно появляются окружности. Посмотрите, что происходит, когда дождевая капля попадает в лужу: от точки удара расходятся мелкие волны. Они обязаны иметь круговую форму, потому что двигаются с одинаковой скоростью во всех направлениях и начинаются в одной точке. Этого требует симметрия.

Окружности могут также порождать другие искривленные формы. Если представить, что окружность проткнули по диаметру и стали вращать вокруг этой оси в трехмерном пространстве, то получится сфера – форма мяча или планеты. Если окружность двигать по прямой перпендикулярно ее плоскости, появляется цилиндр – форма банки или коробки для шляп. Если окружность одновременно с поступательным движением сжимается, образуется конус, если расширяется – то усеченный конус (форма абажура).

Окружности, сферы, цилиндры и конусы очаровывали первых геометров, но при этом они считали, что работать с ними гораздо труднее, чем с треугольниками, прямоугольниками, квадратами, кубами и прочими прямолинейными формами, составленными из кусков прямых линий и плоскостей. Ученых интересовали площади криволинейных поверхностей и объемы криволинейных тел, но они понятия не имели, как решать такие задачи. Криволинейность была сильнее.

Бесконечность как строитель моста

Анализ начинался как отрасль геометрии^[28]. Примерно в 250 году до нашей эры в Древней Греции вплотную занялись разгадкой кривых. Амбициозный план состоял в использовании бесконечности для построения моста между кривыми и прямыми. Приверженцы плана надеялись, что как только такая связь будет установлена, методы и техники прямолинейной геометрии можно будет перетащить через этот мост и применить для решения загадки кривых. Бесконечность поможет решить все старые задачи. По крайней мере, таков был настрой.

Должно быть, в то время такой план выглядел довольно надуманным. У бесконечности была сомнительная репутация – будто бы это нечто пугающее, а не полезное. Что еще хуже, само понятие бесконечности было весьма туманно и сбивало с толку. Что это вообще такое? Число? Место? Идея?

Тем не менее, как мы вскоре увидим, бесконечность оказалась манной небесной. Если учесть все открытия и технологии, которые в итоге выросли из анализа, то идея использовать бесконечность для решения трудных геометрических задач была одной из лучших в истории.

Конечно, в 250 году до нашей эры предвидеть это было невозможно. Тем не менее бесконечность тут же дала несколько впечатляющих результатов. Одним из первых и лучших стало решение давней загадки: как найти площадь круга^[29].

Доказательство с помощью пиццы

Перед тем как вдаваться в подробности, давайте набросаем ход рассуждений. Наша стратегия – представить круг в виде пиццы, а затем нарезать ее на бесконечное множество кусочков и волшебным образом переложить их так, чтобы получился прямоугольник. Это даст нам ответ, который мы ищем, поскольку перекладывание кусочков, очевидно, не меняет их площадь, а находить площадь прямоугольника мы умеем: нужно умножить его длину на ширину. Результатом будет формула для площади круга.

Для такого рассуждения пицца должна быть идеализированной математической пиццей – идеально плоской и круглой, с бесконечно тонкой корочкой. Обозначим буквой С ее периметр (или длину окружности) – расстояние вдоль границы. Длина окружности – вовсе не то, что обычно интересует любителей пиццы, однако при желании мы могли бы измерить величину C с помощью рулетки.

Еще одна необходимая величина – радиус пиццы r, который определяется как расстояние от ее центра до любой точки корочки. В частности, если мы нарежем пиццу на ломтики, проводя разрезы от центра к краям, то длина прямого отрезка в таких ломтиках будет равна r.

Предположим, что мы разделили пиццу на четыре части. Их можно переложить следующим способом, но он не выглядит слишком многообещающим.

Получившаяся фигура с выступами вверху и внизу смотрится несколько странно. Это явно не прямоугольник, и определить ее площадь непросто. Похоже, нам придется отступить. Но, как и в любой драме, герою перед триумфом предстоит преодолеть трудности. Драматическое напряжение нарастает.

Однако раз уж мы тут застряли, то отметим две вещи, потому что они будут справедливы в ходе всего доказательства и в итоге дадут нам размеры искомого прямоугольника. Первая – одна половина корочки стала искривленной верхней границей новой фигуры, а вторая – нижней частью. Поэтому длина верхней границы равна C/2 и нижней границы – тоже C/2, как изображено на рисунке. Как мы увидим, в итоге эти границы превратятся в длинные стороны прямоугольника. Вторая – длина всех наклонных боковых сторон получившейся фигуры равна r, потому что это просто стороны исходных ломтиков пиццы. Эти боковые отрезки в итоге превратятся в короткие стороны прямоугольника.

Причина, по которой мы пока не видим никаких признаков искомого прямоугольника, – у нас еще недостаточно ломтиков. Если разрезать пиццу на восемь частей и переложить их таким же образом, то фигура окажется более прямоугольной.

По сути, пицца начинает походить на параллелограмм. Неплохо – по крайней мере это почти прямоугольник. Выступы вверху и внизу уже не так выпирают, как на предыдущем рисунке, – из-за большего количества ломтиков. Как и ранее, длина верхней границы фигуры равна C/2, а боковой границы – r.

Чтобы картинка выглядела еще лучше, разрежем пополам один из боковых ломтиков и перенесем его на другую сторону.

Теперь фигура очень похожа на прямоугольник. Да, вверху и внизу еще есть выступы из-за кривизны исходной корочки, но все же мы добились прогресса.

Похоже, увеличение числа кусков помогает, поэтому продолжим их нарезать. При шестнадцати ломтиках и таком же косметическом переносе половинки крайнего куска, как мы сделали только что, получается следующая фигура:

Чем больше кусков мы берем, тем сильнее сглаживаем выступы в верхней и нижней частях получающейся фигуры. Наши операции создают последовательность фигур, которые волшебным образом приближаются к определенному прямоугольнику. Поскольку фигуры к нему все ближе и ближе, назовем его предельным прямоугольником.

Смысл всей процедуры в том, что найти площадь предельного прямоугольника очень просто – достаточно перемножить его ширину и высоту. Все, что нам осталось, – выразить эти ширину и высоту через параметры исходного круга. Поскольку ломтики располагались вертикально, высота – это просто радиус r исходного круга, а ширина – половина длины его окружности, ведь его граница пошла на создание верхней и нижней границы прямоугольника – как это было для всех промежуточных фигур с выступающими краями. Следовательно, ширина равна C/2. Таким образом, площадь прямоугольника A = r × C / 2 = rC / 2. Но учитывая, что перекладывание ломтиков не меняло площади исходного круга, то и его площадь должна быть точно такой же!

Этот результат для площади круга, A = rC / 2, впервые получил (используя аналогичные, но более строгие рассуждения) древнегреческий математик Архимед (287–212 до нашей эры) в трактате «Измерение круга».

Самым новаторским аспектом доказательства было привлечение на помощь бесконечности. Имея всего четыре, восемь или шестнадцать ломтиков, мы могли сложить только фигуру с выступами. После малообещающего старта мы продвинулись к успеху, начав брать больше ломтиков; при этом получающаяся фигура все сильнее приближалась к прямоугольнику. Однако только при бесконечном множестве кусков она становилась по-настоящему прямоугольной. Эта идея и легла в основу анализа. С бесконечностью все упрощается.

Пределы и загадка стены

Предел подобен недостижимой цели. Вы можете подбираться к нему все ближе и ближе, но никогда не пройдете весь путь до конца.

Например, в доказательстве, использующем пиццу, мы могли приближаться к прямоугольнику, нарезая все большее количество ломтиков и переставляя их. Но истинной «прямоугольности» нам никогда не добиться. Мы можем лишь приблизиться к этому идеалу. К счастью, в анализе недостижимость предела обычно не имеет значения. Нередко мы можем решить задачу, представив, что способны достичь предела, а затем посмотрев, что следует из такого представления. Фактически многие из пионеров в этой области сделали свои великие открытия именно таким образом. Логически – нет. С воображением – да. Успешно – весьма.

Предел – это тонкое понятие, и в анализе оно занимает центральное место. Его не просто уловить, потому что в повседневной жизни эта идея не встречается. Пожалуй, ближайшей аналогией будет загадка стены. Если вы проходите половину расстояния до стены, затем половину оставшегося расстояния, потом половину оставшегося и так далее, то достигнете ли в конце концов этапа, на котором доберетесь до стены?

Очевидно, что ответ отрицателен, потому что в загадке стены на каждом этапе вы проходите только половину пути, а не весь путь. Сделаете ли вы десять шагов, миллион или любое другое число, между вами и стеной всегда останется какой-то промежуток. Однако столь же очевидно, что вы можете подойти к стене сколь угодно близко. Это означает, что на каком-то этапе вы окажетесь от нее в сантиметре, миллиметре, нанометре или на любом ином ненулевом расстоянии, но никогда не закончите свой путь. Здесь стена играет роль предела. На то, чтобы строго определить это понятие, понадобилось две тысячи лет. До тех пор пионеры анализа прекрасно обходились интуицией. Так что не волнуйтесь, если пределы кажутся вам сейчас туманными. Мы познакомимся с ними лучше, наблюдая на практике. С современной точки зрения пределы – это фундамент, на котором построен весь анализ.

Если метафора со стеной кажется вам слишком мрачной и негуманной (кому захочется вечно приближаться к недосягаемой стене?), рассмотрите такую аналогию: все, что движется к какому-то пределу, подобно герою, занятому бесконечным поиском. Это не бесполезное занятие, как бессмысленная задача Сизифа, обреченного вечно вкатывать камень на гору только для того, чтобы увидеть, как он снова скатывается вниз. Когда в математике происходит приближение к пределу (как наши фигуры с выступами приближались к предельному прямоугольнику), это подобно тому, как главный герой стремится к чему-то, что, как он знает, невозможно, но все же надеется на успех, воодушевляясь прогрессом в своих попытках достичь недостижимой звезды.

Притча о 0,333…

Чтобы подкрепить важные идеи, что в бесконечности все упрощается и что пределы подобны недостижимым целям, возьмем пример из арифметики. Это задача преобразования обыкновенной дроби – например, 1/3 – в десятичную (в нашем случае 1/3 = 0,333…). Я хорошо помню, как моя школьная учительница математики мисс Стэнтон учила нас это делать. Запомнилось это потому, что она внезапно заговорила о бесконечности.

До этого момента я никогда не слышал, чтобы взрослые говорили о бесконечности. Мои родители определенно этого не делали. Это казалось секретом, о котором знали только дети. На детской площадке о нем постоянно упоминали в насмешках и издевках:

– Ну ты и дурак!

– А ты дурак вдвойне!

– А ты дурак бесконечность раз!

– А ты дурак бесконечность раз плюс один!

– Это то же самое, что бесконечность, идиот!

Такие поучительные разговоры убедили меня в том, что бесконечность ведет себя не так, как обычное число. Она не становится больше, если к ней прибавить 1. Даже добавление бесконечности не поможет. Несокрушимые свойства делали ее окончательным аргументом в дворовых разборках. Побеждает тот, кто применит бесконечность первым.

Однако никто из учителей до мисс Стэнтон не упоминал о бесконечности. Все в нашем классе уже знали о конечных десятичных дробях, используемых для представления денежных сумм, например 10,28 доллара, где есть две цифры после запятой. Напротив, бесконечные десятичные дроби, где после запятой было бесконечно много чисел, казались странными на первый взгляд, но становились естественными, как только мы начали изучать обыкновенные дроби.

Мы узнали, что дробь 1/3 можно записать как 0,333…, где многоточие означало, что тройки повторяются до бесконечности. Это имело для меня смысл, потому что, пытаясь поделить 1 на 3 в столбик, я застрял в бесконечном цикле: 1 меньше 3, поэтому получаем в частном ноль целых, дописываем к единице 0, делим 10 на 3, получаем 3 и остаток 1; в итоге нужно снова делить 1 на 3, то есть мы возвращаемся к тому, с чего начали. Выхода из цикла не было, а значит, тройки при делении будут повторяться: 0,333…

Многоточие после 0,333 истолковывается двумя способами. Наивное толкование состоит в том, что существует буквально бесконечное количество троек, находящихся справа от десятичной запятой вплотную друг к другу. Конечно, мы не можем записать их все, раз их бесконечно много, но с помощью многоточия показываем, что они там есть, по крайней мере в нашей голове. Я назову такую интерпретацию актуальной бесконечностью Преимущество ее в том, что она выглядит простой и здравой, пока мы не желаем особо задумываться о том, что означает бесконечность.

Более изящное толкование состоит в том, что 0,333… представляет собой некоторый предел – в точности такой же, как предельный прямоугольник для наших фигур в доказательстве с пиццей или стена для незадачливого путешественника. Только здесь 0,333… отображает предел последовательных десятичных чисел, которые мы генерируем при делении 1 на 3. Чем больше этапов в процессе деления, тем больше троек в десятичном разложении 1/3. Мы можем получить сколь угодно хорошее приближение к 1/3. Если нам не нравится 1/3 ≈ 0,3, мы можем сделать еще шаг и получить 1/3 ≈ 0,33 и так далее. Я назову это толкование потенциальной бесконечностью Она «потенциальна» в том смысле, что приближения можно получать сколь угодно долго. Ничто не мешает сделать миллион, миллиард или любое иное количество шагов. Преимущество этого толкования в том, что нам незачем прибегать к такому туманному понятию, как бесконечность. Мы всегда можем оставаться в области конечного.

Для работы с равенством вида 1/3 = 0,333… не имеет значения, какой точки зрения мы придерживаемся. Они одинаково состоятельны и дают одни и те же математические результаты в любых нужных нам вычислениях. Однако в математике существуют ситуации, когда понятие актуальной бесконечности может вызвать логический хаос. Именно это я подразумевал, когда писал во введении о големе бесконечности. Иногда действительно важно, как мы думаем о результатах процесса, приближающегося к какому-то пределу. Делая вид, что процесс в реальности заканчивается и каким-то образом достигает нирваны бесконечности, подчас можно попасть в неприятную ситуацию.

Притча о многоугольнике с бесконечным числом углов

В качестве примера возьмем круг, расставим на его границе (окружности) через равные промежутки определенное количество точек и соединим их отрезками. При трех точках получим равносторонний треугольник, при четырех – квадрат, при пяти – правильный пятиугольник и так далее, последовательно получая все новые правильные многоугольники.

Обратите внимание, что чем больше точек мы используем, тем ближе наш многоугольник к кругу. При этом стороны многоугольников становятся все короче и многочисленнее. Наш круг – предел для построенных многоугольников.

Таким образом, бесконечность снова соединяет два мира. На этот раз она ведет нас от прямолинейности к криволинейности, от угловатых фигур к гладкому кругу, тогда как в случае с пиццей бесконечность, наоборот, преобразовала круг в прямоугольник.

Конечно же, на любом шаге многоугольник по-прежнему остается многоугольником. Это еще не круг и никогда им не станет. Фигуры приближаются к кругу, но никогда не совпадут с ним. Здесь мы имеем дело с потенциальной бесконечностью, а не с актуальной. Так что с логической точки зрения все безукоризненно.

Но что, если бы мы могли пройти весь путь до актуальной бесконечности? Был бы итоговый многоугольник с бесконечным количеством углов и бесконечно короткими сторонами кругом? Заманчиво так думать, ведь тогда многоугольник окажется гладким. Все углы будут сошлифованы. Все станет идеальным и красивым.

Очарование и опасность бесконечности

Здесь заложен общий принцип: пределы часто проще, чем приближения, ведущие к ним. Круг проще и изящнее, чем любой из угловатых многоугольников, к нему приближающих. То же самое относится и к доказательству с помощью пиццы, где предельный прямоугольник проще и элегантнее, нежели бугристые фигуры с некрасивыми выступами, и к дроби 1/3. Это проще и приятнее, нежели любое из неуклюжих приближений с большими числителями и знаменателями вроде 3/10, 33/100 или 333/1000. Во всех этих случаях предельная фигура или число проще и симметричнее, чем конечные приближения.

В этом и состоит очарование бесконечности. Здесь все становится лучше.

Помня об этом, давайте вернемся к притче о многоугольнике с бесконечно большим количеством углов. Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник с бесконечным числом углов и бесконечно малыми сторонами. Какова длина этих сторон? Если она равна 0, то общая длина всех сторон – бесконечность, умноженная на 0, – должна давать длину окружности. Но представьте окружность вдвое большего размера. Точно так же ее длина должна равняться бесконечности, умноженной на 0. Получается, бесконечность, умноженная на 0, должна равняться и длине нашей окружности, и вдвое большему числу. Что за ерунда? Не существует разумного способа определить результат умножения бесконечности на ноль, а потому нет разумного способа рассматривать круг как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Тем не менее в таком интуитивном представлении есть нечто искушающее. Подобно библейскому первородному греху, по той же причине трудно сопротивляться и первородному греху анализа – соблазну считать, что круг – это правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. Он соблазняет нас запретным знанием, идеями, недоступными для обычных средств. На протяжении тысячелетий геометры пытались вычислить длину окружности. Если бы круг можно было заменить многоугольником со множеством крохотных прямых сторон, задача была бы гораздо проще.

Прислушиваясь к шипению этого змея-искусителя – но все же сдерживаясь, используя потенциальную бесконечность вместо более заманчивой актуальной, – математики научились решать задачу о длине окружности и другие загадки кривых. В следующих главах мы узнаем, как им это удалось, а пока попробуем еще глубже понять, насколько опасной может быть актуальная бесконечность. Этот грех ведет ко многим другим, включая тот, о котором учителя предупреждали нас в первую очередь.

Грех деления на ноль

Во всем мире школьников учат, что делить на ноль нельзя. Должно быть, они шокированы существованием такого табу. Предполагается, что числа дисциплинированны и хорошо себя ведут. Урок математики – место для логики и рассуждений. И все же можно задавать о числах простые вопросы, на которые нет ответов, или пытаться сделать с ними простые вещи, которые не работают или не имеют смысла. Деление на ноль – одна из них.

Корень проблемы – в бесконечности. Деление на ноль вызывает бесконечность примерно так же, как доска для спиритических сеансов – духов из другого мира. Это рискованно. Не ходите туда.

Тем, кто не в силах сопротивляться искушению и желает понять, почему в тенях скрывается бесконечность, советуем поделить 6 на какое-нибудь маленькое число, близкое к нулю, но не равное ему, например 0,1. В этом ничего запретного нет. Если разделить 6 на 0,1, получится 60, довольно прилично. Поделим 6 на еще меньшее число, скажем 0,01; ответ будет больше – 600. Если мы отважимся разделить 6 на число, которое гораздо ближе к 0, допустим, на 0,0000001, то ответ будет еще больше и составит 60 000 000. Тенденция ясна. Чем меньше знаменатель, тем больше частное. В пределе, когда знаменатель приближается к нулю, частное стремится к бесконечности. Вот настоящая причина, почему нельзя делить на 0. Малодушные говорят, что ответ неопределенный, но на самом деле он бесконечный.

Все это можно представить себе следующим образом. Вообразите, что вы делите 6-сантиметровую линию на части длиной 0,1 сантиметра. Получается 60 кусков, уложенных вплотную друг к другу.

Точно так же (но я не буду пробовать это нарисовать) эту линию можно поделить на 600 частей по 0,01 сантиметра или на 60 000 000 частей по 0,0000001 сантиметра.

Если мы продолжим и доведем это безумное деление до предела, то придем к заключению, что наша 6-сантиметровая линия состоит из бесконечного числа частей нулевой длины. Возможно, это звучит правдоподобно. В конце концов, линия состоит из бесконечного количества точек, и каждая точка имеет нулевую длину.

Но с философской точки зрения нервирует то, что аналогичное рассуждение можно применить к линии любой длины. В самом деле, в числе 6 нет ничего особенного. Мы могли бы с равным успехом утверждать, что линия длиной 3 сантиметра, или 49,57, или 2 000 000 000 состоит из бесконечного числа точек нулевой длины. Очевидно, что умножение 0 на бесконечность может дать нам любой мыслимый результат – 6, 3, 49,57 или 2 000 000 000. С математической точки зрения это ужасно.

Грех актуальной бесконечности

Прегрешение, которое втянуло нас в эту путаницу, заключалось в том, что мы вообразили, будто действительно можем достичь предела и трактовать бесконечность как достижимое число. Еще в IV веке до нашей эры греческий философ Аристотель^[30] предупреждал, что такое обращение с бесконечностью способно привести к различным логическим неприятностям. Он выступал против актуальной бесконечности^[31], уверяя, что смысл имеет только потенциальная бесконечность.

В контексте разрезания линии на части потенциальная бесконечность означает, что линию можно разрезать на сколь угодно большое количество частей, но оно всегда конечно, а длина частей не равна 0. Это вполне допустимо и не вызывает никаких логических затруднений.

Что запрещено – так это идея, что можно пройти весь путь до актуальной бесконечности и получить бесконечное число частей нулевой длины. Аристотель считал, что это ведет к бессмыслице – как в нашем случае, когда произведение бесконечности и 0 может дать любое число. Поэтому он запретил пользоваться актуальной бесконечностью в математике и философии. Математики поддерживали его мнение в течение следующих двадцати двух столетий.

Когда-то в далекие доисторические времена кто-то понял, что числа никогда не заканчиваются. Вместе с этой мыслью родилась бесконечность. Это числовой аналог глубин, скрытых в нашей психике, в наших ночных кошмарах о бездонных ямах и в наших надеждах на вечную жизнь. Именно бесконечность лежит в основе множества наших мечтаний, страхов и безответных вопросов. Насколько велика Вселенная? Сколько длится вечность? Насколько могуществен Бог? Тысячи лет бесконечность сбивает с толку лучшие умы человечества во всех областях мысли – от религии и философии до науки и математики. Ее запрещали, объявляли вне закона и отвергали. Во времена инквизиции монах Джордано Бруно^[32] был сожжен заживо на костре за предположение, что Бог в своей бесконечной силе создал бесчисленные миры.

Парадоксы Зенона

Примерно за два тысячелетия до казни Джордано Бруно бесконечность осмелился созерцать другой отважный философ. Зенон Элейский (около 490–430 до нашей эры) изложил ряд апорий (парадоксов), связанных с пространством, временем и движением, и бесконечность играла в них главную роль. Эти апории предвосхитили идеи, положенные в основу анализа, и обсуждаются до сих пор. Бертран Рассел называл их неизмеримо тонкими и глубокими^[33].

Мы не знаем, что именно пытался показать своими рассуждениями Зенон, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось, если они вообще существовали. Его рассуждения дошли до нас в передаче Платона и Аристотеля, которые в основном пытались их опровергнуть. В их пересказе Зенон пытался доказать, что изменения невозможны. Наши чувства говорят нам иное, но они нас обманывают. Изменение, согласно Зенону, – это иллюзия.

Особенно известны три парадокса Зенона^[34],^[35]. Первый, «Дихотомия», аналогичен загадке стены, но гораздо печальнее. Он гласит, что вам не удастся даже сдвинуться с места, поскольку для того, чтобы сделать первый шаг, нужно сделать полшага, а перед этим – четверть шага и так далее. Так что вы не только не сможете добраться до стены, но даже не сможете начать движение.

Это блестящий парадокс. Кто бы мог подумать, что для шага требуется выполнить бесконечно много подзадач? Хуже того, нет самой первой задачи, которую надо выполнить. Она не может состоять в том, что нужно сделать полшага, потому что до этого пришлось бы сделать четверть шага, а до того – восьмую часть шага и так далее. Если вы думаете, что у вас много дел перед завтраком, представьте, что вам нужно закончить бесконечное количество дел, прежде чем добраться до кухни.

Другой парадокс, названный «Ахиллес и черепаха», утверждает, что быстрый бегун (Ахиллес) никогда не догонит медленного бегуна (черепаху), если у того будет фора.

К тому времени, когда Ахиллес достигнет места, откуда отправилась в путь черепаха, она успеет немного продвинуться вперед. К тому моменту, когда Ахиллес достигнет этого нового места, черепаха снова продвинется, и так далее. Поскольку все мы считаем, что быстрый бегун может обогнать медленного, то либо наши чувства нас обманывают, либо что-то не так с нашими рассуждениями о движении, пространстве и времени.

В этих первых двух парадоксах Зенон, похоже, возражал против принципиальной непрерывности пространства и времени, то есть против того, что их можно делить до бесконечности. Его умной стратегией было применение доказательства от противного (некоторые утверждают, что он его и изобрел), известное среди юристов и логиков как reductio ad absurdum (доведение до абсурда). В обоих парадоксах Зенон предположил непрерывность пространства и времени, а затем вывел из этого допущения противоречие, поэтому предположение о непрерывности должно быть ложным. Анализ основан именно на этом предположении, а потому ставки тут весьма высоки. Он опровергает Зенона, демонстрируя ошибки в его рассуждениях.

Например, вот как анализ справляется с Ахиллесом и черепахой. Допустим, что черепаха стартует в 10 метрах перед Ахиллесом, а Ахиллес бежит вдесятеро быстрее своей соперницы – скажем, 10 метров в секунду против 1 метра в секунду. Таким образом, за 1 секунду Ахиллес отыгрывает 10-метровую фору черепахи. За это время черепаха продвинется на 1 метр. Чтобы покрыть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще 0,1 секунды. За это время черепаха преодолеет еще 0,1 метра. Продолжая рассуждать в том же духе, мы видим, что последовательные отрезки времени, которые нужны Ахиллесу, чтобы покрыть разделяющее расстояние, складываются в бесконечный ряд:

1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1,111… секунд.

Если записать это число в виде обыкновенной дроби, получим 10/9 секунды. Именно столько времени понадобится быстроногому герою мифа, чтобы догнать черепаху. И хотя Зенон был прав в том, что Ахиллесу требуется выполнить бесконечное количество задач, в этом нет ничего парадоксального. Как показывает математика, он может справиться с ними за конечный промежуток времени.

Такое рассуждение использует анализ. Мы просто суммируем бесконечный ряд и вычисляем предельное значение, как делали при обсуждении, почему 0,333… = 1/3. Всякий раз, когда мы работаем с бесконечной записью десятичных чисел, мы применяем анализ (хотя большинство людей отнеслись бы к этому как к школьной арифметике).

Кстати, анализ – не единственный способ справиться с такой задачей. Мы могли бы использовать алгебру. Для этого нам нужно выяснить, где в произвольный момент времени t находится на трассе каждый из соперников. Пусть Ахиллес начинает в нулевой точке. Поскольку он бежит со скоростью 10 метров в секунду, а расстояние равно произведению скорости на время, то в момент t он пробежит 10 × t. Что касается черепахи, то она начинает двигаться в точке 10 и перемещается со скоростью 1 метр в секунду, поэтому в момент t она находится в точке 10 + 1 × t. Чтобы определить время, когда герой настигнет соперницу, нужно приравнять эти два выражения, поскольку с алгебраической точки зрения это означает, что Ахиллес и черепаха находятся в одной точке в один момент времени. Получаем уравнение

10t = 10 + t.

Чтобы решить его, вычитаем t из обеих частей и получаем 9t = 10. Делим обе части на 9 и получаем t = 10 / 9 секунды, то есть ровно тот же ответ, что нам дал анализ. Таким образом, с точки зрения анализа в ситуации с Ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса. Если пространство и время непрерывны, все прекрасно работает.

Зенон в цифровом мире

В третьей апории под названием «Стрела» Зенон выступает против альтернативной идеи, что пространство и время дискретны^[36], то есть состоят из крохотных неделимых частей вроде пикселей пространства и времени. Суть парадокса в следующем: если пространство и время дискретны, то летящая стрела не может двигаться, поскольку в каждый момент (пиксель времени) она занимает некоторое определенное положение в каком-то определенном месте (конкретном наборе «пикселей» в пространстве). Следовательно, в любой конкретный момент стрела не движется. Она также не перемещается между мгновениями, так как, по предположению, между ними нет времени. Поэтому стрела вообще никогда не движется.

На мой взгляд, это самый тонкий и интересный из парадоксов. Философы все еще продолжают его обсуждать, но мне кажется, что на две трети Зенон прав. В мире, где пространство и время дискретны, стрела в полете вела бы себя именно так, как указывает ученый. Она бы странным образом материализовывалась в одном месте за другим по мере того, как время двигалось бы дискретными шажками. И он прав также в том, что, исходя из наших ощущений, реальный мир не таков, во всяком случае не такой, как мы его обычно воспринимаем.

Но Зенон ошибался, полагая, что движение в подобном мире невозможно. Все мы знаем это по собственному опыту просмотра кино и видео на наших цифровых устройствах. Наши мобильные телефоны, цифровые видеорекордеры и компьютерные экраны разрезают все на отдельные пиксели, и тем не менее, вопреки утверждениям Зенона, движение в этих дискретных ландшафтах прекрасно происходит. Когда все «нарезано» достаточно мелко, мы не можем различить слитное движение и его цифровое представление. Если бы мы посмотрели видео с высоким разрешением стрелы в полете, мы бы фактически увидели пиксельную стрелку, которая появляется в одном кадре за другим. Однако из-за ограничений нашего восприятия это выглядит как гладкая траектория. Иногда наши чувства действительно нас обманывают.

Конечно, если нарезать слишком крупными блоками, то разница между непрерывным и дискретным будет заметна, и это нередко утомляет. Подумайте, чем старомодные аналоговые часы отличаются от современных цифровых/механических монстров. На аналоговых часах секундная стрелка перемещается по кругу красиво и равномерно, изображая текучее время, а на цифровых – рывками: тик, тик, тик, изображая скачущее время.

Бесконечность может построить мост между этими весьма различными концепциями времени. Представьте цифровые часы, которые вместо одного громкого «тика» дают триллионы крохотных «тиков» в секунду. Мы уже не сможем отличить такие часы от настоящих аналоговых. Точно так же и с фильмами и видеороликами: пока кадры меняются достаточно быстро – скажем, тридцать раз в секунду, – они создают впечатление плавного потока. А если бы в секунду менялось бесконечное количество кадров, то поток был бы действительно плавным.

Подумайте, как записывается и воспроизводится музыка. Моя дочка недавно получила на 15-летие старомодный проигрыватель Victrola. Теперь она может слушать Эллу Фицджеральд на виниле. Это квинтэссенция аналогового опыта. Все ноты и скеты^[37] Эллы текут так же плавно, как и тогда, когда она их пела; громкость меняется непрерывно между тихими и громкими звуками, захватывая весь диапазон между ними, и точно так же плавно меняется высота ее тона. В то же время, когда вы слушаете ее в цифровом формате, все нюансы ее музыки раздроблены на крошечные дискретные шажки и преобразованы в строки из 0 и 1. Но хотя концептуальные различия огромны, наши уши не в состоянии их уловить.

Таким образом, в обычной жизни пропасть между дискретным и непрерывным вполне преодолима, по крайней мере при хорошем приближении. Для многих практических целей дискретное может заменять непрерывное при достаточно мелком разбиении вещей. В идеальном мире анализа мы можем пойти еще дальше. Все непрерывное можно точно (а не приблизительно) нарезать на бесконечно тонкие бесконечно малые части. Это принцип бесконечности. С пределами и бесконечностью дискретное и непрерывное становятся единым целым.

Зенон встречает кванты

Принцип бесконечности просит нас притвориться, что все можно резать и дробить до бесконечности. Мы уже видели, насколько полезными бывают такие представления. Идея пиццы, которую можно разрезать на произвольно тонкие ломтики, помогла нам найти площадь круга. Естественно, возникает вопрос: существуют ли такие бесконечно малые вещи в реальном мире?

Квантовой механике есть что сказать по этому поводу^[38]. Этот раздел современной физики описывает поведение природы в самых малых масштабах. Это самая точная физическая теория из когда-либо созданных, и она знаменита своею странностью. Ее терминология – со всеми лептонами, кварками и нейтрино – словно позаимствована у Льюиса Кэрролла. Поведение, которое она описывает, тоже часто бывает необычным. В атомном масштабе могут происходить вещи, которые никогда не случатся в макроскопическом мире.

Рассмотрим, например, с точки зрения квантовой механики загадку стены. Если бы нашим путешественником был электрон, он мог бы с некоторой вероятностью пройти сквозь стену. Сработал бы так называемый туннельный эффект. Такое действительно происходит. В классических терминах этому трудно придать смысл, но с точки зрения квантовой механики объяснение состоит в том, что электроны описываются волнами вероятности, которые, в свою очередь, описываются уравнением, предложенным в 1925 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером. Решение уравнения Шрёдингера^[39] показывает, что небольшая часть волны вероятности существует и по другую сторону непроницаемого барьера. Это означает наличие маленькой, но ненулевой вероятности, что электрон будет обнаружен по ту сторону барьера, как если бы он туннелировал сквозь стену. С помощью анализа мы можем рассчитать частоту, с которой происходят такие события, и эксперименты подтвердили прогнозы. Туннельный эффект реален. Альфа-частицы туннелируют, выходя из ядер урана с предсказанной квантовой механикой частотой – это альфа-распад. Туннельный эффект также играет важную роль в процессах ядерного синтеза, которые заставляют Солнце светить, поэтому жизнь на Земле частично зависит и от него. Этот эффект имеет и практические применения: на нем основана работа сканирующих туннельных микроскопов, которые позволяют ученым строить изображения отдельных атомов и манипулировать ими.

У нас нет интуитивного представления о таких событиях на атомном уровне, потому что мы – колоссальные создания, состоящие из триллионов триллионов атомов. К счастью, интуицию может заменить анализ. Вкупе с квантовой механикой он помог физикам открыть теоретическое окно в микромир. Плодами их исследований стали лазеры и транзисторы, микросхемы в компьютерах и светодиоды в телевизорах с плоским экраном.

Хотя квантовая механика во многих отношениях оперирует радикально новыми концепциями, она сохраняет традиционное предположение о непрерывности пространства и времени. Максвелл делал аналогичное предположение в своей теории электромагнитных волн, Ньютон – в теории тяготения, Эйнштейн – в теории относительности. Весь анализ, а следовательно, и вся теоретическая физика опираются на предположение о непрерывности пространства и времени. До сих пор оно приводило к ошеломляющим успехам.

Однако есть основания полагать, что в масштабах гораздо ниже атомных пространство и время теряют непрерывный характер. Мы не знаем, что действительно происходит на этом уровне, но можем строить догадки. Может оказаться, что пространство и время так же «пикселизированы», как в парадоксе Зенона «Стрела», хотя более вероятно, что из-за квантовой неопределенности они вырождаются в беспорядочный хаос. В таких малых масштабах пространство и время могут случайным образом бурлить и волноваться. Они могут меняться, как пузырящаяся пена.

Хотя в вопросе, как представлять пространство и время в этих масштабах, пока согласия нет, есть консенсус в отношении самих этих масштабов. Они определяются тремя фундаментальными константами природы, одна из которых – гравитационная постоянная G Она измеряет силу тяготения во Вселенной. Сначала эта константа появилась в ньютоновском законе всемирного тяготения, а затем в общей теории относительности Эйнштейна. Она будет и в любой теории, которая их заменит. Вторая постоянная ħ (читается «h с чертой») отражает силу квантовых эффектов^[40]. Она появляется, например, в принципе неопределенности Гейзенберга и в волновом уравнении Шрёдингера, использующемся в квантовой механике. Третья константа – это скорость света c Это максимальная скорость во Вселенной. Никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей c. Эта скорость должна обязательно входить в любую теорию пространства и времени, поскольку связывает их: расстояние равно произведению скорости и времени. В 1899 году отец квантовой теории немецкий физик Макс Планк понял, что есть единственный способ объединить эти фундаментальные константы для получения единицы длины. Он пришел к выводу, что такая единица – естественная «мера длины» во Вселенной. В его честь она именуется планковской длиной^[41] и определяется следующим соотношением:

Если подставить измеренные значения ħ, G и c, то планковская длина оказывается равной около 10^–35 метра – ошеломительно малое расстояние, которое примерно в сто миллионов триллионов раз меньше диаметра протона. Соответствующее планковское время – это время, за которое свет проходит такое расстояние, и оно приблизительно равно 10^–43 секунды. При меньших величинах пространство и время теряют смысл.

Эти числа ограничивают наши возможности деления пространства и времени. Чтобы ощутить уровень точности, о котором мы говорим, посмотрим, сколько цифр нам понадобится для проведения одного из самых экстремальных сравнений. Возьмем самое большое возможное расстояние – оцениваемый диаметр Вселенной, и разделим его на самое маленькое возможное расстояние – планковскую длину. Это невообразимо огромное отношение расстояний выражается числом, состоящим всего лишь из шестидесяти цифр. Хочу подчеркнуть – всего шестидесяти. И это самое большое число, которое понадобится, чтобы выразить одно расстояние через другое. Использование большего количества – скажем, сотни цифр, не говоря уже о еще больших числах – было бы колоссальным излишеством, не требующимся для описания каких-либо реальных расстояний в материальном мире^[42].

И все же в анализе мы постоянно используем бесконечно много цифр. Уже в школе учеников просят думать о числах наподобие 0,333…, причем десятичное разложение продолжается бесконечно. Мы называем эти числа действительными, хотя в них нет ничего действительного. Определение такого числа с помощью бесконечного количества знаков после запятой не имеет ничего общего с реальностью, по крайней мере в том ее понимании, которое бытует в современной физике.

Но если действительные числа недействительны, то почему математики так их любят? И почему школьники вынуждены их изучать? Потому что они нужны в анализе. С самого начала анализ упорно настаивал, что все – пространство и время, вещество и энергия, все объекты, которые когда-либо были или будут, – должно считаться непрерывным. Соответственно, все это можно и нужно выражать действительными числами. В этом идеализированном воображаемом мире мы делаем вид, что все можно без конца делить на все более мелкие кусочки. На этом предположении построена вся теория анализа. Без него нельзя вычислить пределы, а без пределов анализ бы остановился. Если бы мы использовали только десятичные дроби с не больше чем 60 цифрами после запятой, то числовая прямая была бы испещрена дырками. Дыры были бы на месте числа π, квадратного корня из 2 и многих других чисел, для выражения которых требуется бесконечное число цифр после запятой. Отсутствовала бы даже такая простая дробь, как 1/3, потому что для выражения ее местоположения на цифровой прямой тоже требуется бесконечное число цифр (0,333…). Если мы хотим думать о всей совокупности чисел, образующих прямую, эти числа тоже должны быть действительными. Возможно, они только приближение к реальности, но они изумительно работают. Как и везде в анализе, бесконечность все упрощает и в случае бесконечных десятичных знаков после запятой.

Глава 2. Человек, который обуздал бесконечность

Примерно через двести лет после того, как Зенон задумался о природе пространства, времени, движения и бесконечности, еще один мыслитель счел бесконечность неотразимой. Его звали Архимед^[43]. Мы уже встречались с ним, когда говорили о площади круга, но он легендарен и по многим другим причинам.

Начнем с того, что о нем ходит много забавных историй^[44]. В некоторых он предстает этаким чудаком-математиком. Например, историк Плутарх рассказывает^[45], что Архимед настолько увлекался геометрией, что «забывал о пище и уходе за телом»^[46],^[47]. (Это определенно верно. Для многих из нас, математиков, еда и личная гигиена не входят в список приоритетов.) Из-за этого, как говорит Плутарх, ученого даже насильно заставляли принимать ванну^[48]. Забавно, что он занимался этим с такой неохотой, учитывая, что именно с купанием связана история, которую знают все. По словам римского архитектора Витрувия^[49], Архимед был настолько возбужден внезапным озарением во время купания, что выскочил из ванны и побежал голышом по улице, крича: «Эврика!» («Нашел!»).

Другие истории рисуют его магом военного искусства, воином-ученым – настоящим отрядом смерти из одного человека. Согласно этим легендам, когда его родной город Сиракузы в 212 году до нашей эры осадили римляне, Архимед – к тому времени уже почти 70-летний старик – помогал защищать город, применяя свои знания о рычагах и блоках для создания фантастического оружия – «боевых машин», таких как крюки и гигантские краны, которые поднимали римские корабли из воды и стряхивали с них моряков, как вытряхивают песок из обуви. Плутарх описывал эту ужасающую сцену так: «Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесенными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались»^[50],^[51].

Если говорить о более серьезных вещах, то все школьники и инженеры помнят закон Архимеда (на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости) и закон рычага (предметы на противоположных плечах рычага уравновешиваются, если их массы обратно пропорциональны расстояниям от точки опоры). Обе идеи имеют бесчисленные практические приложения. Закон Архимеда объясняет, почему одни объекты плавают, а другие – нет. Он также лежит в основе теории кораблестроения, теории остойчивости судов и проектирования морских нефтебуровых платформ. А принцип рычага вы, сами того не сознавая, применяете каждый раз, когда используете ножницы для ногтей или лом.

Возможно, Архимед был потрясающим конструктором боевых машин и, несомненно, блестящим ученым и инженером, но по-настоящему в пантеон великих его вводят достижения в математике. Он проложил путь к интегральному исчислению. Глубочайшие идеи, содержащиеся в его работах, больше не встречались почти два тысячелетия. Сказать, что он опередил свое время, – значит ничего не сказать. Кто-нибудь опережал свое время настолько?

В работах ученого постоянно появляются две стратегии. Первая – активное использование принципа бесконечности. Чтобы изучать загадки кругов, сфер и прочих криволинейных форм, Архимед всегда аппроксимировал их с помощью прямолинейных форм, состоящих из прямых и кусков плоскостей, похожих на грани драгоценных камней. Воображая все большее количество частей и делая их все меньше по размеру, он подгонял свои приближения все ближе к истине, подходя к пределу с бесконечным количеством частей. Такая стратегия требовала филигранного обращения с суммами и головоломками, поскольку для получения своих выводов ему приходилось складывать множество чисел и частей.

Вторая примечательная стратегия – сочетание математики с физикой, идеального с реальным. В частности, он объединял геометрию, науку о формах, с механикой, изучающей движение и силы. Иногда он использовал геометрию, чтобы пролить свет на механику; иногда ход мыслей бывал обратным – механические соображения рождали идеи для чистых форм. Искусно используя обе стратегии, Архимед смог глубоко проникнуть в тайну кривых.

Поимка числа π

Когда я иду на работу или гуляю вечером с собакой, шагомер в моем iPhone отслеживает пройденное расстояние. Вычисления просты: приложение оценивает длину шага, исходя из моего роста, считает количество сделанных шагов, а затем перемножает эти два числа. Пройденное расстояние равно длине шага, умноженной на количество шагов.

Архимед использовал аналогичную идею для вычисления длины окружности и оценки числа π^[52]. Представьте, что окружность – это дорожка для ходьбы. Путь будет выглядеть примерно так:

Каждый шаг представлен коротким отрезком. Умножив число шагов на длину одного отрезка, мы можем оценить длину пути. Конечно, это всего лишь оценка, потому что окружность на самом деле состоит не из прямых отрезков, а из дуг. Заменяя каждую дугу отрезком, мы слегка сокращаем путь. Поэтому такое приближение занижает реальную длину круговой дорожки. Но, по крайней мере теоретически, сделав достаточно большое количество достаточно маленьких шагов, мы можем приблизить длину дорожки с желаемой точностью.

Архимед проделал ряд подобных вычислений, начав с пути из шести шагов, то есть с правильного шестиугольника^[53].

Это был удобный базовый лагерь перед штурмом более сложных вычислений. Преимущество шестиугольника в том, что его периметр – сумму длин всех шести сторон – вычислить очень просто. Он в шесть раз больше радиуса круга. Почему? Потому что шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, длина сторон которых равна радиусу круга.

Шесть сторон таких треугольников образуют периметр шестиугольника.

Получается, периметр в шесть раз больше радиуса, то есть p = 6r. Тогда, поскольку длина окружности C больше, чем периметр шестиугольника p, должно выполняться C > 6r.

Это рассуждение дало Архимеду нижнюю границу для числа, которое мы называем пи, обозначаем греческой буквой π и определяем как отношение длины окружности к ее диаметру. Так как диаметр d равен 2r, то из неравенства C > 6r следует:

Таким образом, с помощью шестиугольника можно определить, что π > 3.

Конечно, шесть – это смехотворно малое число шагов, и получившийся шестиугольник – очень грубая карикатура на окружность, но для Архимеда он был всего лишь началом. Выяснив все, что мог дать ему шестиугольник, он уменьшил длину шагов, но увеличил их количество. Он добавил средние точки всех дуг и вместо одного шага стал делать два.

Он, как одержимый, продолжал делать так снова и снова, перейдя от шести шагов к 12, потом к 24, 48 и 96, вычисляя периметр получающихся многоугольников с точностью, вызывающей мигрень.

К сожалению, по мере уменьшения длины отрезков стало все труднее вычислять их длину, поскольку ему приходилось постоянно применять теорему Пифагора, а для этого требовалось находить квадратные корни – чертовски сложная вещь, когда приходится считать вручную. Кроме того, чтобы получить не только оценку снизу, но и сверху, Архимед использовал второй многоугольник – описанный вокруг окружности; его периметр был больше, чем длина окружности.

Я хочу сказать, что вычисление Архимедом числа π было героическим подвигом – и с логической, и с арифметической точки зрения. В итоге, использовав 96-угольник, вписанный в круг, и 96-угольник, описанный около круга, он доказал, что число π больше, чем 3 + 10/71, и меньше, чем 3 + 10/70.

Забудьте на минуту о математике. Просто насладитесь этим результатом на визуальном уровне:

Неизвестное и вечно непостижимое число π оказалось зажато в тиски между двумя почти одинаковыми числами, отличающимися только знаменателями 70 и 71. Одно из полученных граничных значений – число 3 + 10/70 = 22/7 – стало знаменитым приближением для π, знакомым всем школьникам; к сожалению, многие ошибочно считают его самим числом π.

Метод, который использовал Архимед (он основывается на более ранних работах греческого математика Евдокса), сегодня известен как метод исчерпывания, когда неизвестное число π оказывается зажатым между двумя известными числами. С каждым удвоением границы сближаются, оставляя числу π все меньше места.

Окружности – это простейшие кривые в геометрии. Тем удивительнее, что определение их количественных характеристик выходит за ее рамки. Например, вы не найдете упоминания о числе π в «Началах» Евклида, написанных за одно-два поколения до Архимеда. Вы найдете там доказательство (методом исчерпывания), что отношение площади круга к квадрату его радиуса одинаково для всех кругов, но ни малейшего намека на то, что это универсальное число близко к 3,14. Такое упущение Евклида было сигналом, что тут нужно что-то более глубокое. Чтобы разобраться с числовым значением π, потребовалась новая математика, которая бы могла работать с криволинейными формами. Как измерить длину кривой, площадь криволинейной фигуры или объем криволинейного тела? Эти актуальные вопросы увлекли Архимеда и позволили сделать первые шаги по направлению к тому, что мы сейчас именуем интегральным исчислением. Число π было его первым триумфом.

Дао числа π

Современным умам может показаться странным, что число π не появляется в формуле Архимеда для площади круга, A = rC / 2 и что он никогда не записывал уравнения типа C = πd для выражения длины окружности через диаметр. Он избегал это делать, поскольку π не было для него числом. Это было просто отношение двух длин, длины окружности и ее диаметра. Это была какая-то величина, а не число.

Сегодня мы не проводим различия между величиной и числом, но в древнегреческой математике оно было важным. По-видимому, оно возникло из-за напряженности между дискретным (представляемым целыми числами) и непрерывным (представляемым формами). Исторические подробности неясны, но, похоже, что где-то между Пифагором и Евдоксом, между VI и IV веками до нашей эры, кто-то доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной^[54], то есть отношение этих двух длин нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Говоря современным языком, этот кто-то обнаружил существование иррациональных чисел^[55]. Есть подозрение, что это открытие потрясло и разочаровало греков, поскольку противоречило убеждениям пифагорейцев. Если целые числа и их отношения не могут измерить даже такую несложную вещь, как диагональ квадрата, то утверждение «все есть число» оказывалось ложным. Столь обескураживающее разочарование может объяснить, почему поздние греческие математики всегда ставили геометрию выше арифметики. Числам больше нельзя было доверять. Они не годились для фундамента математики.

Древнегреческие математики поняли, что, для того чтобы описывать непрерывные величины и рассуждать о них, им нужно нечто более мощное, чем целые числа. Поэтому они разработали систему, основанную на формах и их отношениях. Она опиралась на измерение геометрических объектов – длины отрезков, площади квадратов, объемы кубов. Все это греки называли величинами. Они считали их отличными от чисел и превосходящими их.

Думаю, именно поэтому у Архимеда не было тесных отношений с числом π. Он не знал, что с ним делать. Это было странное сверхъестественное творение, куда более экзотичное, нежели любое число.

Сегодня мы считаем π числом – действительным числом, для записи которого требуется бесконечное количество знаков после запятой, – причем числом захватывающе интересным. Моих детей оно просто заинтриговало. Они часто смотрели на тарелку, висящую на стене нашей кухни, на которой цифры числа π бежали по ободку, а затем сходились по спирали к центру, уменьшаясь в размерах по мере того, как пропадали в этом водовороте. Для детей очарование заключалось в выглядящей случайно последовательности цифр без каких-либо закономерностей и повторений, продолжающейся вечно – настоящей бесконечностью на тарелке. Первые несколько цифр в бесконечном десятичном представлении числа π таковы:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749…

Мы никогда не узнаем всех цифр числа π. Тем не менее они ожидают своего открытия. На момент написания этой книги лучшие компьютеры мира вычислили 22 триллиона цифр. И все же 22 триллиона – ничто по сравнению с бесконечным количеством цифр, определяющих π. Подумайте, насколько это тревожно с философской точки зрения. Я сказал, что цифры числа π есть, но где именно? В материальном мире их нет. Они существуют в какой-то платоновской реальности вместе с абстрактными понятиями вроде истины и справедливости.

В числе π есть нечто парадоксальное. С одной стороны, оно представляет собой порядок, воплощенный в форме круга, который долгое время считался символом совершенства и вечности. С другой же стороны, π – непокорное, внешне неопрятное число, его цифры не подчиняются никаким явным правилам, по крайней мере тем, которые мы можем воспринимать^[56]. Число π неуловимо и загадочно, навеки недостижимо. Столь завораживающим его делает сочетание в нем порядка и беспорядка.

По большому счету π – это дитя анализа. Оно определяется как недостижимый предел нескончаемого процесса. Но, в отличие от последовательности многоугольников, неуклонно приближающихся к окружности, или незадачливого пешехода, проходящего половины половин пути к стене, у π нет предела, который мы можем узнать. И тем не менее π существует. Вот оно, четко определенное как отношение двух длин, лежащих перед нами: длины окружности и ее диаметра. Это отношение определяет π, причем максимально ясно, хотя само число ускользает сквозь наши пальцы.

Со своими началами инь и ян число π напоминает весь анализ в миниатюре. Это портал между круглым и прямолинейным, бесконечно сложное число, баланс между порядком и хаосом. В свою очередь, анализ использует бесконечное для изучения конечного, неограниченное для изучения ограниченного, прямое для изучения кривого. Принцип бесконечности – ключ к разгадке тайны кривых, и впервые он возник здесь, в загадке π.

Кубизм встречается с анализом

Архимед углубился в загадку кривых, снова руководствуясь принципом бесконечности, в своем труде под названием «Квадратура параболы»^[57]. Парабола – это кривая, которую описывает мяч при броске или струйка воды из фонтана. На самом деле эти дуги в реальном мире можно считать параболами только приближенно. Согласно Архимеду, настоящая парабола получается при сечении конуса плоскостью^[58]. Представьте себе нож, который разрезает колпак или конический бумажный стаканчик; при разрезе могут получиться разные виды кривых – в зависимости от того, под каким углом нож будет резать конус. Разрез параллельно основанию конуса образует окружность.

Если провести разрез немного наклонно, получится эллипс.

Если угол разреза будет таким же, как у самого конуса, получится парабола.

Если посмотреть на плоскость разреза, то парабола выглядит как изящная симметричная кривая. Линия симметрии называется осью параболы.

В своем труде Архимед поставил перед собой задачу вычислить площадь сегмента параболы. Говоря современным языком, сегментом параболы называется криволинейная область, лежащая между параболой и пересекающей ее прямой.

Термином «квадратура» называется определение площади какой-либо фигуры (изначально – построение квадрата, равновеликого этой фигуре), то есть поиск способа выразить ее через более простые формы – квадрат, треугольник, прямоугольник и прочие прямолинейные фигуры.

Архимед использовал потрясающую стратегию. Он представил сегмент параболы как бесконечное множество треугольных черепков, склеенных вместе, словно осколки разбитого глиняного горшка.

Эти осколки образуют бесконечную иерархию размеров: один большой треугольник, два поменьше, четыре еще меньше и так далее. Ученый планировал найти их площади, а затем сложить их и вычислить интересующую его площадь. Требовался калейдоскопический скачок художественного воображения, чтобы представить плавный сегмент в виде мозаики из угловатых кусков. Если бы Архимед был художником, он стал бы первым кубистом.

Для реализации своей стратегии Архимеду требовалось вычислить площадь всех осколков. Но как точно определить эти осколки? Ведь параболический сегмент можно разбивать на куски бесконечным числом способов – так же как бесконечным числом способов можно разбить тарелку на части. Самый большой осколок может выглядеть вот так, или так, или вот так:

Ученому пришла в голову блестящая идея. Блестящая потому, что она создавала закономерность, которую можно было сохранять на всех уровнях иерархии. Он представил, как секущая линия в основании сегмента скользит вертикально, сохраняя свой наклон, пока не будет соприкасаться с параболой в единственной точке неподалеку от вершины.

Такая особая точка называется точкой касания. Она определяет третью вершину большого треугольника, где две другие – точки пересечения секущей и параболы.

Архимед использовал эту же тактику для определения треугольников на каждом этапе в иерархии. Например, на втором этапе треугольники выглядели так:

Обратите внимание, что теперь роль наклонной линии, пересекавшей треугольник на предыдущем этапе, играют стороны большого треугольника.

Затем Архимед использовал известные геометрические факты о параболах и треугольниках, чтобы узнать, как площади треугольников одного уровня связаны с площадью треугольников предыдущего уровня. Он доказал, что площадь каждого нового треугольника составляет 1/8 площади породившего его треугольника. Таким образом, если считать, что площадь первого, самого крупного, треугольника 1 (пусть он будет нашей единицей площади), то площадь двух дочерних треугольников будет 1/8 + 1/8 = 1/4.

На каждом следующем этапе справедливо то же правило: дочерние треугольники всегда составляют в сумме четверть площади от родительского. Следовательно, общая площадь сегмента параболы, состоящая из всего бесконечного количества осколков, должна равняться

В этом бесконечном ряду каждый член вчетверо меньше предыдущего.

Существует простой способ вычислить сумму членов такого ряда, известного как геометрическая прогрессия. Хитрость состоит в том, чтобы избавиться от бесконечного числа слагаемых. Для этого умножим обе части уравнения на 4 и вычтем из получившегося равенства исходное. Смотрите: умножение всех членов ряда на 4 дает:

Чудо происходит между предпоследней и последней строками. В предпоследней строке, подобно фениксу, возродилось выражение для исходной площади: и поэтому мы получаем

4 × Площадь = 4 + Площадь.

Вычитая из обеих частей величину Площадь, получаем 3 × Площадь = 4, откуда Площадь = 4 / 3. Другими словами, площадь сегмента параболы составляет 4 / 3 от площади самого большого треугольника.

Рассуждение о сыре

Архимед не одобрил бы вышеприведенный трюк. Он получил тот же результат другим путем, используя рассуждение под названием двойное доказательство от противного. Он доказывал, что площадь сегмента параболы не может быть меньше 4 / 3 или больше 4 / 3, поэтому она должна быть равна 4 / 3. Как позднее советовал Шерлок Холмс, «отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет истиной, какой бы невероятной она ни казалась»^[59].

Принципиально важно здесь то, что Архимед устранил невозможное с помощью рассуждений, основанных на конечном количестве осколков. Он показал, что суммарная площадь всех осколков может отличаться от числа 4 / 3 сколь угодно мало – просто надо взять достаточно большое их количество. Поэтому Архимед не прибегал к бесконечности. Все в его доказательстве было железным и вполне соответствует современным стандартам строгости.

Суть его аргументов легко понять, если представить их в виде повседневных терминов. Предположим, что три человека хотят поделить между собой четыре одинаковых ломтика сыра.

Самым здравым решением было бы дать каждому по кусочку, а оставшийся разрезать на три равные части. Это честно: каждый получит по 1 + 1/3 = 4/3 ломтика.

Но предположим, что эти трое оказались математиками, которые слоняются вокруг стола с едой перед семинаром, разглядывая последние четыре ломтика сыра. Самый сообразительный из троих, по совпадению носящий имя Архимед, может предложить такое решение: «Ребята, берем по одному куску, а оставшийся будем делить. Евклид, разрезай его на четыре части, а не на три. Теперь опять берем каждый по четверти, а оставшийся делим. Продолжаем так делать, пока оставшаяся крошка не перестанет нас интересовать. Хорошо? Евдокс, прекрати ныть».

Сколько всего сыра съест каждый из них, если процесс будет продолжаться бесконечно? После первого этапа каждый математик съест один ломтик. После второго, когда поделили четверть, у всех по 1 + 1/4 ломтика. После третьего этапа каждый съест по 1+ 1/4 + 1/16 ломтика. И так далее. Если дележ будет продолжаться вечно, каждому достанется 1+ 1/4 + 1/16 + … ломтиков сыра. А поскольку эта величина равна трети от исходного количества сыра, то 1+ 1/4 + 1/16 + … = 4/3.

В «Квадратуре параболы» Архимед дал очень близкое рассуждение, включая диаграмму с квадратами разного размера, но нигде не прибегал к бесконечности и не пользовался аналогами многоточия, чтобы показать бесконечную сумму. Наоборот, он рассуждал в терминах конечных сумм, так что его изложение было безупречно строгим. Его ключевое соображение заключалось в том, что крохотный квадратик в правом верхнем углу – текущий остаток, который еще предстоит разделить, – можно сделать меньше любого заданного числа после достаточно большого, но конечного числа этапов. И, согласно аналогичным рассуждениям, величину 1+ 1/4 + 1/16 + … + 1/4n (общее количество сыра, которое получает каждый математик) можно сделать сколь угодно близкой к числу 4/3, если взять достаточно большое n. Поэтому единственно возможный ответ – 4/3.

Метод

В этот момент я начинаю испытывать настоящее расположение к Архимеду, поскольку в одном из своих сочинений^[60] он делает то, на что решаются немногие гении: приглашает нас посмотреть, как он мыслит^[61]. (Я использую здесь настоящее время, потому что этот труд воспринимается так, словно ученый говорит с нами сегодня). Он делится своей уязвимой интуицией и выражает надежду, что будущие математики станут использовать ее для решения задач, которые ускользнули от него. Сегодня этот секрет известен как метод^[62]. Я никогда не слышал о нем на занятиях по анализу. Нас ему не учат. Но я нахожу его историю и саму изначальную идею захватывающей и уникальной.

Архимед пишет о «Методе» в письме своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии и единственному математику того времени, способному его понять. Он признается, что хотя его метод и не обеспечивает реальной демонстрации результатов^[63], которые его интересуют, он помогает установить истину. Это наделяет его интуицией. Как он говорит, «если мы с помощью этого метода заранее получили какие-то знания по нужному вопросу, получить доказательство проще, чем находить его без предварительного знания». Другими словами, разминаясь, играя с методом, Архимед приобретает ощущение территории. И это приводит его к надежным доказательствам.

Вот такой честный отчет о том, что значит заниматься творческой математикой. Математики не придумывают доказательств сразу. Сначала срабатывает интуиция. Строгость приходит позднее. Эту решающую роль интуиции и воображения часто не учитывают в школьных курсах геометрии, однако она важна для всей творческой математики.

Архимед с надеждой заключает, что «среди нынешних и будущих поколений найдутся те, кто с помощью описанного здесь метода сможет найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю»^[64]. От этих слов у меня на глаза наворачиваются слезы. Этот непревзойденный гений, ощущающий конечность своей жизни на фоне бесконечности математики, признает, что еще предстоит очень много сделать и что существуют «другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Все мы, математики, это понимаем. Наш предмет бесконечен. Он учит смирению даже самого Архимеда.

Первое упоминание о методе появляется в начале сочинения о квадратуре параболы, перед кубистским доказательством с помощью осколков. Архимед признает, что именно метод привел его к этому доказательству и прежде всего к числу 4/3.

Что же это за метод и что в нем такого личного, блестящего и трансгрессивного? Метод механический; Архимед ищет площадь сегмента параболы, мысленно его взвешивая. Он думает об этой криволинейной области как о материальном предмете – я представляю его в виде тонкого листа металла, обрезанного до желаемой параболической формы, – а затем помещает его на один конец воображаемых весов. Или, если вам так удобнее, представьте его на конце воображаемой доски-качалки. Затем он выясняет, как уравновесить этот предмет с помощью фигуры, которую он уже умеет взвешивать, – треугольника. Отсюда он выводит площадь первоначального сегмента параболы.

Это еще более творческий подход, чем его кубистско-геометрическая техника осколков и треугольников, которую мы обсуждали ранее, поскольку в этом случае Архимед собирается построить для вычислений воображаемую доску-качалку, причем так, чтобы она соответствовала размерам параболы. В совокупности его идеи дадут ответ, который он ищет.

Он начинает с сегмента параболы и наклоняет его так, чтобы ось симметрии параболы была вертикальной.

Затем он строит качалку. Инструкция по эксплуатации гласит: нарисуйте большой треугольник внутри сегмента параболы и обозначьте его ABC. Как и в кубистском доказательстве, он будет служить стандартной мерой площади. Мы будем сравнивать с ним площадь сегмента и увидим, что она в 4/3 раза больше.

Теперь заключим наш сегмент в треугольник гораздо большего размера, ACD.

Верхняя сторона этого треугольника выбирается как касательная прямая к параболе в точке C. Основание треугольника – линия AC. Левая же сторона – линия, идущая от А вертикально вверх до пересечения с верхней стороной в точке D. С помощью обычной евклидовой геометрии Архимед доказывает, что площадь этого большого внешнего треугольника ACD вчетверо превышает ABC. (Этот факт станет важным позже, а пока возьмем его на заметку.)

Следующий этап – строительство остальной части качалки: доски, двух сидений и точки опоры. Доска – это линия, соединяющая два сиденья. Она начинается в точке C (первое сиденье), проходит через B, пересекает границу внешнего треугольника в F (это будет точка опоры) и продолжается далее до точки S (второе сиденье), которая определяется как FS = FC. Иными словами, F – середина отрезка SC.

И вот тут появляется ошеломляющая идея, лежащая в основе всей концепции. Используя известные факты о параболах и треугольниках, Архимед доказывает, что можно уравновесить большой внешний треугольник относительно сегмента параболы, если представлять его по одной вертикальной линии за раз. Он считает обе фигуры состоящими из бесконечного количества параллельных отрезков, похожих на бесконечно тонкие планки или ребра. Вот типичная пара вертикальных линий-ребер. Короткое ребро соединяет основание с параболой,

а длинное ребро – с верхней стороной внешнего треугольника.

Суть идеи состоит в том, что эти ребра идеально уравновешивают друг друга, как дети, качающиеся на доске, если они находятся в правильных точках. Архимед доказывает, что если сдвинуть короткое ребро до точки S, а длинное оставить на своем месте, то они уравновешиваются.

То же самое верно для любого вертикального кусочка. Неважно, какой вертикальный срез вы сделаете, короткое ребро всегда уравновесит длинное, если вы поместите его в точку S, а длинное оставите на месте.

Поэтому две фигуры уравновешивают друг друга: ребро за ребром. Если перенести все ребра параболы в S, то они уравновешивают все ребра внешнего треугольника ACD. Соответственно, вся масса параболы, перемещенная в S, уравновешивает внешний треугольник, находящийся там, где он есть.

Далее Архимед заменяет весь внешний треугольник одной эквивалентной точкой под названием центр тяжести треугольника. Эта точка – словно «заместитель» треугольника. Весь треугольник воздействует на доску качелей так, будто вся его масса сосредоточена в одной точке – центре тяжести. Этот центр, как Архимед уже показал в другой работе, лежит внутри треугольника на линии FC в точке, расстояние от которой до F ровно в три раза меньше, чем расстояние SF.

Итак, у нас получается рычаг, где вся масса параболы в точке S уравновешивает массу треугольника (сосредоточенную в одной точке), причем длинное плечо рычага втрое длиннее короткого. Следовательно, по закону рычага масса параболы втрое меньше площади треугольника. Это означает, что площадь сегмента параболы составляет треть от площади треугольника ACD. Однако ранее мы уже взяли на заметку тот факт, что ACD вчетверо больше ABC. Поэтому площадь сегмента параболы составляет 4/3 от площади треугольника ABC внутри него… Тот же результат, что мы получили, находя площадь с помощью бесконечного ряда из треугольных осколков!

Надеюсь, мне удалось передать всю психоделичность этого рассуждения. Здесь Архимед уже больше похож не на гончара, собирающего черепки, а на мясника. Он делит ткань параболической области, по одной вертикальной полоске за раз, и подвешивает эти бесконечно тонкие полоски на крюке в точке S. Общий вес мяса остается таким же, как если бы это был исходный цельный сегмент параболы. Просто он порезал исходную фигуру на множество вертикальных тончайших полосок, висящих на одном крюке. (Хм, странный образ. Возможно, нам лучше придерживаться терминологии доски-качалки?!)

Почему я назвал это рассуждение трансгрессивным? Потому что оно оперирует актуальной бесконечностью. На каком-то этапе Архимед открыто описывает внешний треугольник как «составленный из всех параллельных линий»^[65]. Конечно, в греческой математике это было табу – вся эта бесконечная совокупность вертикальных линий, все эти вертикальные ребра. Он открыто представляет треугольник как уже завершенную бесконечность – совокупность ребер. И, делая это, выпускает голема на свободу.

Точно так же он описывает сегмент параболы – как «состоящий из всех параллельных линий, нарисованных внутри фигуры»^[66]. Привлечение актуальной бесконечности, по его оценке, понижает статус этого рассуждения до эвристического – то есть это средство найти ответ, но не доказать его правильность. В письме Эратосфену он преуменьшает значение метода, говоря, что это не более чем своего рода указание на то, что вывод будет верным^[67].

Каким бы ни был статус метода Архимеда, он обладает свойством e pluribus unum. Это латинское выражение, означающее «из многих – единое», используется как девиз на гербе США. Из бесконечного множества отрезков, составляющих параболу, возникает единая область. Думая о ней как о массе, Архимед перемещает ее, отрезок за отрезком, на левое сиденье доски-качалки. Теперь бесконечность отрезков представлена массой, сосредоточенной в одной точке. Единое заменяет многое, представляя его точно и верно.

То же самое справедливо и для уравновешивающего внешнего треугольника на правой стороне доски. Континуум вертикальных линий превращается в одну точку – центр тяжести. Она тоже заменяет целое. Бесконечность схлопывается в единое, e pluribus unum. Только это не поэзия и не политика, а истоки интегрального исчисления. Треугольники и сегменты парабол каким-то таинственным образом в каком-то смысле, который Архимед не смог строго определить, явно эквивалентны бесконечности из вертикальных линий.

Хотя Архимеда, похоже, смущает его заигрывание с бесконечностью, у него хватает смелости в этом признаться. Любой, кто пытается измерить криволинейную форму – найти длину границы или объем, который она заключает, – вынужден сражаться с пределом бесконечных сумм бесконечно малых частей. Осторожные люди могут попытаться обойти эту необходимость с помощью метода исчерпывания. Но на деле от нее никуда не деться. Справляться с криволинейными формами – так или иначе значит справляться с бесконечностью. Архимед открыто об этом говорит. Когда ему нужно, он может нарядить свои доказательства в респектабельные одежды, используя конечные суммы и метод исчерпывания. Но в глубине души он лукавит. Он признает, что мысленно взвешивает фигуры, мечтает о рычагах и центрах тяжести, взвешивая области и твердые тела отрезок за отрезком, по одному бесконечно малому кусочку за раз.

Архимед применил этот метод ко многим другим задачам о криволинейных формах. Например, для поиска центра тяжести полусферы, параболоида и сегментов эллипсоидов и гиперболоидов. Его любимый результат, который касался соотношения объемов и площадей поверхности шара и цилиндра^[68], нравился ему настолько, что он завещал высечь его на могильном камне. Представьте себе шар, точно размещенный в цилиндрической коробке (шар, вписанный в цилиндр).

С помощью метода Архимед установил, что объем вписанного в цилиндр шара составляет 2/3 от объема цилиндра, а площадь поверхности этого шара – 2/3 от площади поверхности описанного цилиндра. Обратите внимание, что он не дал формул для объема или площади поверхности сферы, как мы сделали бы сегодня. Он выразил свой результат в виде пропорций. Это классический греческий стиль. Все выражается в пропорции. Область сравнивали с другой областью, а объем – с другим объемом. И когда в пропорциях получились небольшие целые числа, как здесь (3 и 2) или в случае сегмента параболы (4 и 3), это было источником непередаваемого удовольствия. В конце концов, эти же самые соотношения 3:2 и 4:3 имели особое значение для древних греков из-за их роли в пифагорейской теории музыкальной гармонии. Вспомните, что, если защипнуть две струны с соотношением длин 3:2, они звучат гармонично, будучи разделенными через интервал, известный как квинта. Аналогично струны в соотношении 4:3 дают кварту. Такие числовые совпадения между гармонией и геометрией, должно быть, восхищали Архимеда.

Его слова в трактате «О шаре и цилиндре» показывают, насколько ему нравится результат: «Разумеется, эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам»^[69]. Не обращайте внимания на нотки гордости, а сосредоточьтесь на его утверждении, что «свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными». Здесь он выражает философию математики, близкую сердцам всех математиков. Мы чувствуем, что открываем математику. Результаты уже существуют и ждут нас. Они всегда были присущи телам. Мы их не изобретаем. В отличие от Боба Дилана или Тони Моррисона, мы не пишем музыку или романы, которых раньше не было, а открываем уже имеющиеся факты, которые присущи изучаемым нами объектам. Хотя у нас есть творческая свобода изобретать сами объекты – создавать такие идеализации, как сферы, круг и цилиндры, как только мы это делаем, они начинают жить собственной жизнью.

Когда я читаю, как Архимед радуется обнаружению соотношений для площади поверхности и объема шара, я испытываю аналогичные ощущения. Или, скорее, понимаю, что он чувствовал то же самое, что и все мои коллеги-математики. Хотя нам говорят, что «прошлое – это чужая страна»^[70], она не может быть чужой во всех отношениях. Люди, о которых мы читаем у Гомера и в Библии, очень похожи на нас. То же самое, по-видимому, верно и в отношении древнегреческих математиков, по крайней мере Архимеда, единственного, кто впустил нас в свое сердце.

Двадцать два века назад, написав письмо своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии, Архимед, по сути, отправил ему математическое послание в бутылке, которое тогда практически никто не мог оценить, но он надеялся, что оно благополучно преодолеет моря времени. Он делился своей интуицией, своим методом, желая, чтобы он помог будущим поколениям математиков «найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Шансы были против него. Времена всегда были жестокими. Царства рушились, библиотеки сжигались, рукописи портились. Ни одна копия «Метода» не пережила периода Средневековья. Хотя Леонардо да Винчи, Галилей, Ньютон и другие гении Возрождения и научной революции изучали то, что осталось от трудов Архимеда, у них не было возможности прочитать «Метод». Считалось, что он безвозвратно утерян.

А затем каким-то чудом его нашли.

В октябре 1998 года потрепанный средневековый молитвенник был выставлен на аукцион Christie’s и продан анонимному частному коллекционеру за 2,2 миллиона долларов. Под латинскими молитвами просматривались едва различимые геометрические чертежи и математический текст, написанный на греческом языке в X веке. Книга оказалась палимпсестом: в XIII веке ее пергаментные листы были вымыты и очищены от греческого текста ради написанных поверх литургий на латыни. К счастью, греческий текст не был полностью уничтожен. Это оказалась единственная сохранившаяся копия «Метода» Архимеда^[71].

На палимпсест Архимеда^[72], как сейчас называют эту рукопись, впервые обратили внимание в 1899 году, когда он находился в православной библиотеке в Константинополе. Ренессанс и научную революцию он пролежал незамеченным в лавре Саввы Освященного недалеко от Вифлеема. Сейчас он находится в художественном музее Уолтерса в Балтиморе, где был с любовью отреставрирован и исследован с применением новейших технологий воссоздания изображений^[73].

Архимед сегодня: от компьютерной анимации до лицевой пластики

Наследие Архимеда живо и сегодня^[74]. Взгляните на анимированные фильмы^[75], которые так любят смотреть наши дети. Персонажи «Шрека», «В поисках Немо» или «Истории игрушек» кажутся такими живыми и настоящими отчасти потому, что воплощают идею Архимеда: любую гладкую поверхность можно надежно аппроксимировать треугольниками. Например, вот три триангуляции головы манекена^[76]:

Питер Шрёдер

Чем больше треугольников мы возьмем и чем меньше их размер, тем лучше становится приближение.

То, что верно для манекенов, верно и для огров, и для рыб-клоунов, и для игрушечных ковбоев. Подобно тому как Архимед использовал мозаику из бесконечного количества осколков, чтобы представить сегмент гладкой криволинейной параболы, современные аниматоры из DreamWorks создают круглый живот Шрека и его милые трубообразные уши из десятков тысяч многоугольников. Еще больше потребовалось для сцены турнира, где Шрек^[77] сражался с местными громилами: каждый ее кадр требовал свыше 45 миллионов многоугольников^[78]. Но в готовом фильме их следов нигде нет. Как учит нас принцип бесконечности, прямое и угловатое может олицетворять изогнутое и гладкое.

Когда примерно через десять лет вышел фильм «Аватар»^[79], уровень многоугольной детализации стал запредельным. По настоянию режиссера Джеймса Кэмерона аниматоры использовали около миллиона многоугольников, чтобы изобразить каждое растение в воображаемом мире Пандоры. А учитывая, что действие происходило в пышных виртуальных джунглях, там насчитывалось множество растений… и множество многоугольников. Неудивительно, что производство «Аватара» обошлось в триста миллионов долларов. Это был первый фильм, в котором многоугольники использовались миллиардами^[80].

В самых ранних компьютерных анимационных фильмах многоугольников было куда меньше. Тем не менее в то время вычисления казались ошеломляющими. Возьмем «Историю игрушек»^[81], вышедшую в 1995 году. Одному аниматору тогда требовалась неделя, чтобы синхронизировать восьмисекундный кадр. На создание всего фильма ушло четыре года и 800 тысяч часов компьютерного времени. Как говорил в интервью журналу Wired соучредитель студии Pixar Стив Джобс, «над этим фильмом работает больше людей с ученой степенью, чем над любым другим в истории кино»^[82]. Вскоре после «Истории игрушек» вышел первый анимационный ролик с человеком в главной роли – «Игра Джери»^[83]. Эта забавная и грустная история одинокого старичка, который играет сам с собой в шахматы в парке, получила в 1998 году «Оскар» за лучший короткометражный анимационный фильм.

Entertainment Pictures / Alamy

Как и другие персонажи, созданные компьютером, Джери был сконструирован из угловатых форм. В начале этого раздела я показал компьютерную графику лица из все большего количества треугольников. Примерно таким же образом аниматоры студии Pixar смоделировали голову Джери из сложного многогранника, состоявшего из примерно 4500 вершин, соединенных ребрами и гранями, как драгоценный камень. Аниматоры сильнее и сильнее делили эти грани, чтобы получить все более детальное изображение. Этот процесс занял намного меньше компьютерной памяти, чем методы, использованные ранее, и позволял делать анимацию гораздо быстрее^[84]. На тот момент это был революционный прорыв в компьютерной анимации, но по духу – продолжение идей Архимеда. Напомним: для того чтобы оценить число π, Архимед начал с шестиугольника, затем перешел к двенадцатиугольнику. После следующего деления получился многоугольник с 24 сторонами, затем 48-угольник и наконец 96-угольник; так происходило постепенное приближение к предельной фигуре – окружности. Точно так же, многократно разделяя свой многогранник, аниматоры Джери аппроксимировали морщинистый лоб персонажа, его торчащий нос и складки кожи на шее. Повторяя этот процесс достаточное количество раз, они смогли сделать Джери таким, каким он должен быть – похожим на куклу персонажем, передающим широкий спектр человеческих чувств.

Через несколько лет конкурент Pixar, компания DreamWorks, сделала следующий шаг на пути к реализму и эмоциональной выразительности в своей истории о дурно пахнущем, ворчливом героическом огре по имени Шрек.

Entertainment Pictures / Alamy

Хотя Шрек никогда не существовал вне компьютера, выглядел он почти как человек. Отчасти потому, что аниматоры постарались воспроизвести анатомию человека. Под виртуальной кожей они создали виртуальные мышцы, жир, кости и суставы. Все было сделано настолько добросовестно, что, когда Шрек открывал рот, чтобы сказать что-нибудь, кожа на его шее образовывала второй подбородок^[85].

Это подводит нас к другой области, где идея Архимеда о приближении прямолинейными формами оказалась полезной, – пластической хирургии лица^[86] для пациентов с неправильным прикусом, смещением челюстей и другими врожденными пороками. В 2006 году немецкие математики Петер Дойфлхард, Мартин Вайзер и Стефан Захов сообщили о результатах своей работы по применению анализа и компьютерного моделирования для прогнозирования результатов сложных операций на лице.

Первым шагом было построение точной карты структуры лицевых костей пациента. Для этого использовалась компьютерная (КТ) или магнитно-резонансная (МРТ) томография. Результаты давали информацию о трехмерной конфигурации лицевых костей черепа, с помощью которой исследователи строили компьютерную модель лица пациента. Эта модель была не просто геометрически точной; она была биомеханически точной. Она включала реалистичные оценки свойств кожи и мягких тканей – жиров, мышц, сухожилий, связок и кровеносных сосудов. С помощью компьютерной модели хирурги могли проводить операции на виртуальных пациентах, подобно тому как пилоты оттачивают мастерство на летных тренажерах. Виртуальные кости лица, челюсти и черепа можно резать, перемещать, наращивать или полностью удалять. Компьютер рассчитывал, как в ответ на появление новой костной структуры будут перемещаться и перестраиваться виртуальные мягкие ткани.

Результаты такого моделирования полезны по нескольким причинам. Они предупреждают хирургов о возможных неблагоприятных воздействиях процедуры на такие уязвимые структуры, как нервы, кровеносные сосуды и корни зубов. Они также показывают, как будет выглядеть лицо пациента после операции, поскольку модель предсказывает, как переместятся мягкие ткани после выздоровления пациента. Еще одно преимущество – это позволяло хирургам лучше подготовиться к реальной операции в свете смоделированных результатов. А пациенты могли более взвешенно принимать решение о необходимости операции.

Идеи Архимеда проявились, когда исследователи смоделировали гладкую двумерную поверхность черепа с помощью огромного количества треугольников. Мягкие ткани создавали собственные геометрические проблемы. В отличие от черепа, мягкие ткани полностью заполняют трехмерный объем. Они наполняют сложное пространство между кожей лица и черепом. Ученые представили эту ткань сотнями тысяч тетраэдров – трехмерных аналогов треугольников. На изображении внизу поверхность черепа аппроксимируют примерно 250 000 треугольников (они слишком малы, чтобы их разглядеть), а объем мягких тканей включает 650 000 тетраэдров.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

Массив тетраэдров позволил исследователям предсказать, как поведут себя после операции мягкие ткани пациента. Грубо говоря, мягкие ткани – это упругий материал, немного похожий на резину или эластан. Если вы ущипнете себя за щеку, она изменит форму, а когда отпустите, вернется к естественному состоянию. Еще с 1800-х годов математики и инженеры использовали анализ, чтобы смоделировать, как различные материалы будут растягиваться, изгибаться или скручиваться, если их сжимать, растягивать или резать различными способами. Эта теория лучше всего развита в традиционных областях техники, где она используется для изучения напряжений и деформаций в мостах, зданиях, крыльях самолетов и многих других конструкциях из стали, бетона, алюминия и прочих жестких материалов. Немецкие исследователи адаптировали традиционный подход к мягким тканям и обнаружили, что он работает достаточно хорошо для того, чтобы быть полезным хирургам и пациентам.

Их основная идея заключалась в следующем. Представим мягкие ткани в виде сети тетраэдров, связанных между собой подобно бусинкам, соединенным эластичными нитями. Эти бусинки изображают небольшие кусочки ткани. Они соединены эластично, потому что в реальности атомы и молекулы в тканях соединены химическими связями. Эти связи сопротивляются растяжению и сжатию, что и обеспечивает упругость. Во время виртуальной операции хирург разрезает кости на виртуальном лице и передвигает некоторые их фрагменты. Когда кусок кости перемещается на новое место, он тянет за собой присоединенные ткани, а те, в свою очередь, тянут соседние ткани. В результате из-за этих сил сеть меняет конфигурацию. По мере движения участков ткани они меняют силы, оказываемые на соседей, поскольку связи между участками растягиваются или сжимаются. Затронутые соседи перенастраиваются сами и так далее. Отслеживание всех возникающих сил и смещений требует колоссальных вычислений, которые может выполнить только компьютер. Шаг за шагом алгоритм корректирует мириады сил и перемещений в крошечных тетраэдрах. В конечном счете все силы уравновешиваются и ткани приходят в новое состояние равновесия. Это и будет новой формой лица пациента, предсказанной моделью.

В 2006 году Дойфлхард, Вайзер и Захов проверили прогнозы своей модели для примерно тридцати клинических случаев и пришли к выводу, что она работает замечательно. В качестве одной из мер ее успешности было правильно предсказанное – с точностью до миллиметра – положение 70 % поверхности кожи на лице пациента. Только для 5–10 % поверхности отклонение от прогноза составляло более трех миллиметров. Другими словами, модели можно было доверять. И это, конечно, гораздо лучше, чем действовать наугад. Вот пример с одним пациентом до и после операции. На четырех иллюстрациях показан его профиль до операции (крайний рисунок слева), компьютерная модель лица в этот момент (второй рисунок слева), спрогнозированный результат операции (второй рисунок справа) и фактический результат (крайний рисунок справа).

Посмотрите на положение его челюсти до и после операции. Результаты говорят сами за себя.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

К загадке движения

Я пишу эти строки на следующий день после метели. Вчера было 14 марта, День числа π^[87], и у нас навалило тридцать сантиметров снега. Сегодня утром, четвертый раз расчищая подъездную дорожку, я с завистью наблюдал, как небольшой трактор с роторным снегометом легко прокладывал по улице путь. С помощью вращающегося винта он забирал снег, а потом выбрасывал его во двор моего соседа.

Подобное использование вращающегося винта для перемещения чего-либо также восходит к Архимеду, по крайней мере согласно традиции. В его честь мы называем такой механизм архимедов винт^[88]. Говорят, что ученый придумал его во время поездки в Египет (хотя, возможно, ассирийцы использовали его намного раньше) для подъема воды в ирригационные каналы. Сегодня в механических устройствах для поддержания работы сердца применяют насосы, использующие архимедов винт: они поддерживают циркуляцию крови при повреждениях левого желудочка.

Однако очевидно, что Архимед не хотел, чтобы его помнили за винты, военные машины или любые другие практические изобретения: он не оставил нам о них никаких записей. Больше всего он гордился своими математическими открытиями, что также заставляет меня задуматься, о каком его наследии уместно поразмышлять в День числа π. За двадцать два столетия, прошедших с тех пор, как Архимед нашел границы числа π, новые приближения появлялись много раз, но при этом всегда использовались математические методы, введенные Архимедом: приближения многоугольниками или бесконечные ряды. В более широком смысле его наследие – первое принципиальное использование бесконечных процессов для определения количественных характеристик криволинейных форм. В этом ему не было равных ни тогда, ни сейчас.

Однако геометрия криволинейных форм имеет свои пределы. Нам нужно также знать, как в этом мире происходит движение – как смещаются ткани после операции, как кровь течет по артериям, как мяч летит по воздуху. Об этом Архимед промолчал^[89]. Он дал нам знания по статике, о телах, уравновешенных на рычаге и устойчиво плавающих в воде. Он был мастером равновесия. Территория впереди таила в себе загадки движения.

Глава 3. Открытие законов движения

Когда Архимед умер, вместе с ним практически умерло и математическое изучение природы. Прошло полторы тысячи лет, прежде чем появился новый Архимед. В Италии эпохи Возрождения молодой ученый по имени Галилео Галилей начал с того места, на котором остановился великий грек. Он наблюдал, как двигаются предметы, когда летят по воздуху или падают на землю, и искал в их движении числовые закономерности. Он проводил тщательные эксперименты и анализировал их. Измерял время колебания маятников и спуска шариков по наклонным поверхностям и находил удивительные правила для обоих случаев. А тем временем молодой немецкий математик Иоганн Кеплер изучал движение планет. Оба ученых были очарованы обнаруженными в своих работах закономерностями и ощущали присутствие чего-то гораздо более глубокого. Они знали, что натолкнулись на нечто важное, но не могли понять его значения. Открытые ими законы движения были написаны на незнакомом языке, коим и было дифференциальное исчисление. Это были первые намеки на него, сделанные человечеству.

До работ Галилея и Кеплера природные явления редко воспринимались в математических терминах. Архимед открыл математические принципы равновесия и плавучести в своих законах рычага и гидростатического равновесия, однако их применение было ограничено статическими ситуациями, где не было движения. Галилей и Кеплер рискнули выйти за пределы статического мира Архимеда и исследовать, как движутся объекты. Их попытки разобраться в увиденном стимулировали появление нового вида математики, которая могла бы обращаться с движением, происходящим с переменной скоростью. Такая математика должна была описывать, например, изменение скорости шарика, катящегося по наклонной плоскости, или скорости планет, ускоряющихся по мере приближения к Солнцу и замедляющихся по мере удаления от него. В 1623 году Галилей описывал Вселенную как «величественную книгу… которая всегда открыта нашему взору»^[90], но предупреждал, что «читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»^[91]. Кеплер выражал еще большее преклонение перед геометрией. Он полагал, что она так же вечна, как божественный разум^[92], и предоставила Богу закономерности^[93] для сотворения мира. Задача Галилея, Кеплера и других близких им по духу математиков начала XVII века состояла в том, чтобы взять их любимую геометрию, так хорошо приспособленную для описания мира покоящегося, и распространить ее на мир меняющийся. Проблемы, с которыми они столкнулись, были больше чем математическими; им пришлось преодолевать философское, научное и богословское сопротивление.

Мир по Аристотелю

До XVII века движение и изменение были мало понятны. И не только потому, что их трудно изучать; они просто считались отвратительными. Платон учил^[94], что цель геометрии – приобрести знание о том, что существует вечно, а не возникает на мгновение, а затем исчезает. Его философское презрение к преходящим вещам перешло в более крупных масштабах в космологию его самого выдающегося ученика – Аристотеля.

Согласно учению Аристотеля^[95], которое доминировало в западной мысли почти два тысячелетия (и было принято католицизмом после того, как Фома Аквинский убрал из него языческие элементы), небеса вечны, неизменны и совершенны. Неподвижная Земля находится в центре божьего творения, а Солнце, Луна и планеты вращаются вокруг нее по идеальным окружностям, увлекаемые движением небесных сфер. В соответствии с такой космологией все в земном царстве ниже сферы Луны испорчено и поражено гниением, разложением и смертью. Превратности жизни, подобно опаданию листьев, по самой своей природе преходящи, мимолетны и беспорядочны.

Хотя космология с Землей в центре выглядела обнадеживающей и здравой, неудобной проблемой представлялось движение планет. Слово «планета» означает «блуждающая»^[96]. В древности планеты считались блуждающими звездами; вместо того чтобы находиться в одной точке неба подобно звездам Пояса Ориона и Ковша Большой Медведицы, которые никогда не двигаются относительно друг друга^[97], планеты, казалось, перемещались по небу. За несколько недель и месяцев они переходили из одного созвездия в другое. Большую часть времени они двигались на восток относительно звезд, но иногда казалось, что они замедляются, останавливаются и пятятся назад, на запад (астрономы называют такое движение ретроградным^[98]).

Например, было замечено, что Марс за время своего почти двухлетнего оборота по небу в течение примерно 11 недель двигается в обратном направлении. Сегодня мы можем запечатлеть это попятное движение с помощью фотографии. В 2005 году фотограф Тунч Тезел сделал серию из 35 снимков Марса с интервалом примерно в неделю и объединил изображения, скоординировав их по звездам на заднем плане. На итоговом комбинированном снимке 11 точек в середине показывают ретроградное перемещение Марса.

Тунч Тезел

Сегодня мы понимаем, что такое попятное движение – всего лишь иллюзия. Оно вызвано перемещением Земли, проходящей мимо более медленно движущегося Марса.

Это же происходит, когда вы идете на обгон автомобиля. Представьте, что вы мчитесь по автостраде в пустыне, а вдалеке виднеются горы. Пока вы догоняете более медленную машину, вам кажется, что она движется вперед относительно гор. Но когда вы ее догнали и проезжаете мимо, на мгновение кажется, что она двигается назад на их фоне. Затем, как только вы отъедете достаточно далеко, снова будет казаться, что она двигается вперед.

Такое наблюдение привело греческого астронома Аристарха^[99] к идее гелиоцентрической системы мира почти за два тысячелетия до Коперника. Он справился с загадкой ретроградного движения. Однако Вселенная с Солнцем в центре сама по себе вызывала вопросы. Если Земля движется, почему мы с нее не падаем? И почему звезды кажутся неподвижными? Они же должны двигаться: по мере того как Земля вращается вокруг Солнца, их положение должно слегка меняться. Опыт подсказывает, что когда вы посмотрите на какой-то предмет, потом сдвинетесь и посмотрите еще раз, то предмет переместится на фоне более далеких объектов. Этот эффект называется параллаксом. Чтобы проверить, поставьте палец вертикально перед лицом. Закройте один глаз, затем второй. Кажется, что палец сдвигается на фоне более дальних предметов. Точно так же, когда Земля двигается по орбите вокруг Солнца, звезды должны смещаться на фоне более далеких звезд. Единственный способ разобраться с этим парадоксом (как понял сам Архимед^[100], изучая космологию Аристарха) – принять, что все звезды чрезвычайно далеки, по сути, бесконечно далеки от Земли. Тогда движение нашей планеты не даст обнаружить сдвиг, потому что параллакс будет слишком мал, чтобы его можно было зметить. В то время такое рассуждение было трудно принять: никто не мог вообразить, что Вселенная настолько необъятна, а звезды настолько дальше планет. Сегодня мы знаем, что все именно так, но тогда это казалось немыслимым.

Поэтому картина мира с Землей в центре при всех ее недостатках выглядела более правдоподобно. Греческий астроном Птолемей скорректировал ее, введя эпициклы, экванты и прочие дополнительные

Введение

Без математического анализа[1] у нас не было бы ни мобильных телефонов, ни компьютеров, ни микроволновых печей. Ни радио, ни телевидения. Ни УЗИ для будущих мам, ни GPS для заблудившихся путешественников. Мы не расщепили бы атом, не раскрыли бы геном человека и не отправили бы астронавтов на Луну. Возможно, у нас даже не было бы Декларации прав человека.

Любопытно, что историю мира этот загадочный раздел математики изменил навсегда. Как же могло так случиться, что некая теория, изначально занимавшаяся малыми изменениями, в итоге изменила цивилизацию коренным образом?

Суть ответа кроется в замечании, которое физик Ричард Фейнман сделал во время обсуждения Манхэттенского проекта с писателем Германом Воуком. Воук собирал материал для крупного романа о Второй мировой войне, который планировал написать, и отправился в Калтех[2], чтобы побеседовать с физиками, работавшими над созданием бомбы, а Фейнман был одним из них. Когда они прощались после интервью, Фейнман спросил Воука, знает ли тот матанализ. Воук признался, что нет. «Вам следовало бы ему поучиться, – сказал Фейнман. – Это язык, на котором говорит Бог»[3].

Действительно, Вселенная – глубоко математическая сущность[4], хотя причин этого явления никто не понимает. Возможно, так устроил Бог. А может, это единственный способ нашего в ней существования, ибо нематематические вселенные не могут создать жизнь, достаточно разумную для того, чтобы задать такой вопрос. В любом случае то, что наша Вселенная подчиняется законам природы, которые всегда выражены на языке анализа в виде предложений, называемых дифференциальными уравнениями, – весьма таинственный и изумительный факт. Такие уравнения описывают разницу между чем-то прямо сейчас и той же величиной мгновение спустя или между чем-то прямо здесь и бесконечно близко. Детали отличаются в зависимости от конкретной области природы, но структура законов всегда одна и та же. Иначе говоря, все выглядит так, словно у Вселенной существует какой-то код, некая операционная система, которая оживляет все в конкретный момент в конкретном месте. Анализ подключается к этому порядку и выражает его.

Исаак Ньютон первым увидел эту тайну Вселенной. Он обнаружил, что орбиты планет, ритм приливов и отливов и траектории пушечных ядер можно описать, объяснить и предсказать с помощью небольшого набора дифференциальных уравнений. Сегодня мы называем их законами движения и гравитации Ньютона. Мы обнаружили, что эта закономерность сохраняется всякий раз, когда мы открываем какую-то новую часть Вселенной. От старых стихий – земли, воздуха, огня и воды, до новейших электронов, кварков, черных дыр и суперструн – все во Вселенной подчиняется правилам дифференциальных уравнений. Бьюсь об заклад, что именно это имел в виду Фейнман, когда говорил, что на этом языке разговаривает Бог. Если что-то и заслуживает называться тайной Вселенной, то это дифференциальное исчисление.

Случайно открыв этот странный язык, сначала в области геометрии, а потом в коде Вселенной, затем научившись бегло разговаривать на нем и расшифровывать его идиомы и тонкости и в конце концов используя его способность к прогнозированию, люди стали применять анализ, чтобы переделать мир.

Это центральный вопрос нашей книги.

А коль это так, то ответ на «главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого»[5] – вовсе не 42, да простят меня фанаты Дугласа Адамса и его книги «Автостопом по галактике»[6]. Тем не менее «Думатель» был на верном пути: тайна Вселенной действительно «математична».

Анализ для всех

Замечание Фейнмана о языке Бога поднимает массу глубоких вопросов. Что такое анализ? Как люди поняли, что на этом языке говорит Бог (или, если вам так больше нравится, что на нем работает Вселенная)? Что такое дифференциальные уравнения и что они сделали для мира, причем не только во времена Ньютона, но и в наши дни? И наконец, как доходчиво рассказать эти истории и идеи, чтобы их с удовольствием восприняли такие доброжелательные читатели, как Герман Воук, – вдумчивые, любопытные, образованные, но имеющие смутное представление о высшей математике?

В эпилоге рассказа о встрече с Фейнманом Воук писал, что в течение четырнадцати лет даже не пытался заняться анализом. Его роман разросся до двух больших романов – «Ветры войны» и «Война и память», примерно по тысяче страниц каждый. После окончания работы над ними он попытался учиться по книгам с названиями типа «Анализ в легком изложении», но безуспешно. Он копался в нескольких учебниках в надежде, как он выразился, «найти то, что помогло бы математическому невежде вроде меня, который в колледже занимался гуманитарными науками, то есть литературой и философией, в подростковом поиске смысла существования; при этом я лишь знал, что анализ (о котором я слышал как о скучной и бесполезной вещи) – это язык, на котором говорит Бог»[7]. Однако учебники оказались неприступными, и тогда он нанял израильского преподавателя математики, чтобы подучиться анализу и подтянуть разговорный иврит, но обе надежды опять не оправдались. Вконец отчаявшись, он стал слушать курс анализа в старших классах школы, но почувствовал, что сильно отстал, и сдался через пару месяцев. Когда он уходил, дети хлопали. Он сказал, что это было похоже на сочувствующие аплодисменты после провального выступления на сцене.

Я написал «Бесконечные силы», пытаясь сделать величайшие идеи матанализа доступными каждому. Чтобы узнать об этих эпохальных событиях в истории, вам незачем повторять печальный опыт Германа Воука. Анализ – одно из самых вдохновляющих достижений человечества, и чтобы оценить его, вовсе не обязательно им заниматься – как необязательно уметь готовить изысканные блюда, чтобы насладиться такой едой. Я постараюсь объяснить все, что нам надо, с помощью картинок, метафор и анекдотов, а также покажу вам некоторые самые красивые из когда-либо созданных уравнений и доказательств, ведь разве можно посетить галерею, не увидев ее шедевров? Что касается Германа Воука, то на момент написания книги ему было 103 года[8]. Я не знаю, выучил ли он анализ, но если еще нет, то она для вас, мистер Воук!

Мир согласно анализу

Как вам уже, должно быть, понятно, я собираюсь изложить историю и значение анализа с точки зрения прикладного математика. Историк математики рассказал бы все иначе[9], собственно, как и чистый математик. Что восхищает меня как прикладника – так это наличие связи между реальным миром вокруг нас и идеальным миром в наших головах. Внешние явления обусловливают вопросы, которые мы задаем, и наоборот, математика, которую мы воображаем, иногда предсказывает то, что произойдет в реальности. Когда такое случается, эффект просто поражает.

Заниматься прикладной математикой[10] – значит смотреть вовне и быть «интеллектуально неразборчивым». Для специалистов в этой области математика не чистый и герметичный мир теорем и доказательств[11], отражающих самих себя. Мы охватываем все виды предметов: философию, политику, историю, медицину и так далее. Именно такую историю я и собираюсь вам рассказать – мир, соответствующий анализу.

Это гораздо более широкий взгляд на анализ. Он включает множество родственных дисциплин, как смежных, так и в рамках математики. Поскольку такой широкий взгляд непривычен, я хочу убедиться, что он не вызывает никакой путаницы. Например, когда я говорил, что без анализа у нас не было бы компьютеров, мобильных телефонов и так далее, я вовсе не имел в виду, что именно математика сама по себе создала все эти чудеса. Отнюдь нет. Наука и технология были важными партнерами – возможно, главными звездами шоу. Я просто хочу сказать, что анализ также сыграл не последнюю роль (пусть часто и вспомогательную) в том, чтобы мир стал таким, каким мы его знаем.

Возьмем историю беспроводной связи. Все началось с открытия законов электричества и магнетизма[12] такими учеными, как Майкл Фарадей и Андре-Мари Ампер. Без их наблюдений и размышлений важнейшие факты о магнитах, электрическом токе и их невидимых силовых полях остались бы неизвестными и никогда бы не появилась беспроводная связь. Очевидно, что в этой области знаний нельзя было обойтись без экспериментальной физики, но и анализ был совершенно необходим. В 1860-х годах шотландский математик Джеймс Максвелл выразил экспериментальные законы электричества и магнетизма в символьной форме, которую можно было изучать методами математического анализа. После некоторых манипуляций появилось уравнение, которое не имело смысла. Судя по всему, в физике чего-то не хватало. Максвелл подозревал, что виноват закон Ампера, и попытался внести исправления, добавив в уравнение новый член – гипотетический ток, который мог бы разрешить противоречие, а затем снова применил анализ. На этот раз получился разумный результат – простое и элегантное волновое уравнение[13], очень похожее на уравнение, описывающее распространение ряби в пруду. Разница была в том, что результат Максвелла давал новый вид волн, где электрические и магнитные поля вместе исполняли па-де-де. Изменяющееся электрическое поле порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся электрическое поле, и так далее – поля влияют друг на друга и распространяются вместе в виде энергетической волны. Вычислив скорость этой волны, Максвелл обнаружил – и это был один из величайших моментов в истории науки, – что она распространяется со скоростью света. Таким образом, с помощью анализа он не только предсказал существование электромагнитных волн, но и решил вековую загадку природы света. Он пришел к выводу, что свет – это электромагнитная волна.

Предсказания Максвелла об электромагнитных волнах побудили Генриха Герца провести в 1887 году эксперимент, который подтвердил их существование. Восемь лет спустя Александр Попов продемонстрировал первую в мире систему радиосвязи, а еще пару лет спустя это сделал и Никола Тесла. Еще через пять лет Гульельмо Маркони передал первые беспроводные сообщения через Атлантику. Вскоре появилось телевидение, мобильные телефоны и все остальное.

Ясно, что анализ не смог бы привести к этому в одиночку, но так же ясно, что без него ничего бы этого не произошло. Или, если точнее, могло бы произойти, но гораздо позже.

Анализ – больше, чем язык

История Максвелла иллюстрирует тему, с которой мы встретимся еще не раз. Часто говорят, что математика – это язык науки. В этом есть значительная доля правды. В случае электромагнитных волн первым ключевым шагом Максвелла стало преобразование экспериментально открытых законов в уравнения, написанные на языке анализа.

Однако аналогия с языком неполна. Анализ, как и другие области математики, – нечто гораздо большее, чем просто язык. Это невероятно мощная система мышления, позволяющая нам преобразовывать одно уравнение в другое, выполняя различные символьные операции, подчиняющиеся определенным правилам. Эти правила коренятся в логике, так что, даже если кажется, что мы просто перетасовываем символы, на самом деле мы выстраиваем длинные цепочки логических рассуждений. Перемещение символов – это полезные сокращения, удобный способ строить доказательства, слишком сложные, чтобы удерживать их в голове.

Если нам повезет и мы будем достаточно умелыми – то есть правильно преобразуем уравнения, – то можем получить скрытые доселе следствия. Математику этот процесс кажется почти осязаемым. Словно мы манипулируем уравнениями, массируем их, пытаясь расслабить до такой степени, чтобы они выдали свои секреты. Мы хотим, чтобы они открылись и поговорили с нами.

Здесь требуется творческий подход, потому что часто неясно, какие манипуляции выполнять. У Максвелла было бесчисленное количество способов преобразовать его уравнения; с логической точки зрения приемлемы были все, но новый интересный научный результат давали лишь некоторые. Учитывая то, что он даже не знал, что ищет, он мог легко получить от уравнений всего лишь бессвязное бормотание (или его символьный эквивалент). К счастью, уравнения раскрыли свои секреты.

В результате правильного подхода волновое уравнение не осталось абстракцией. В этот момент лингвистическая функция матанализа снова взяла верх. Когда Максвелл перевел абстрактные символы обратно в реальность, они предсказали, что электричество и магнетизм взаимодействуют, создавая электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Через несколько десятилетий это открытие изменило мир.

Непостижимо эффективно

Тот факт, что анализ может так хорошо моделировать природу, даже несколько пугает, учитывая, насколько различны эти две сферы. Анализ – воображаемое царство символов и логики; природа – реальное царство сил и явлений. Но каким-то образом, если переводить реальность в символы достаточно искусно, с помощью логики анализа можно использовать одну истину реального мира для порождения другой. Истина на входе, истина на выходе[14]. Начните с чего-то эмпирически истинного и выраженого в символах (как Максвелл с законами электричества и магнетизма), примените верные логические действия, и получится другая эмпирическая истина, возможно, новая – какой-то ранее неизвестный факт о Вселенной (подобно существованию электромагнитных волн). Таким образом анализ позволяет нам заглядывать в будущее и предсказывать неизвестное. Именно это делает его столь мощным инструментом для науки и технологий.

Но почему же Вселенная должна уважать хоть какую-нибудь логику, не говоря уже о той, которую можем использовать мы, ничтожные люди? Именно этому удивлялся Эйнштейн, когда писал: «Вечная тайна мира заключается в его постижимости»[15]. Именно это имел в виду американский физик Юджин Вигнер в своем эссе «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»[16], когда писал: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем»[17].

Это чувство благоговения восходит к истории математики. По легенде, Пифагор[18] ощутил его примерно в 550 году до нашей эры, когда вместе с учениками обнаружил, что музыка регулируется отношениями целых чисел. Например, представьте, что вы защипнули гитарную струну. Когда струна вибрирует, она издает определенную ноту. Поставьте палец левой руки точно на половине длины струны и снова защипните ее. Теперь колеблющаяся часть струны вдвое короче (отношение 1 к 2), и струна звучит ровно на октаву выше, чем исходная нота (это расстояние от одной ноты «до» до следующей «до» в интервале до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до). Если сократить струну на 2/3 исходной длины, то она будет звучать на квинту выше (интервал от «до» до «соль»; вспомните первые две ноты из темы «Звездных войн»). Если же вибрирующая часть составляет 3/4 исходной длины, то звук выше на кварту (интервал между первыми двумя нотами свадебного марша «Вот идет невеста»[19]). Древнегреческие музыканты знали о таких музыкальных интервалах, как октава, кварта и квинта, и считали их красивыми. Столь неожиданная связь между музыкой (гармонией реального мира) и числами (гармонией воображаемого мира) привела пифагорейцев[20] к мистической вере в то, что всё есть число. Считается, что они даже верили в то, что планеты на своих орбитах издают музыку – музыку сфер.

С тех пор многие из величайших математиков и других ученых заболели пифагорейской лихорадкой. Страдал ею астроном Иоганн Кеплер. И физик Поль Дирак. Это побуждало их мечтать, искать и стремиться к гармонии Вселенной и в конце концов привело к открытиям, которые изменили мир.

Принцип бесконечности

Чтобы помочь вам понять, куда мы движемся, позвольте мне сказать несколько слов о том, что такое анализ, чего он (образно говоря) хочет и чем отличается от других областей математики. К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему.

Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений. Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа – и концептуально, и исторически. Я испытываю искушение сформулировать его прямо сейчас, хотя пока это будет звучать как тарабарщина. Вам будет проще это оценить, если мы станем продвигаться медленно, спрашивая, чего хочет анализ… и как он получает то, что хочет.

Если коротко, то анализ хочет сделать сложные задачи проще. Он буквально одержим простотой. Это может показаться вам абсурдным, учитывая, что у анализа репутация сложного метода и что некоторые лучшие учебники по нему превышают тысячу страниц и весят, как кирпич. Но давайте не будем выносить резких суждений. Анализ ничего не может поделать с тем, как выглядит, и громоздкости ему не избежать. Он кажется сложным, потому что старается решать сложные задачи. И он действительно решил ряд самых трудных и важных задач, с которыми когда-либо сталкивался наш вид.

Анализ добивается успеха, разделяя запутанные задачи на более мелкие составляющие. Конечно, такая стратегия не уникальна. Все хорошие специалисты вам подтвердят, что сложные задачи становятся проще при разбиении на части. Поистине радикальный и отличительный ход анализа состоит в том, что он доводит эту стратегию «разделяй и властвуй» до крайнего предела – бесконечности. Вместо того чтобы разрезать большую задачу на несколько маленьких, анализ без устали режет и режет ее, пока не измельчит буквально в порошок, до бесконечного множества крохотных частей. Затем анализ решает исходную задачу для всех этих мелких частей, что обычно гораздо проще, чем в случае изначальной гигантской задачи. На следующем этапе главное – свести все полученные крошечные ответы воедино. Как правило, это довольно трудно, но все же не так сложно, как в исходной задаче.

Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями. Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением[21]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением[22].

Такая стратегия подойдет для всего, что можно представить в виде бесконечного нарезания. Такие бесконечно делимые непрерывные объекты называют континуумами, от латинского глагола continere, образованного от приставки con- «с, вместе» и слова tenere «держать». Подумайте об окружности, стальной балке подвесного моста, миске супа, остывающего на кухонном столе, параболической траектории летящего копья или продолжительности вашей жизни. Форма, объект, жидкость, движение, временной интервал – все это льет воду на мельницу анализа и все это непрерывно или почти непрерывно.

Обратите внимание на определенный акт творческой фантазии. В действительности суп и сталь не непрерывны. В масштабах обычной жизни, возможно, они и кажутся таковыми, но на уровне атомов или суперструн – нет. Анализ игнорирует неудобства, создаваемые атомами и прочими неразделимыми объектами, не потому, что их не существует, а потому, что полезно представить, что их нет. Как мы увидим, анализу присуща склонность к полезным выдумкам.

Говоря в целом, те виды сущностей, которые анализ моделирует континуумами, включают практически все, что можно представить. Ученые использовали анализ для описания того, как мяч непрерывно катится по наклонной поверхности, как луч солнца проходит сквозь воду, как непрерывный поток воздуха вокруг крыла удерживает в полете колибри или самолет и как концентрация частиц вируса ВИЧ в крови пациента непрерывно снижается в течение нескольких дней после начала комбинированного лечения. Во всех случаях стратегия одна и та же: разделить сложную непрерывную задачу на бесконечное множество более простых частей, решить их по отдельности, а затем соединить опять.

Теперь мы наконец готовы изложить главную идею.

Принцип бесконечности

Чтобы пролить свет на любые непрерывные формы, объекты, движения, процессы или явления – какими бы дикими или сложными они ни казались, – переосмыслите их как бесконечный набор более простых частей, проанализируйте, а затем сложите полученные результаты, чтобы понять исходное целое.

Голем бесконечности

Единственная неприятность во всем этом – необходимость справляться с бесконечностью. И это проще сказать, чем сделать. Хотя тщательно контролируемое применение бесконечности – секрет анализа и источник его колоссальной предсказательной силы, одновременно это и его самая большая головная боль. Подобно чудовищу Франкенштейна или голему из еврейской мифологии, бесконечность склонна ускользать из-под контроля хозяина. Как и в любой истории о гордыне, монстр неизбежно обращается против своего создателя.

Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.

Если учесть, что математика обычно изображается точной и безупречно рациональной, все эти разговоры о желаниях и заблуждениях могут показаться неуместными. Она рациональна, но не всегда изначально. Творение интуитивно, понимание приходит позже. В истории анализа логика всегда отставала от интуиции чаще, чем в других областях математики. И это заставляет чувствовать, что эта тема особенно человечна и дружелюбна, а ее гении больше похожи на нас.

Кривые, движение и изменение

Принцип бесконечности организует рассказ об анализе вокруг какой-то методологической темы. Но анализ – это не только методология, но и загадки. Его развитию особенно способствовали три: загадка кривых, загадка движения и загадка изменения. Плодотворность их изучения доказала ценность чистого любопытства.

Задачи о кривых, движении и изменении на первый взгляд могут показаться неважными, а может, даже безнадежно заумными. Но они затрагивают настолько глубокие концептуальные вопросы, а математика так глубоко вплетена в ткань Вселенной, что их решение имело далеко идущие последствия для хода цивилизации и нашей повседневной жизни. Как мы увидим в следующих главах, мы пожинаем плоды этих исследований всякий раз, когда слушаем музыку в своих телефонах, делаем покупки в магазинах с помощью лазерных сканеров или находим дорогу домой благодаря GPS-навигатору.

Все началось с загадки кривых. Здесь я использую слово «кривые» в самом широком смысле – для обозначения любой изогнутой линии, изогнутой поверхности или изогнутого твердого тела – представьте себе резиновую ленту, обручальное кольцо, плавающий пузырь, контуры вазы или палку салями. Чтобы упростить вещи, ранние геометры, как правило, сосредоточивались на абстрактных, идеализированных версиях кривых форм и игнорировали толщину, шероховатости и текстуру. Например, математическая сфера представлялась бесконечно тонкой, гладкой, идеально круглой мембраной без толщины, неровностей или волосатости, как у кокосового ореха. Но даже при таких идеализированных представлениях изогнутые формы вызывали принципиальные трудности, поскольку там не было прямых. С треугольниками и квадратами проблем не возникало. С кубами тоже. Они состоят из прямых линий и плоскостей, соединенных между собой в углах. Нетрудно вычислить их периметр, площадь или объем. Такие задачи умели решать геометры всего мира – в Древнем Вавилоне и Египте, Китае и Индии, Греции и Японии. Но с округлыми формами дело обстояло гораздо хуже. Никто не знал, какова поверхность сферы или какой у нее объем. В древности даже вычисление длины окружности или площади круга представлялось невыполнимой задачей. Не было стартовой точки и прямых линий, от которых можно оттолкнуться. Все изогнутое казалось непостижимым.

Так начинался анализ. Он рос из любопытства геометров и разочарования в округлости. Круги, сферы и прочие изогнутые формы были Гималаями той эпохи. И не потому, что они ставили важные практические задачи, по крайней мере поначалу. Дело было в жажде приключений, характерной для человеческого духа. Подобно покорителям Эвереста, геометры хотели разобраться с кривыми просто потому, потому что они есть[23].

Прорыв произошел благодаря идее, что кривые на самом деле состоят из прямых частей. Хотя это неправда, но можно сделать вид, что это так. Загвоздка была в том, что тогда эти части должны быть бесконечно малы и бесконечно многочисленны. Благодаря такой фантастической концепции родилось интегральное исчисление. Это самое раннее применение «принципа бесконечности». История его развития растянется у нас на несколько глав, но его суть в зародышевой форме мы можем изложить уже сейчас: если очень сильно увеличить окружность (или другую гладкую кривую), то часть, которую мы увидим под микроскопом, будет выглядеть как прямая линия. Так что в принципе можно вычислить длину кривой, сложив длины всех маленьких прямых кусочков. Чтобы выяснить, как именно это делать – нелегкая задача, – понадобились многовековые усилия величайших математиков человечества. В итоге коллективно (а иногда и в результате ожесточенного соперничества) они продвинулись по пути к решению загадки кривых. Побочными результатами, как мы увидим в главе 2, стала математика, используемая для рисования реалистично выглядящих волос, одежды и лиц персонажей в компьютерной анимации и вычисления, необходимые пластическим хирургам для выполнения операций на лице виртуальных пациентов, прежде чем оперировать реальных.

Поиски решения загадки кривых достигли апогея, когда стало ясно, что кривые – это нечто большее, чем просто геометрические отклонения. Они были ключом к разгадке тайн природы. Они естественным образом возникали в параболической дуге летящего мяча, в эллиптической орбите Марса, движущегося вокруг Солнца, и в выпуклой форме линзы, которая могла преломлять и фокусировать свет в нужном месте, без чего было бы невозможно бурное развитие микроскопов и телескопов в Европе позднего Возрождения.

Так началась вторая великая одержимость: увлечение тайнами движения на Земле и в Солнечной системе. С помощью наблюдений и замысловатых экспериментов ученые обнаружили интересные численные закономерности для простейших двигающихся объектов. Они измеряли колебания маятника, определяли ускорение шара, катящегося по наклонной плоскости, и наносили на карту движение небесных тел. Обнаруженные закономерности восхищали их: действительно, Иоганн Кеплер впал в состояние описанного им «священного помешательства», обнаружив законы движения планет, поскольку эти закономерности показались ему признаком работы Бога. С более светской точки зрения такие законы подкрепляли утверждение, что природа глубоко «математична», как и говорили пифагорейцы. Единственная загвоздка – никто не мог объяснить эти новые чудесные закономерности, по крайней мере с помощью существовавших в то время форм математики. Арифметика и геометрия не справлялись с этой задачей даже в руках великих математиков.

Проблема заключалась в том, что движение не было равномерным. Шар, катившийся по наклонной плоскости, непрерывно менял скорость, а планета, вращающаяся вокруг Солнца, все время меняла направление движения. Что еще хуже, планеты двигались быстрее, когда находились ближе к Солнцу, и медленнее, когда находились от него вдалеке. Не было никакого известного способа разобраться с непрерывно изменяющимся движением. У математиков имелась теория для самого тривиального вида движения – перемещения с постоянной скоростью, когда расстояние вычисляется путем произведения скорости на время. Но когда скорость меняется, причем непрерывно, дела обстоят совершенно иначе. Движение оказалось таким же Эверестом, как и кривые.

Как мы увидим в середине книги, очередные крупные достижения анализа выросли из стремления разгадать тайну движения. Как и в случае кривых, на помощь пришел принцип бесконечности. На этот раз пришлось притвориться, что движение с переменной скоростью состоит из бесконечно большого числа бесконечно коротких движений с постоянной скоростью. Чтобы представить, что это значит, вообразите, что вы едете в машине с нервным водителем, заставляющим автомобиль двигаться рывками. Вы с беспокойством смотрите на спидометр, стрелка которого дергается вверх и вниз при каждом рывке машины. Но даже самый резкий водитель не сможет сильно сдвинуть стрелку за миллисекунду, а уж за более короткий, то есть бесконечно малый интервал, – и подавно. Стрелка просто замрет на месте. Никто не способен так быстро нажать на педаль газа.

Эти идеи объединились в более молодой части анализа – дифференциальном исчислении. Это было именно то, что требовалось для работы с бесконечно малыми изменениями времени и расстояния, которые возникали при изучении постоянно меняющегося движения, равно как и для работы с бесконечно малыми прямыми кусочками кривых, появлявшимися в аналитической геометрии – новомодном исследовании кривых, определенных с помощью алгебраических уравнений, – популярной в первой половине 1600-х годов. Как мы увидим позже, одно время алгебра была настоящим поветрием. Ее популярность была благом для всех областей математики, включая геометрию, но она же создала буйные джунгли новых кривых, которые следовало изучить. Таким образом пересеклись загадки кривых и движения. В середине 1600-х они оказались в центре анализа, сталкиваясь друг с другом и создавая математический хаос и неразбериху. Расцвет анализа в этих суматошных условиях не обходился без бурных дискуссий. Некоторые математики критиковали анализ за чересчур свободное обращение с бесконечностью. Другие высмеивали алгебру как простой набор символов. Сопровождаемый всеми этими препирательствами прогресс анализа был медленным и нестабильным.

А потом в одно прекрасное Рождество родился ребенок[24]. Этот юный мессия анализа был невероятным героем. Рожденный недоношенным, без отца и брошенный матерью в возрасте трех лет, этот одинокий мальчик с темными мыслями превратился в скрытного подозрительного юношу. И тем не менее он (а это, как вы уже, наверное, догадались, был Исаак Ньютон) оставил в мире такой заметный след, как никто ни до, ни после него.

Сначала он нашел «святой Грааль» анализа, открыв, как снова сложить кусочки кривой, причем легко, быстро и систематически. Объединив символы алгебры с мощью бесконечности, он нашел способ представить любую кривую в виде суммы бесконечного множества более простых кривых, которые описываются различными степенями x, например x², x³, x⁴ и так далее. Имея такие ингредиенты, он мог приготовить любую желаемую кривую – положив щепотку x, чуточку x² и полную столовую ложку x³. Это было похоже на рецепт и набор специй, мясную лавку и огород – и все в одном флаконе. С его помощью Ньютон мог решить любую задачу о формах и движениях.

Затем он взломал код Вселенной, обнаружив, что любое движение всегда происходит бесконечно малыми шагами и в любой момент описывается законами, изложенными на языке анализа. С помощью всего лишь горстки дифференциальных уравнений (законы движения и всемирного тяготения) Ньютон смог объяснить все, от траектории пушечного снаряда до орбит планет. Его потрясающая «система мира» объединила небеса и землю, положив начало просвещению и изменив западную культуру. Его влияние на философов и поэтов Европы было колоссальным. Как мы увидим, оно распространилось даже на Томаса Джефферсона и Декларацию независимости. В наше время идеи Ньютона положены в основу космических программ, предоставляя математику, необходимую для расчета траекторий, – работы, проделанной в NASA афроамериканским математиком Кэтрин Джонсон и ее коллегами (героини книги и фильма «Скрытые фигуры»).

После того как загадки кривых и движения были решены, анализ перешел к третьей великой одержимости: загадке изменений. Пусть это и клише, но от этого оно не менее истинно: нет ничего постоянного, все меняется. Сегодня дождливо, а завтра солнечно. Рынок акций растет и падает. Воодушевленные ньютоновскими взглядами, последующие поколения специалистов по анализу задались вопросом: есть ли законы изменений, аналогичные ньютоновским законам движения? Существуют ли законы роста населения, распространения эпидемий и кровотока в артериях? Можно ли использовать анализ для описания того, как электрические сигналы распространяются по нервам, или для предсказания транспортного потока на автостраде?

Следуя этой амбициозной программе, в постоянном сотрудничестве с другими областями науки и технологии, анализ помог создать современный мир. С помощью наблюдений и экспериментов ученые установили законы изменений, а затем использовали анализ для решений задач и составления прогнозов. Например, в 1917 году Альберт Эйнштейн применил анализ к простой модели атомных переходов и предсказал замечательный эффект под названием вынужденное излучение[25] (этот термин обозначают буквы s и e в слове laser, которое представляет собой аббревиатуру, образованную от слов light amplification by stimulated emission of radiation[26]). Эйнштейн предположил, что при определенных обстоятельствах фотоны, проходящие через вещество, могут индуцировать появление других фотонов с той же длиной волны, движущихся в том же направлении. Получается своего рода цепная реакция, которая может дать мощный когерентный луч. Спустя несколько десятилетий предсказание сбылось. Первые действующие лазеры были созданы в начале 1960-х. С тех пор они используются везде – от проигрывателей компакт-дисков и оружия с лазерным наведением до сканеров штрих-кодов в супермаркетах и медицинских лазеров.

Законы изменений в медицине не так понятны, как в физике. Тем не менее даже в случае элементарных моделей анализ может внести свой вклад в спасение жизней. Например, в главе 8 мы увидим, как модель, использующая дифференциальное уравнение, разработанная иммунологом и исследователем СПИДа, сыграла свою роль в создании комбинированной терапии из трех препаратов для лечения пациентов с ВИЧ. Идеи, подсказанные моделью, опровергли распространенную точку зрения, что вирус в организме бездействует; на самом деле он ожесточенно сражается с иммунной системой каждую минуту каждого дня. Благодаря новому пониманию, предоставленному анализом, ВИЧ-инфекция превратилась из почти неизбежного смертного приговора в управляемое хроническое заболевание – по крайней мере для тех, кто имеет доступ к комбинированной лекарственной терапии.

Общепризнанно, что некоторые аспекты нашего вечно меняющегося мира лежат за пределами приближений и моделирования, характерных для принципа бесконечности. Например, в мире субатомных частиц физики не могут представлять электрон как классическую частицу, которая движется по какой-то линии подобно планете или пушечному ядру. Согласно квантовой механике, на таком микроскопическом уровне траектории становятся размытыми и плохо определяемыми, поэтому поведение электронов приходится описывать в терминах волн вероятности, а не ньютоновских траекторий. Но как только мы это сделаем, анализ с триумфом возвращается. Он управляет эволюцией волн вероятности с помощью так называемого уравнения Шрёдингера.

Удивительно, но факт: даже на субатомном уровне, где ньютоновская физика уже не действует, созданный им анализ по-прежнему работает. И работает очень хорошо. Как мы увидим далее в книге, он объединил усилия с квантовой механикой и предсказал замечательные эффекты, лежащие в основе методов медицинской визуализации – от магнитно-резонансной (МРТ) и компьютерной (КТ) томографии до более экзотической позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ).

Пришло время ближе познакомиться с языком Вселенной. И начнем, разумеется, с бесконечности.

Глава 1. Бесконечность

Начало математике[27] положили обычные повседневные задачи. Пастухам нужно было следить за стадами. Фермерам – взвешивать собранное зерно. Сборщикам налогов – решать, сколько коров или кур крестьянин должен отдать правителю. Из таких практических требований и возникли числа. Сначала их определяли по пальцам рук и ног. Затем стали выцарапывать на костях животных. По мере того как представление чисел эволюционировало от черточек к символам, они облегчили все задачи – от налогообложения и торговли до бухгалтерского учета и переписи населения. Доказательства тому мы находим на глиняных табличках Месопотамии, созданных более пяти тысяч лет назад, – сделанная на них клиновидными значками запись называется клинописью.

Наряду с числами значение имели и формы. В Древнем Египте измерениям линий и углов придавали первостепенное значение. Каждый год землемерам приходилось заново проводить границы крестьянских хозяйств, поскольку разлив Нила стирал их. Эта деятельность позже дала название всей области математики, изучающей формы, – геометрия, от древнегреческого слова γεωμετρία, которое означало «землемерие»: γη – «земля» и μετρέω – «измеряю».

Поначалу геометрия работала с прямыми линиями и углами, что отражало ее утилитарное происхождение: треугольники были наклонными плоскостями, пирамиды – монументами и гробницами, а прямоугольники – столами, алтарями и земельными участками. Строители и плотники использовали прямые углы для построения вертикальных линий. Для моряков, архитекторов и священников знание геометрии прямых линий было необходимо для землемерных работ, навигации, ведения календаря, предсказания затмений и возведения храмов и святилищ.

Но всегда – даже когда геометрия была зациклена на прямых линиях – выделялась одна кривая, самая совершенная из всех: окружность. Мы видим ее в годичных кольцах деревьев, в волнах на пруду, в форме солнца и луны. В природе круги повсюду. Когда мы смотрим на них, они смотрят на нас – в буквальном смысле, ведь они в глазах наших близких, в зрачках и радужках. Круги и практичны, и эмоциональны, как колеса и обручальные кольца; в них есть нечто мистическое. Вечное возвращение предполагает цикл времен года, возрождения, вечной жизни и нескончаемой любви. Неудивительно, что круги привлекали внимание с тех пор, как люди стали изучать формы.

С математической точки зрения окружности воплощают изменения без изменений. Точка, двигающаяся по окружности, меняет направление движения, не меняя при этом своего расстояния от центра. Это минимальная форма изменений – самый простой способ двигаться по кривой. И, конечно же, окружность симметрична. Если вы повернете ее вокруг центра, она будет выглядеть точно так же. Такая поворотная симметрия может быть причиной распространенности этих фигур. Везде, где природу не беспокоит направление, обязательно появляются окружности. Посмотрите, что происходит, когда дождевая капля попадает в лужу: от точки удара расходятся мелкие волны. Они обязаны иметь круговую форму, потому что двигаются с одинаковой скоростью во всех направлениях и начинаются в одной точке. Этого требует симметрия.

Окружности могут также порождать другие искривленные формы. Если представить, что окружность проткнули по диаметру и стали вращать вокруг этой оси в трехмерном пространстве, то получится сфера – форма мяча или планеты. Если окружность двигать по прямой перпендикулярно ее плоскости, появляется цилиндр – форма банки или коробки для шляп. Если окружность одновременно с поступательным движением сжимается, образуется конус, если расширяется – то усеченный конус (форма абажура).

Окружности, сферы, цилиндры и конусы очаровывали первых геометров, но при этом они считали, что работать с ними гораздо труднее, чем с треугольниками, прямоугольниками, квадратами, кубами и прочими прямолинейными формами, составленными из кусков прямых линий и плоскостей. Ученых интересовали площади криволинейных поверхностей и объемы криволинейных тел, но они понятия не имели, как решать такие задачи. Криволинейность была сильнее.

Бесконечность как строитель моста

Анализ начинался как отрасль геометрии[28]. Примерно в 250 году до нашей эры в Древней Греции вплотную занялись разгадкой кривых. Амбициозный план состоял в использовании бесконечности для построения моста между кривыми и прямыми. Приверженцы плана надеялись, что как только такая связь будет установлена, методы и техники прямолинейной геометрии можно будет перетащить через этот мост и применить для решения загадки кривых. Бесконечность поможет решить все старые задачи. По крайней мере, таков был настрой.

Должно быть, в то время такой план выглядел довольно надуманным. У бесконечности была сомнительная репутация – будто бы это нечто пугающее, а не полезное. Что еще хуже, само понятие бесконечности было весьма туманно и сбивало с толку. Что это вообще такое? Число? Место? Идея?

Тем не менее, как мы вскоре увидим, бесконечность оказалась манной небесной. Если учесть все открытия и технологии, которые в итоге выросли из анализа, то идея использовать бесконечность для решения трудных геометрических задач была одной из лучших в истории.

Конечно, в 250 году до нашей эры предвидеть это было невозможно. Тем не менее бесконечность тут же дала несколько впечатляющих результатов. Одним из первых и лучших стало решение давней загадки: как найти площадь круга[29].

Доказательство с помощью пиццы

Перед тем как вдаваться в подробности, давайте набросаем ход рассуждений. Наша стратегия – представить круг в виде пиццы, а затем нарезать ее на бесконечное множество кусочков и волшебным образом переложить их так, чтобы получился прямоугольник. Это даст нам ответ, который мы ищем, поскольку перекладывание кусочков, очевидно, не меняет их площадь, а находить площадь прямоугольника мы умеем: нужно умножить его длину на ширину. Результатом будет формула для площади круга.

Для такого рассуждения пицца должна быть идеализированной математической пиццей – идеально плоской и круглой, с бесконечно тонкой корочкой. Обозначим буквой С ее периметр (или длину окружности) – расстояние вдоль границы. Длина окружности – вовсе не то, что обычно интересует любителей пиццы, однако при желании мы могли бы измерить величину C с помощью рулетки.

Еще одна необходимая величина – радиус пиццы r, который определяется как расстояние от ее центра до любой точки корочки. В частности, если мы нарежем пиццу на ломтики, проводя разрезы от центра к краям, то длина прямого отрезка в таких ломтиках будет равна r.

Предположим, что мы разделили пиццу на четыре части. Их можно переложить следующим способом, но он не выглядит слишком многообещающим.

Получившаяся фигура с выступами вверху и внизу смотрится несколько странно. Это явно не прямоугольник, и определить ее площадь непросто. Похоже, нам придется отступить. Но, как и в любой драме, герою перед триумфом предстоит преодолеть трудности. Драматическое напряжение нарастает.

Однако раз уж мы тут застряли, то отметим две вещи, потому что они будут справедливы в ходе всего доказательства и в итоге дадут нам размеры искомого прямоугольника. Первая – одна половина корочки стала искривленной верхней границей новой фигуры, а вторая – нижней частью. Поэтому длина верхней границы равна C/2 и нижней границы – тоже C/2, как изображено на рисунке. Как мы увидим, в итоге эти границы превратятся в длинные стороны прямоугольника. Вторая – длина всех наклонных боковых сторон получившейся фигуры равна r, потому что это просто стороны исходных ломтиков пиццы. Эти боковые отрезки в итоге превратятся в короткие стороны прямоугольника.

Причина, по которой мы пока не видим никаких признаков искомого прямоугольника, – у нас еще недостаточно ломтиков. Если разрезать пиццу на восемь частей и переложить их таким же образом, то фигура окажется более прямоугольной.

По сути, пицца начинает походить на параллелограмм. Неплохо – по крайней мере это почти прямоугольник. Выступы вверху и внизу уже не так выпирают, как на предыдущем рисунке, – из-за большего количества ломтиков. Как и ранее, длина верхней границы фигуры равна C/2, а боковой границы – r.

Чтобы картинка выглядела еще лучше, разрежем пополам один из боковых ломтиков и перенесем его на другую сторону.

Теперь фигура очень похожа на прямоугольник. Да, вверху и внизу еще есть выступы из-за кривизны исходной корочки, но все же мы добились прогресса.

Похоже, увеличение числа кусков помогает, поэтому продолжим их нарезать. При шестнадцати ломтиках и таком же косметическом переносе половинки крайнего куска, как мы сделали только что, получается следующая фигура:

Чем больше кусков мы берем, тем сильнее сглаживаем выступы в верхней и нижней частях получающейся фигуры. Наши операции создают последовательность фигур, которые волшебным образом приближаются к определенному прямоугольнику. Поскольку фигуры к нему все ближе и ближе, назовем его предельным прямоугольником.

Смысл всей процедуры в том, что найти площадь предельного прямоугольника очень просто – достаточно перемножить его ширину и высоту. Все, что нам осталось, – выразить эти ширину и высоту через параметры исходного круга. Поскольку ломтики располагались вертикально, высота – это просто радиус r исходного круга, а ширина – половина длины его окружности, ведь его граница пошла на создание верхней и нижней границы прямоугольника – как это было для всех промежуточных фигур с выступающими краями. Следовательно, ширина равна C/2. Таким образом, площадь прямоугольника A = r × C / 2 = rC / 2. Но учитывая, что перекладывание ломтиков не меняло площади исходного круга, то и его площадь должна быть точно такой же!

Этот результат для площади круга, A = rC / 2, впервые получил (используя аналогичные, но более строгие рассуждения) древнегреческий математик Архимед (287–212 до нашей эры) в трактате «Измерение круга».

Самым новаторским аспектом доказательства было привлечение на помощь бесконечности. Имея всего четыре, восемь или шестнадцать ломтиков, мы могли сложить только фигуру с выступами. После малообещающего старта мы продвинулись к успеху, начав брать больше ломтиков; при этом получающаяся фигура все сильнее приближалась к прямоугольнику. Однако только при бесконечном множестве кусков она становилась по-настоящему прямоугольной. Эта идея и легла в основу анализа. С бесконечностью все упрощается.

Пределы и загадка стены

Предел подобен недостижимой цели. Вы можете подбираться к нему все ближе и ближе, но никогда не пройдете весь путь до конца.

Например, в доказательстве, использующем пиццу, мы могли приближаться к прямоугольнику, нарезая все большее количество ломтиков и переставляя их. Но истинной «прямоугольности» нам никогда не добиться. Мы можем лишь приблизиться к этому идеалу. К счастью, в анализе недостижимость предела обычно не имеет значения. Нередко мы можем решить задачу, представив, что способны достичь предела, а затем посмотрев, что следует из такого представления. Фактически многие из пионеров в этой области сделали свои великие открытия именно таким образом. Логически – нет. С воображением – да. Успешно – весьма.

Предел – это тонкое понятие, и в анализе оно занимает центральное место. Его не просто уловить, потому что в повседневной жизни эта идея не встречается. Пожалуй, ближайшей аналогией будет загадка стены. Если вы проходите половину расстояния до стены, затем половину оставшегося расстояния, потом половину оставшегося и так далее, то достигнете ли в конце концов этапа, на котором доберетесь до стены?

Очевидно, что ответ отрицателен, потому что в загадке стены на каждом этапе вы проходите только половину пути, а не весь путь. Сделаете ли вы десять шагов, миллион или любое другое число, между вами и стеной всегда останется какой-то промежуток. Однако столь же очевидно, что вы можете подойти к стене сколь угодно близко. Это означает, что на каком-то этапе вы окажетесь от нее в сантиметре, миллиметре, нанометре или на любом ином ненулевом расстоянии, но никогда не закончите свой путь. Здесь стена играет роль предела. На то, чтобы строго определить это понятие, понадобилось две тысячи лет. До тех пор пионеры анализа прекрасно обходились интуицией. Так что не волнуйтесь, если пределы кажутся вам сейчас туманными. Мы познакомимся с ними лучше, наблюдая на практике. С современной точки зрения пределы – это фундамент, на котором построен весь анализ.

Если метафора со стеной кажется вам слишком мрачной и негуманной (кому захочется вечно приближаться к недосягаемой стене?), рассмотрите такую аналогию: все, что движется к какому-то пределу, подобно герою, занятому бесконечным поиском. Это не бесполезное занятие, как бессмысленная задача Сизифа, обреченного вечно вкатывать камень на гору только для того, чтобы увидеть, как он снова скатывается вниз. Когда в математике происходит приближение к пределу (как наши фигуры с выступами приближались к предельному прямоугольнику), это подобно тому, как главный герой стремится к чему-то, что, как он знает, невозможно, но все же надеется на успех, воодушевляясь прогрессом в своих попытках достичь недостижимой звезды.

Притча о 0,333…

Чтобы подкрепить важные идеи, что в бесконечности все упрощается и что пределы подобны недостижимым целям, возьмем пример из арифметики. Это задача преобразования обыкновенной дроби – например, 1/3 – в десятичную (в нашем случае 1/3 = 0,333…). Я хорошо помню, как моя школьная учительница математики мисс Стэнтон учила нас это делать. Запомнилось это потому, что она внезапно заговорила о бесконечности.

До этого момента я никогда не слышал, чтобы взрослые говорили о бесконечности. Мои родители определенно этого не делали. Это казалось секретом, о котором знали только дети. На детской площадке о нем постоянно упоминали в насмешках и издевках:

– Ну ты и дурак!

– А ты дурак вдвойне!

– А ты дурак бесконечность раз!

– А ты дурак бесконечность раз плюс один!

– Это то же самое, что бесконечность, идиот!

Такие поучительные разговоры убедили меня в том, что бесконечность ведет себя не так, как обычное число. Она не становится больше, если к ней прибавить 1. Даже добавление бесконечности не поможет. Несокрушимые свойства делали ее окончательным аргументом в дворовых разборках. Побеждает тот, кто применит бесконечность первым.

Однако никто из учителей до мисс Стэнтон не упоминал о бесконечности. Все в нашем классе уже знали о конечных десятичных дробях, используемых для представления денежных сумм, например 10,28 доллара, где есть две цифры после запятой. Напротив, бесконечные десятичные дроби, где после запятой было бесконечно много чисел, казались странными на первый взгляд, но становились естественными, как только мы начали изучать обыкновенные дроби.

Мы узнали, что дробь 1/3 можно записать как 0,333…, где многоточие означало, что тройки повторяются до бесконечности. Это имело для меня смысл, потому что, пытаясь поделить 1 на 3 в столбик, я застрял в бесконечном цикле: 1 меньше 3, поэтому получаем в частном ноль целых, дописываем к единице 0, делим 10 на 3, получаем 3 и остаток 1; в итоге нужно снова делить 1 на 3, то есть мы возвращаемся к тому, с чего начали. Выхода из цикла не было, а значит, тройки при делении будут повторяться: 0,333…

Многоточие после 0,333 истолковывается двумя способами. Наивное толкование состоит в том, что существует буквально бесконечное количество троек, находящихся справа от десятичной запятой вплотную друг к другу. Конечно, мы не можем записать их все, раз их бесконечно много, но с помощью многоточия показываем, что они там есть, по крайней мере в нашей голове. Я назову такую интерпретацию актуальной бесконечностью Преимущество ее в том, что она выглядит простой и здравой, пока мы не желаем особо задумываться о том, что означает бесконечность.

Более изящное толкование состоит в том, что 0,333… представляет собой некоторый предел – в точности такой же, как предельный прямоугольник для наших фигур в доказательстве с пиццей или стена для незадачливого путешественника. Только здесь 0,333… отображает предел последовательных десятичных чисел, которые мы генерируем при делении 1 на 3. Чем больше этапов в процессе деления, тем больше троек в десятичном разложении 1/3. Мы можем получить сколь угодно хорошее приближение к 1/3. Если нам не нравится 1/3 ≈ 0,3, мы можем сделать еще шаг и получить 1/3 ≈ 0,33 и так далее. Я назову это толкование потенциальной бесконечностью Она «потенциальна» в том смысле, что приближения можно получать сколь угодно долго. Ничто не мешает сделать миллион, миллиард или любое иное количество шагов. Преимущество этого толкования в том, что нам незачем прибегать к такому туманному понятию, как бесконечность. Мы всегда можем оставаться в области конечного.

Для работы с равенством вида 1/3 = 0,333… не имеет значения, какой точки зрения мы придерживаемся. Они одинаково состоятельны и дают одни и те же математические результаты в любых нужных нам вычислениях. Однако в математике существуют ситуации, когда понятие актуальной бесконечности может вызвать логический хаос. Именно это я подразумевал, когда писал во введении о големе бесконечности. Иногда действительно важно, как мы думаем о результатах процесса, приближающегося к какому-то пределу. Делая вид, что процесс в реальности заканчивается и каким-то образом достигает нирваны бесконечности, подчас можно попасть в неприятную ситуацию.

Притча о многоугольнике с бесконечным числом углов

В качестве примера возьмем круг, расставим на его границе (окружности) через равные промежутки определенное количество точек и соединим их отрезками. При трех точках получим равносторонний треугольник, при четырех – квадрат, при пяти – правильный пятиугольник и так далее, последовательно получая все новые правильные многоугольники.

Обратите внимание, что чем больше точек мы используем, тем ближе наш многоугольник к кругу. При этом стороны многоугольников становятся все короче и многочисленнее. Наш круг – предел для построенных многоугольников.

Таким образом, бесконечность снова соединяет два мира. На этот раз она ведет нас от прямолинейности к криволинейности, от угловатых фигур к гладкому кругу, тогда как в случае с пиццей бесконечность, наоборот, преобразовала круг в прямоугольник.

Конечно же, на любом шаге многоугольник по-прежнему остается многоугольником. Это еще не круг и никогда им не станет. Фигуры приближаются к кругу, но никогда не совпадут с ним. Здесь мы имеем дело с потенциальной бесконечностью, а не с актуальной. Так что с логической точки зрения все безукоризненно.

Но что, если бы мы могли пройти весь путь до актуальной бесконечности? Был бы итоговый многоугольник с бесконечным количеством углов и бесконечно короткими сторонами кругом? Заманчиво так думать, ведь тогда многоугольник окажется гладким. Все углы будут сошлифованы. Все станет идеальным и красивым.

Очарование и опасность бесконечности

Здесь заложен общий принцип: пределы часто проще, чем приближения, ведущие к ним. Круг проще и изящнее, чем любой из угловатых многоугольников, к нему приближающих. То же самое относится и к доказательству с помощью пиццы, где предельный прямоугольник проще и элегантнее, нежели бугристые фигуры с некрасивыми выступами, и к дроби 1/3. Это проще и приятнее, нежели любое из неуклюжих приближений с большими числителями и знаменателями вроде 3/10, 33/100 или 333/1000. Во всех этих случаях предельная фигура или число проще и симметричнее, чем конечные приближения.

В этом и состоит очарование бесконечности. Здесь все становится лучше.

Помня об этом, давайте вернемся к притче о многоугольнике с бесконечно большим количеством углов. Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник с бесконечным числом углов и бесконечно малыми сторонами. Какова длина этих сторон? Если она равна 0, то общая длина всех сторон – бесконечность, умноженная на 0, – должна давать длину окружности. Но представьте окружность вдвое большего размера. Точно так же ее длина должна равняться бесконечности, умноженной на 0. Получается, бесконечность, умноженная на 0, должна равняться и длине нашей окружности, и вдвое большему числу. Что за ерунда? Не существует разумного способа определить результат умножения бесконечности на ноль, а потому нет разумного способа рассматривать круг как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Тем не менее в таком интуитивном представлении есть нечто искушающее. Подобно библейскому первородному греху, по той же причине трудно сопротивляться и первородному греху анализа – соблазну считать, что круг – это правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. Он соблазняет нас запретным знанием, идеями, недоступными для обычных средств. На протяжении тысячелетий геометры пытались вычислить длину окружности. Если бы круг можно было заменить многоугольником со множеством крохотных прямых сторон, задача была бы гораздо проще.

Прислушиваясь к шипению этого змея-искусителя – но все же сдерживаясь, используя потенциальную бесконечность вместо более заманчивой актуальной, – математики научились решать задачу о длине окружности и другие загадки кривых. В следующих главах мы узнаем, как им это удалось, а пока попробуем еще глубже понять, насколько опасной может быть актуальная бесконечность. Этот грех ведет ко многим другим, включая тот, о котором учителя предупреждали нас в первую очередь.

Грех деления на ноль

Во всем мире школьников учат, что делить на ноль нельзя. Должно быть, они шокированы существованием такого табу. Предполагается, что числа дисциплинированны и хорошо себя ведут. Урок математики – место для логики и рассуждений. И все же можно задавать о числах простые вопросы, на которые нет ответов, или пытаться сделать с ними простые вещи, которые не работают или не имеют смысла. Деление на ноль – одна из них.

Корень проблемы – в бесконечности. Деление на ноль вызывает бесконечность примерно так же, как доска для спиритических сеансов – духов из другого мира. Это рискованно. Не ходите туда.

Тем, кто не в силах сопротивляться искушению и желает понять, почему в тенях скрывается бесконечность, советуем поделить 6 на какое-нибудь маленькое число, близкое к нулю, но не равное ему, например 0,1. В этом ничего запретного нет. Если разделить 6 на 0,1, получится 60, довольно прилично. Поделим 6 на еще меньшее число, скажем 0,01; ответ будет больше – 600. Если мы отважимся разделить 6 на число, которое гораздо ближе к 0, допустим, на 0,0000001, то ответ будет еще больше и составит 60 000 000. Тенденция ясна. Чем меньше знаменатель, тем больше частное. В пределе, когда знаменатель приближается к нулю, частное стремится к бесконечности. Вот настоящая причина, почему нельзя делить на 0. Малодушные говорят, что ответ неопределенный, но на самом деле он бесконечный.

Все это можно представить себе следующим образом. Вообразите, что вы делите 6-сантиметровую линию на части длиной 0,1 сантиметра. Получается 60 кусков, уложенных вплотную друг к другу.

Точно так же (но я не буду пробовать это нарисовать) эту линию можно поделить на 600 частей по 0,01 сантиметра или на 60 000 000 частей по 0,0000001 сантиметра.

Если мы продолжим и доведем это безумное деление до предела, то придем к заключению, что наша 6-сантиметровая линия состоит из бесконечного числа частей нулевой длины. Возможно, это звучит правдоподобно. В конце концов, линия состоит из бесконечного количества точек, и каждая точка имеет нулевую длину.

Но с философской точки зрения нервирует то, что аналогичное рассуждение можно применить к линии любой длины. В самом деле, в числе 6 нет ничего особенного. Мы могли бы с равным успехом утверждать, что линия длиной 3 сантиметра, или 49,57, или 2 000 000 000 состоит из бесконечного числа точек нулевой длины. Очевидно, что умножение 0 на бесконечность может дать нам любой мыслимый результат – 6, 3, 49,57 или 2 000 000 000. С математической точки зрения это ужасно.

Грех актуальной бесконечности

Прегрешение, которое втянуло нас в эту путаницу, заключалось в том, что мы вообразили, будто действительно можем достичь предела и трактовать бесконечность как достижимое число. Еще в IV веке до нашей эры греческий философ Аристотель[30] предупреждал, что такое обращение с бесконечностью способно привести к различным логическим неприятностям. Он выступал против актуальной бесконечности[31], уверяя, что смысл имеет только потенциальная бесконечность.

В контексте разрезания линии на части потенциальная бесконечность означает, что линию можно разрезать на сколь угодно большое количество частей, но оно всегда конечно, а длина частей не равна 0. Это вполне допустимо и не вызывает никаких логических затруднений.

Что запрещено – так это идея, что можно пройти весь путь до актуальной бесконечности и получить бесконечное число частей нулевой длины. Аристотель считал, что это ведет к бессмыслице – как в нашем случае, когда произведение бесконечности и 0 может дать любое число. Поэтому он запретил пользоваться актуальной бесконечностью в математике и философии. Математики поддерживали его мнение в течение следующих двадцати двух столетий.

Когда-то в далекие доисторические времена кто-то понял, что числа никогда не заканчиваются. Вместе с этой мыслью родилась бесконечность. Это числовой аналог глубин, скрытых в нашей психике, в наших ночных кошмарах о бездонных ямах и в наших надеждах на вечную жизнь. Именно бесконечность лежит в основе множества наших мечтаний, страхов и безответных вопросов. Насколько велика Вселенная? Сколько длится вечность? Насколько могуществен Бог? Тысячи лет бесконечность сбивает с толку лучшие умы человечества во всех областях мысли – от религии и философии до науки и математики. Ее запрещали, объявляли вне закона и отвергали. Во времена инквизиции монах Джордано Бруно[32] был сожжен заживо на костре за предположение, что Бог в своей бесконечной силе создал бесчисленные миры.

Парадоксы Зенона

Примерно за два тысячелетия до казни Джордано Бруно бесконечность осмелился созерцать другой отважный философ. Зенон Элейский (около 490–430 до нашей эры) изложил ряд апорий (парадоксов), связанных с пространством, временем и движением, и бесконечность играла в них главную роль. Эти апории предвосхитили идеи, положенные в основу анализа, и обсуждаются до сих пор. Бертран Рассел называл их неизмеримо тонкими и глубокими[33].

Мы не знаем, что именно пытался показать своими рассуждениями Зенон, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось, если они вообще существовали. Его рассуждения дошли до нас в передаче Платона и Аристотеля, которые в основном пытались их опровергнуть. В их пересказе Зенон пытался доказать, что изменения невозможны. Наши чувства говорят нам иное, но они нас обманывают. Изменение, согласно Зенону, – это иллюзия.

Особенно известны три парадокса Зенона[34],[35]. Первый, «Дихотомия», аналогичен загадке стены, но гораздо печальнее. Он гласит, что вам не удастся даже сдвинуться с места, поскольку для того, чтобы сделать первый шаг, нужно сделать полшага, а перед этим – четверть шага и так далее. Так что вы не только не сможете добраться до стены, но даже не сможете начать движение.

Это блестящий парадокс. Кто бы мог подумать, что для шага требуется выполнить бесконечно много подзадач? Хуже того, нет самой первой задачи, которую надо выполнить. Она не может состоять в том, что нужно сделать полшага, потому что до этого пришлось бы сделать четверть шага, а до того – восьмую часть шага и так далее. Если вы думаете, что у вас много дел перед завтраком, представьте, что вам нужно закончить бесконечное количество дел, прежде чем добраться до кухни.

Другой парадокс, названный «Ахиллес и черепаха», утверждает, что быстрый бегун (Ахиллес) никогда не догонит медленного бегуна (черепаху), если у того будет фора.

К тому времени, когда Ахиллес достигнет места, откуда отправилась в путь черепаха, она успеет немного продвинуться вперед. К тому моменту, когда Ахиллес достигнет этого нового места, черепаха снова продвинется, и так далее. Поскольку все мы считаем, что быстрый бегун может обогнать медленного, то либо наши чувства нас обманывают, либо что-то не так с нашими рассуждениями о движении, пространстве и времени.

В этих первых двух парадоксах Зенон, похоже, возражал против принципиальной непрерывности пространства и времени, то есть против того, что их можно делить до бесконечности. Его умной стратегией было применение доказательства от противного (некоторые утверждают, что он его и изобрел), известное среди юристов и логиков как reductio ad absurdum (доведение до абсурда). В обоих парадоксах Зенон предположил непрерывность пространства и времени, а затем вывел из этого допущения противоречие, поэтому предположение о непрерывности должно быть ложным. Анализ основан именно на этом предположении, а потому ставки тут весьма высоки. Он опровергает Зенона, демонстрируя ошибки в его рассуждениях.

Например, вот как анализ справляется с Ахиллесом и черепахой. Допустим, что черепаха стартует в 10 метрах перед Ахиллесом, а Ахиллес бежит вдесятеро быстрее своей соперницы – скажем, 10 метров в секунду против 1 метра в секунду. Таким образом, за 1 секунду Ахиллес отыгрывает 10-метровую фору черепахи. За это время черепаха продвинется на 1 метр. Чтобы покрыть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще 0,1 секунды. За это время черепаха преодолеет еще 0,1 метра. Продолжая рассуждать в том же духе, мы видим, что последовательные отрезки времени, которые нужны Ахиллесу, чтобы покрыть разделяющее расстояние, складываются в бесконечный ряд:

1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1,111… секунд.

Если записать это число в виде обыкновенной дроби, получим 10/9 секунды. Именно столько времени понадобится быстроногому герою мифа, чтобы догнать черепаху. И хотя Зенон был прав в том, что Ахиллесу требуется выполнить бесконечное количество задач, в этом нет ничего парадоксального. Как показывает математика, он может справиться с ними за конечный промежуток времени.

Такое рассуждение использует анализ. Мы просто суммируем бесконечный ряд и вычисляем предельное значение, как делали при обсуждении, почему 0,333… = 1/3. Всякий раз, когда мы работаем с бесконечной записью десятичных чисел, мы применяем анализ (хотя большинство людей отнеслись бы к этому как к школьной арифметике).

Кстати, анализ – не единственный способ справиться с такой задачей. Мы могли бы использовать алгебру. Для этого нам нужно выяснить, где в произвольный момент времени t находится на трассе каждый из соперников. Пусть Ахиллес начинает в нулевой точке. Поскольку он бежит со скоростью 10 метров в секунду, а расстояние равно произведению скорости на время, то в момент t он пробежит 10 × t. Что касается черепахи, то она начинает двигаться в точке 10 и перемещается со скоростью 1 метр в секунду, поэтому в момент t она находится в точке 10 + 1 × t. Чтобы определить время, когда герой настигнет соперницу, нужно приравнять эти два выражения, поскольку с алгебраической точки зрения это означает, что Ахиллес и черепаха находятся в одной точке в один момент времени. Получаем уравнение

10t = 10 + t.

Чтобы решить его, вычитаем t из обеих частей и получаем 9t = 10. Делим обе части на 9 и получаем t = 10 / 9 секунды, то есть ровно тот же ответ, что нам дал анализ. Таким образом, с точки зрения анализа в ситуации с Ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса. Если пространство и время непрерывны, все прекрасно работает.

Зенон в цифровом мире

В третьей апории под названием «Стрела» Зенон выступает против альтернативной идеи, что пространство и время дискретны[36]