Как же называется эта книга? бесплатное чтение

Рэймонд М. Смаллиан
Как же называется эта книга?

От переводчика

Что может быть более далеким от истины, чем представление о математике как о застывшей науке, давно остановившейся а своем развитии и превратившейся в своего рода свод правил для решения задач? Однако такое превратное представление об одной из наиболее быстро развивающихся наук современности бытует у очень многих. Между тем математика непрестанно меняет свой облик, пополняет свой арсенал новыми идеями, мощными и гибкими методами, расширяет сферу приложений, черпает новые постановки задач не только из логики внутреннего развития, но и из других областей науки.

Столь странное противоречие объясняется тем, что между рубежами, завоеванными современной математикой, и традиционно читаемыми «устоявшимися» курсами математики существует разрыв, красочно описанный замечательным представителем этой науки, педагогом и популяризатором Гуго Штейнгаузом: «В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды, и они составляют значительное большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средневековья, а уровня математики XVIII века не достигает и один на тысячу… Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается, и идущие впереди отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование».

«Растянутость шествия всего человечества» особенно ощутима, когда речь заходит не о рецептурной, алгоритмической, а об «идейной» стороне математики.

С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепризнанным эталоном доказательности, достойным всяческого подражания (достаточно упомянуть «Этику» Спинозы, «изложенную на геометрический манер», или «Математические начала натуральной философии» Ньютона). Строгость математических доказательств, непреложность получаемых с их помощью выводов, незыблемость математических истин вошли в поговорку. Но прописные истины, подобно разменной монете, от частого употребления стираются и теряют в весе. Доверять им по меньшей мере неосмотрительно, а получить достоверную информации о действительном положении вещей нелегко не только для человека далекого от математики, но и для математика, не занимающегося специально проблемами оснований математики и математической логики. Те, кто, желая похвалить обоснованность чьей-либо аргументации, с легкостью называют ее математически строгой и безупречной, как правило, не в состоянии объяснить, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», или ответить, всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть. Подобные вопросы способны поставить в тупик и несравненно более искушенного в математике нематематика, который умеет вычислить значение истинности таких высказываний, как «Речка движется и не движется», или импликации «<Если> гром не грянет, <то> мужик не перекрестится», знает, чем исключающее «или» (Либо пан, либо пропал) отличается от неисключающего (Надобно либо уменье, либо везенье <а лучше всего и то, и другое>), постиг различие между причинно-следственной связью и импликацией и усвоил немало других премудростей алгебры логики.

Простота подобных вопросов обманчива, их наивность иллюзорна. Они затрагивают тонкие и глубокие проблемы теории логического вывода и оснований математики, над решением которых трудилось не одно поколение логиков, математиков и философов. При всей общности понимания того, что составляет существо математического доказательства, и преемственности поколений каждая эпоха вносит свой вклад в недостижимый идеал математической строгости, вводя поправки и дополнения в то, что было сделано ранее.

Предлагаемая вниманию читателя книга американского ученого Рэймонда М. Смаллиана, известного своими работами в области математической логики, опровергает известные слова Пифагора о том, что в математику нет царской дороги. Перед ее читателем открывается редкая, чтобы не сказать уникальная, возможность проникнуть в существо одного из величайших достижений математической логики нашего века — в доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. По занимательности, динамичности и напряжённости действия книга Смаллиана не уступает лучшим образцам приключенческого жанра. Намного превосходя по глубине научного содержания большинство научно-популярных произведений и даже отдельные сугубо научные издания, книга Смаллиана помогает читателю совершить головокружительное восхождение от «дурацких штучек» (как автор называет элементарные логические задачи, не требующие для своего решения ничего, кроме находчивости, внимания и здравого смысла) к одной из вершин современной математической логики, на покорение которой обычно приходится затрачивать немало сил и средств. Попутно автор знакомит читателя со своенравной Порцией и ее не менее своенравными прапраправнучками до N-го колена, проницательным инспектором Крэгом, искусными мастерами Челлини и Беллини, приглашает побывать на островах, населенных рыцарями, неизменно говорящими правду, и столь же неукоснительно лгущими лжецами, побывать в замке графа Дракулы Задунайского и, пережив множество увлекательных приключений, завершить необычайное путешествие на гёделевых и дважды гёделевых островах.

С непостижимой ловкостью фокусника (не все ученые коллеги автора знают, что в годы аспирантуры он выступал в этом качестве на профессиональной эстраде) Смаллиан демонстрирует новые, порой весьма неожиданные варианты известных задач, изобретает необычайно изящные головоломки собственной конструкции, раскрывая перед читателем логику «во всем ее блеске и великолепии».

Профессор Смаллиан умеет неопровержимо доказать, что либо он, либо читатель не существует, причем неизвестно, какая из альтернатив истинна! Чтобы постичь столь высокое искусство доказательства, необходимо внимательно прочитать его книгу. Поэтому пока мы ограничимся утверждением (с истинностью которого не может не согласиться даже тот, кто не читал книги), что книга Смаллиана с неуловимо исчезающим названием «Как же называется эта книга?» (попробуйте объяснить кому-нибудь, как она называется, и вы поймете, что имеется в виду) попадет в руки либо читателю, интересующемуся математикой, либо читателю, для которого математика не представляет ни малейшего интереса (хотя заранее неизвестно, какая альтернатива уготована тому или иному экземпляру книги). С неменьшей уверенностью можно утверждать, что и тот и другой прочитают ее с интересом и пользой.

Ю. Данилов

Благодарности

Линде Ветцель и Джозефу Бевандо, чьи мудрые советы были для меня неоценимы.

Я хочу от души поблагодарить…

Прежде всего моих добрых друзей Роберта и Ильзу Коуэн и их десятилетнюю дочь Ленору, прочитавших рукопись этой книги и высказавших множество полезных советов. (В частности, Ленора угадала правильный ответ на ключевой вопрос главы 4: существует ли Трулюлю в действительности или его выдумал Шалтай-Болтай?)

Выражаю свою искреннюю признательность Григу и Мелвину Фиттингам (авторам чудесной и полезной книги «Во славу простых вещей») за их интерес к моей работе и за то, что они обратили на нее внимание Оскара Коллиера из издательства «Прентис-холл». Думаю, что мне следует особо поблагодарить Мелвина за то, что он возник в этой книге (опровергнув своим появлением мое доказательство того, что он никак не мог бы появиться!).

Работать с Оскаром Коллиером и другими сотрудниками издательства «Прентис-холл» для меня было удовольствием. Миссис Илене Макгрэт, перепечатавшая рукопись книги, высказала много полезных советов, которые я с благодарностью принял. Выражаю признательность Дороти Лахман, весьма изобретательно находившей нужные детали и оттенки.

Я хотел бы еще раз подчеркнуть роль Джозефа Бевандо и Линды Ветцель, которым посвящена эта книга. Они были моими преданными и надежными помощниками на протяжении всей работы над книгой.

Я благодарен моей жене Бланш, помогавшей мне своими вопросами. Надеюсь, что эта книга поможет ей решить, за кого она вышла замуж: за рыцаря или за лжеца.

Рэймонд М. Смаллиан

Часть первая. Логические развлечения

I. Одурачен или не одурачен?

1. Остался ли я в дураках?

Мое первое знакомство с логикой произошло, когда мне было шесть лет. Случилось это 1 апреля 1925 г. В тот день я был болен гриппом, инфлюэнцой или чем-то еще в этом же роде. Утром ко мне в спальню заглянул мой брат Эмиль (он на десять лет старше меня) и сказал: «Рэймонд, сегодня первое апреля, день шуток и розыгрышей, и я одурачу тебя так, как тебя еще никто не одурачивал!» Весь день я терпеливо ждал, когда Эмиль меня одурачит, но он так и не появился. Поздно вечером мама спросила: «Рэймонд, почему ты не спишь?» Я ответил: «Жду, когда Эмиль меня одурачит». Мама позвала Эмиля и строгим голосом приказала: «Эмиль, немедленно разыграй малыша! Он ждет, когда ты его одурачишь». Эмиль послушно направился к моей кроватке, и между нами произошел следующий диалог:

Эмиль: Ты с утра ждешь, когда я тебя одурачу?

Рэймонд: Жду.

Эмиль: Я никак тебя не одурачиваю. Верно?

Рэймонд: Верно!

Эмиль: Но ведь ты ждал, что я тебя одурачу?

Рэймонд: Ждал.

Эмиль: Вот я тебя и одурачил.

Помнится, в тот день я долго еще ворочался в постели после того, как мама выключила свет, и ломал голову над тем, оставил меня брат в дураках или не оставил. С одной стороны, если брат меня не одурачил. то я не получил того, что мне было обещано, и, следовательно, остался в дураках. (Так рассуждал мой старший брат.) Но с тем же основанием можно утверждать, что если брат меня одурачил, то я получил обещанное, и тогда не понятно, в каком смысле меня следует считать оставшимся в дураках. Как же все-таки обстоит дело: одурачил меня брат или не одурачил?

Я не стану сейчас отвечать на этот вопрос. В нашей книге мы еще не раз вернемся к нему в той или иной форме. В нем воплощен некий тонкий принцип, который будет одной из главных тем нашей книги.

2. Лгал ли я?

Аналогичный случай произошел со мной много лет спустя, когда я был аспирантом Чикагского университета. В ту пору я выступал на эстраде как профессиональный фокусник, но в моих делах произошла небольшая заминка, и мне необходимо было экстренно изыскать способ, как восполнить убытки. Я решил попробовать, не подойдет ли мне работа коммивояжера. Предложив свои услуги компании, занимавшейся торговлей пылесосами, я получил приглашение явиться для проверки профессиональной пригодности. Среди прочих мне задали вопрос: «Не возражаете ли вы против того, что вам время от времени придется немного лгать?» У меня были весьма сильные возражения. Ложь, исходящую от коммивояжера, я считал особенно недопустимой, так как она создает превратное представление о продукции. Однако, подумав про себя, что если я выскажу вслух свое мнение, то заведомо лишусь работы, я солгал и сказал: «Нет, не имею ничего против».

По дороге домой мне пришло в голову следующее. Я спросил себя, вызывает ли у меня какие-нибудь возражения данный мной лживый ответ, и сказал «Нет». А поскольку я не имею ничего против этой конкретной лжи, то, значит, я не возражаю и против любой лжи. Следовательно, мой ответ «Нет» при проверке профессиональной пригодности был не ложью, а истиной!

До сих пор мне не вполне ясно, солгал я тогда или не солгал. С помощью формальной логики мне удалось бы доказать, что я изрек истину, так как допущение о том, что я лгал, приводит к противоречию. Таким образом, логика вынуждает меня поверить в то, что я сказал истину. Но в то же время меня не покидает ощущение, что я солгал!

Коль скоро речь зашла о лжи, я не могу не вспомнить случай, происшедший с Бертраном Расселлом и философом Дж. Э. Муром. Расселл отзывался о Муре как об одном из самых правдивых людей, с которыми ему когда-либо приходилось встречаться. Однажды Рассел спросил Мура: «Случалось ли вам солгать?» Мур ответил: «Да!» Комментируя этот краткий диалог, Расселл заметил: «Думаю, что это была единственная ложь, высказанная Муром!»

Случай, происшедший со мной в молодости, когда я вознамерился было стать коммивояжером, поднимает вопрос о том, может ли человек лгать, не зная, что он лжет. Я бы ответил на такой вопрос отрицательно. Я считаю, что лгать означает высказывать не ложное утверждение, а утверждение, которое тот, кто его высказывает, считает ложным. Действительно, если кто-то высказывает утверждение, считая его ложным, а оно оказывается истинным, то я бы сказал, что этот «кто-то» лжет.

В одном из учебников по аномальной психологии я прочитал о следующем происшествии. Врачи в психиатрической лечебнице собирались выписать пациента, страдающего шизофренией, и решили подвергнуть его проверке при помощи детектора лжи. Среди прочих пациенту был задан вопрос: «Вы Наполеон?» Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.

Следующий эпизод, также вычитанный мною из какой-то книги, свидетельствует о том, что иногда животные способны лукавить. В комнате, к потолку которой на бечевке был подвешен банан, ставился эксперимент на шимпанзе. Банан висел так высоко, что дотянуться до него было невозможно. В комнате находились шимпанзе и экспериментатор и, если не считать банана и бечевки, не было ничего, кроме нескольких деревянных ящиков различных размеров. Цель эксперимента состояла в том, чтобы установить, сообразит ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду, взобраться на нее и достать банан. А вот что произошло на деле. Экспериментатор стоял в углу комнаты и наблюдал за поведением шимпанзе. Обезьяна подошла к нему и стала настойчиво тянуть за рукав на середину комнаты. Экспериментатор, уступая нажиму, медленно последовал за шимпанзе. Когда они дошли до середины комнаты, обезьяна внезапно вспрыгнула ему на плечи и схватила банан.

3. Шутка, обернувшаяся против меня

У моего товарища по аспирантуре в Чикагском университете было двое братьев в возрасте шести и восьми лет. Я бывал у них дома и часто показывал ребятам фокусы. Однажды я пришел и предложил: «Хотите, я покажу вам необыкновенный фокус? Превращу вас в львов!» К моему удивлению, один из братьев охотно согласился. «Вот будет здорово! — сказал он. — Непременно преврати нас в львов!» Я попытался отговориться: «Пожалуй, этого не следует делать, потому что превратить вас потом снова в людей было бы невозможно». Младший брат ответил: «Все равно преврати нас в львов. Ну, пожалуйста!» «Но я же не смогу вернуть вам человеческий облик!» — пытался выкрутиться я. «Я хочу, чтобы ты превратил нас в львов!» — заорал в ответ старший брат, а младший спросил: «А как это делается?» «При помощи волшебных слов», — ответил я. «А что это за слова?» — поинтересовался один из братьев. «Чтобы сказать тебе волшебные слова, мне придется произнести их вслух, и тогда вы превратитесь в львов», — схитрил я. Братья задумались, а потом один из них спросил: «А нет ли таких волшебных слов, которые могли бы превратить нас из львов снова в людей?» «Есть, — ответил я, — но дело в том, что как только я произнесу первые волшебные слова, то не только вы, но я все люди на свете, в том числе и я сам, превратятся в львов. Львы не умеют говорить, и поэтому на целом свете не останется никого, кто смог бы произнести другие волшебные слова и снова превратить нас в людей». Старший брат сказал: «Не можешь сказать, тогда напиши волшебные слова!» Младший забеспокоился: «Тебе хорошо, а я еще не научился читать!» Я попытался успокоить его: «Волшебные слова обладают такой силой, что даже если их молча написать на клочке бумаги, то все люди на свете все равно превратятся в львов». Братья разочарованно вздохнули.

Примерно через неделю я встретил восьмилетнего брата, и он остановил меня: «Привет, Смаллиан! Я как раз хотел задать тебе один вопрос». Не подозревая подвоха, я спросил: «О чем?» Мальчик ответил: «Как же ты сам ухитрился узнать волшебные слова?»

II. Головоломки и дурацкие штучки

А. Несколько добрых старых знакомых

Начнем с нескольких хорошо известных головоломок, служивших развлечением не одному поколению. Некоторые из них покажутся вам знакомыми, но даже в них вы обнаружите новые подробности.

4. На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.

Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» — спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, — сын моего отца (вы не ослышались, все верно — сын!)». Чей портрет разглядывает человек?

5

Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: «В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, — сын моего отца (вы не ослышались, все верно — сын!)».

Чей портрет разглядывает этот человек?

6. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?

Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом — столб, который нельзя ни повалить, ни сломать. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

7

Следующая очень простая задача — одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

8. Новый поворот в предыдущей задаче

Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

9

Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.

1. Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.

2. Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.

3. Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.

Какова наибольшая численность населения Поданка?

10. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C). Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.

Спрашивается, кто убийца? A или B?

Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой. Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. «Не знаю, подойдет ли тебе работа, — сказал он. — Мы здесь валим лес». Лесоруб обрадовался: «Эта работа как раз по мне». Управляющий решил испытать его в деле. «Вот топор, — сказал он. — Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево». Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. «Великолепно, — сказал он, — а теперь попробуй повалить вон то большое дерево». Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами — трах, бах! — повалил и его. «Невероятно! — воскликнул управляющий. — B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?» «Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары», — ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. «Вы хотели сказать „в пустыне Сахаре?“» — переспросил он. «Теперь там пустыня», — пояснил лесоруб.

11. Еще один юридический казус

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: «Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу».

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

12. Двое краснокожих

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, — не его отец. Как вы это объясните?

13. Часы остановились

Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

14. Задача о медведе

Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Б. Дурацкие штучки

Я долго колебался, не зная, как назвать эту книгу. Перебрал множество названий типа «Занимательная логика», «Логические забавы и развлечения», но никак не мог выбрать подходящее. Тогда я решил заглянуть в Большой энциклопедический словарь. Раскрыв его на статье «Развлечения», я прочитал: «См. Увеселения». Последовав совету, я почерпнул множество полезнейших сведений о буффонаде, играх, забавах, занимательных потехах, проказах, развлечениях, шалостях, шутках, шутовстве и юморе. Я узнал, что можно подшутить над кем-нибудь, устроить розыгрыш, затеять возню, устроить кутерьму, поднять пыль столбом, дым коромыслом и что бывают выходки, проделки, ужимки и даже «дурацкие штучки». Добравшись до этого выражения, я рассмеялся и сказал жене: «Знаешь, мне кажется, что „Дурацкие штучки“ — великолепное название для моей книги». Однако, сколь ни выразительным было бы такое название, оно могло бы создать у читателя неправильное представление о ее содержании в целом, поскольку многие ее разделы вряд ли подходят под него. Тем не менее вы вскоре увидите, что название «Дурацкие штучки» как нельзя лучше подходит для названия этого раздела.

15. Две монеты

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

16

Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

17

Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда — пешком — еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

18. Грамматический вопрос

Если вы любите грамматику, то вас, может быть, заинтересует следующий вопрос. Как правильно сказать: «не вижу белый желток» или «белого желтка»?

19. Задача о железнодорожном движении

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

20. Наклон крыши

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой — угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо — в сторону более пологого или крутого ската?

21. Сколько девяток?

Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

22. Беговая дорожка

Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

23. Вопрос международного права

Предположим, что на границе между Соединенными Штатами Америки и Канадой произошла авиационная катастрофа. В какой из двух стран, по вашему мнению, должны быть похоронены уцелевшие пассажиры?

24. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: «Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!»

Как вы это объясните?

25. И последний вопрос

И наконец, последний вопрос: как называется эта книга?

Решения

4. Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: «Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет».

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: «Самого себя». Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло «и все же тот, кого мы видим на портрете, — сын моего отца». Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что «отец того, кто на портрете, — сын моего отца». Отсюда следует, что отец человека на портрете — я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете — сын моего отца.

Подставляя краткое «я» вместо более громоздкого выражения «сын моего отца», преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете — я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

5. B этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

6. При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу деле обстоит так, как если бы я спросил у вас: «Живут на свете два человека — Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?» Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: «Вы либо лжете, либо ошибаетесь».

7. Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере. 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

8. В ящике 4 носка.

9. На вопрос первой задачи ответ утвердительный.

Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек — например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

10. Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать «правильными» или «неправильными». В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика C, то его недруга A. Если бы я был защитником караванщика B, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика B способствовали продлению жизни караванщика C (хотя это и не входило в намерения караванщика B), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика A мог бы возразить мне: «Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если C в действительности не выпил ни капли яда?» Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и A, и B виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости не сравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне не известна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем.

Мне кажется, что об этой головоломке можно было бы написать целую книгу.

11. Обвиняемые были сиамскими близнецами.

12. Тот из краснокожих, кто повыше ростом, — мать того, кто ростом пониже.

13. Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

14. Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике — вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник — в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь — в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы «насолить» автору задачи.

15. Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

16. Как может покойник жениться на ком-нибудь?

17. Человек, живущий на двадцать пятом этаже, — лилипут и не может дотянуться до кнопки «25 этаж» на пульте лифта.

Один мой знакомый (о котором никак нельзя сказать, что он умеет мастерски рассказывать анекдоты) однажды рассказывал эту задачу-шутку в компании, где был и я. Начал он свой рассказ так: «В одном доме на двадцать пятом этаже жил лилипут…»

18. Правильнее было бы сказать, что желток желтый.

19. Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

20. Петухи не откладывают яйца.

21. Двадцать.

22. Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

23. Вряд ли стоит хоронить тех, кто уцелел в авиационной катастрофе!

24. Хирург был матерью Артура Смита.

25. К сожалению, я никак не могу припомнить название этой книги, но не беспокойтесь: рано или поздно я непременно вспомню, как же называется эта книга.

III. Рыцари и лжецы

А. Остров рыцарей и лжецов

Существует множество хитроумных задач об острове, населенном «рыцарями», всегда говорящими только правду, и лжецами, изрекающими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец. Мы начнем с одной хорошо известной задачи этого типа, а затем я приведу серию новых задач, которые придумал сам.

26

Итак, начнем с давно известной задачи. Трое жителей острова (А, B и C) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у A: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у B: «Что сказал A?» «А сказал, что он лжец», — ответил B. «Не верьте B! Он лжет!» — вмешался в разговор островитянин C.

Кто из островитян B и C рыцарь и кто лжец?

27

Когда я впервые встретил предыдущую задачу, мне сразу же бросилось в глаза, что C по существу бездействует, исполняя роль, своего рода «бесплатного приложения». Действительно, когда B высказался, то ложность его утверждения можно было бы установить и без вмешательства C (см. решение предыдущей задачи). Следующий вариант задачи позволяет избавиться от «излишеств» в условиях.

Предположим, что незнакомец задал A другой вопрос: «Сколько рыцарей среди вас?» И на этот вопрос A ответил неразборчиво. Поэтому незнакомцу пришлось спросить у B: «Что сказал A?» B ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь». И тогда C закричал: «Не верьте B! Он лжет!»

Кто из двух персонажей B и C рыцарь и кто лжец?

28

В этой задаче два персонажа: A и B. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. A высказывает следующее утверждение: «По крайней мере один из нас лжец».

Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто лжец?

29

Предположим, что A говорит: «Или я лжец, или B рыцарь».

Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто лжец?

30

Предположим, что A говорит: «Или я лжец, или два плюс два — пять». К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?

31

Перед нами снова три островитянина A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и B) высказывают следующие утверждения:

A: Мы все лжецы.

B: Один из нас рыцарь.

Кто из трех островитян A, B и C рыцарь и кто лжец?

32

Предположим, что A и B высказывают следующие утверждения:

A: Мы все лжецы.

B: Ровно один из нас лжец.

Можно ли определить, кто такой B: рыцарь или лжец?

Можно ли определить, кто такой C?

33

Предположим, что A высказывает утверждение: «Я лжец, а B не лжец».

Кто из островитян A и B рыцарь и кто лжец?

34

Перед нами в очередной раз три островитянина A, B и C, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся называть двух островитян однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть A и B высказывают следующие утверждения:

A: B — лжец.

B: A и C однотипны.

Кто такой C: рыцарь или лжец?

35

Перед нами снова трое островитян A, B и C. А высказывает утверждение: «В и C однотипны». Кто-то спрашивает у C: «А и B однотипны?»

Что ответит островитянин C?

36. Небольшое происшествие

Эта головоломка необычна. Кроме того, в основу ее положено подлинное происшествие. Однажды, когда я гостил на острове рыцарей и лжецов, мне встретились два местных жителя. Я спросил у одного из них: «Кто-нибудь из вас рыцарь?» Мой вопрос не остался без ответа, и я узнал то, что хотел узнать.

Кем был островитянин, к которому я обратился с вопросом: рыцарем или лжецом? Кем был другой островитянин? Смею заверить вас, что я предоставил в ваше распоряжение информацию, достаточную для решения задачи.

37

Предположим, что вы находитесь на острове рыцарей и лжецов и набрели на двух его обитателей, лениво греющихся на солнце. Вы спрашиваете одного из них, рыцарь ли его приятель, и получаете ответ (да или нет). Затем вы задаете такой же вопрос второму островитянину и получаете ответ (да или нет).

Должны ли оба ответа быть одинаковыми?

38. Эдуард или Эдвин?

На этот раз, прогуливаясь по острову, вы случайно набредете на островитянина, безнадежно увязшего у берега пруда, но сколько ни бьетесь, вам так и не удается извлечь его из тины. Вы помните, что его зовут то ли Эдвин, то ли Эдуард, но не можете вспомнить, как именно. Поэтому вы спрашиваете у островитянина, как его зовут, и слышите в ответ: «Эдуард».

Как зовут островитянина?

Б. Рыцари, лжецы и нормальные люди

В не менее увлекательном виде задач персонажи делятся на три типа: рыцарей, говорящих всегда только правду, лжецов, изрекающих только ложь, и нормальных людей, которые иногда лгут, а иногда говорят правду. Предлагаю вам несколько придуманных мною задач о рыцарях, лжецах и нормальных людях.

39

Перед нами трое людей A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий — нормальный человек (типы людей могут быть перечислены не в том же порядке, в каком выписаны их «имена» A, B и C). Наши знакомые высказывают следующие утверждения.

A: Я нормальный человек.

B: Это правда.

C: Я не нормальный человек.

Кто такие A, B и C?

40

Предлагаю вашему вниманию необычную задачу. Двое людей A и B, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения:

A: B — рыцарь.

B: A — не рыцарь.

Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.

41

На этот раз A и B высказывают следующие утверждения:

A: B — рыцарь.

B: A — лжец.

Докажите, что либо один из них говорит правду, но это не рыцарь, либо один из них лжет, но это не лжец.

42. Табель о рангах

На одном острове, где живут рыцари, лжецы и нормальные люди, лжецы считаются особами низшего ранга, нормальные люди — особами среднего ранга и рыцари — особами высшего ранга.

Мне очень нравится следующая задача. Двое людей A и B, о каждом из которых известно, что он либо лжец, либо нормальный человек, высказывают утверждения:

A: По рангу я ниже, чем B.

B: Не правда!

Можно ли определить ранг A или B? Можно ли установить, истинно или ложно каждое из этих двух утверждений?

43

Трое людей A, B и C, %один из которых лжец, один — рыцарь, и один — нормальный человек% (на самом деле здесь стояло следущее: «…каждый из которых либо рыцарь, либо нормальный человек, либо лжец» Но в этом случае решение Смаллиана неверно, поэтому я слегка изменил условие — SStas), высказывают следующие утверждения:

A: B по рангу выше, чем C.

B: C по рангу выше, чем A.

Затем у C спрашивают: «Кто старше по рангу — A или B?» Что ответит C?

В. Остров Бахава

На острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами, поэтому женщин, как и мужчин, называют рыцарями, лжецами и нормальными людьми. В глубокой древности одна из правительниц острова Бахава по собственной прихоти издала указ, по которому рыцарю разрешалось вступать в брак только с лжецом, а лжецу — только с рыцарем (следовательно, нормальный человек мог вступать в брак только с нормальным человеком). С тех, пор в любой супружеской чете на острове Бахава либо оба супруга — нормальные люди, либо один из супругов — рыцарь, а другой — лжец.

Следующие три истории происходят на острове Бахава.

44

Рассмотрим сначала супружескую чету — мистера и миссис A. Они высказывают следующие утверждения:

Мистер A: Моя жена — не нормальный человек.

Миссис A: Мой муж — не нормальный человек.

Кто такой мистер A и кто такая миссис A — рыцарь, лжец или нормальный человек?

45

Предположим, что мистер и миссис A высказали следующие утверждения:

Мистер A: Моя жена — нормальный человек.

Миссис A: Мой муж — нормальный человек.

Совпадает ли ответ этой задачи с ответом предыдущей задачи?

46

В этой задаче речь пойдет о двух супружеских парах с острова Бахава: мистере и миссис A, мистере и миссис B. При опросе трое из них дали следующие показания.

Мистер A: Мистер B — рыцарь.

Миссис A: Мой муж прав: мистер B — рыцарь.

Миссис B: Что верно, то верно. Мой муж действительно рыцарь.

Кто каждый из этих четырех людей — рыцарь, лжец или нормальный человек и какие из трех высказываний истинны?

Решения

26. Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец» (высказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрек бы истину). Следовательно, A, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому B, утверждая, будто A назвал себя лжецом, заведомо лгал. Значит, B — лжец. А так как C сказал, что B лгал, когда тот действительно лгал, то C изрек истину. Следовательно, C — рыцарь. Таким образом, B — лжец, а C — рыцарь. (Установить, кем был A, не представляется возможным.)

27. Ответ в этой задаче такой же, как в предыдущей, но ход рассуждений несколько иной.

Прежде всего заметим, что B и C не могут быть оба рыцарями или оба лжецами, так как B противоречит C. Следовательно, B и C не могут быть оба рыцарями или оба лжецами: один из них рыцарь, а другой — лжец. Если бы A был рыцарем, то всего было бы два рыцаря. Следовательно, A не лгал и сказал, что среди троих персонажей рыцарь лишь один. С другой стороны, если бы A был лжецом, то утверждение о том, что из трех островитян A, B и C рыцарь лишь один, было бы истинным. Но тогда A, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение. Следовательно, на вопрос незнакомца A не мог ответить: «Среди нас один рыцарь». Следовательно, B неверно передал высказывание A, из чего мы заключаем, что B — лжец, а C — рыцарь.

28. Предположим, что A — лжец. Если бы это было так, то утверждение «По крайней мере один из нас лжец» было бы ложным (так как лжецы высказывают ложные утверждения). Следовательно, в этом случае A и B были бы рыцарями. Таким образом, если бы A был лжецом, то он не был бы лжецом, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что A не лжец, он рыцарь. Но тогда высказанное A утверждение должно быть истинным. Поэтому по крайней мере один из двух персонажей A и B в действительности лжец. Так как A — рыцарь, то лжецом должен быть B. Итак, A — рыцарь, а B — лжец.

29. Эта задача может служить неплохим введением в логику дизъюнкции. Пусть заданы два высказывания p, q. Высказывание «или p, или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из высказываний p, q (или оба). Высказывание «или p, или q» ложно, если ложны оба высказывания p, q. Например, если бы я в хорошую погоду сказал: «Либо дождик, либо снег», то мое высказывание было бы ложным, потому что ложны обе его части: и та, в которой говорится о дожде, и та, в которой говорится о снеге.

Именно так принято понимать связку «или» в логике. Именно так мы будем понимать ее на протяжении всей нашей книги. В повседневной жизни союз «или» иногда интерпретируют так же, как в логике (то есть допускают возможность выполнения обеих альтернатив), а иногда понимают в так называемом «исключительном» смысле (то есть считают, что выполняется одна и только одна из альтернатив, но не обе). В качестве примера «исключительного или» приведу хотя бы такое высказывание: «Я женюсь на Бетти или на Джейн». Предполагается, что альтернативы взаимно исключающие, то есть что я не женюсь на обеих девушках одновременно. С другой стороны, если в учебной программе колледжа сказано, что студенты первого курса должны либо прослушать годовой цикл лекций по математике, либо пройти годичный курс иностранного языка, то вряд ли руководство колледжа станет возражать, если вы захотите прослушать и то и другое! Именно в этом — «включительном» — смысле мы и будем использовать логическую связку «или».

Другое важное свойство дизъюнкции «или…, или…» состоит в следующем. Рассмотрим высказывание «p или q» (так мы условимся для краткости записывать сложное высказывание «или p, или q»). Предположим, что оно истинно. Тогда если p ложно, то q должно быть истинно (так как по крайней мере одно из высказываний должно быть истинным, то если p ложно, то q должно быть истинным). Предположим, что высказывание «Либо дождик, либо снег» истинно, но неверно, что дождь идет. Тогда должно быть истинно, что идет снег.

Воспользуемся свойствами дизъюнкции и применим их к решению задачи. A высказывает сложное утверждение типа дизъюнкции: «Или я лжец, или B — рыцарь». Предположим, что A — лжец. Тогда высказанное им утверждение ложно. «Перевести» это можно так: неверно, что A — лжец и что B — рыцарь. Таким образом, если бы A был лжецом, то из этого следовало бы, что он не лжец, то есть мы пришли бы к противоречию: Отсюда мы заключаем, что A должен быть рыцарем.

Итак, мы установили, что A — рыцарь. Следовательно, его высказывание о том, что выполняется по крайней мере одна из двух альтернатив (1) A — лжец, 2) B — рыцарь), истинно. А поскольку первая альтернатива (А — лжец) ложна, то должна выполняться вторая альтернатива, то есть B — рыцарь. Таким образом, установлено, что A и B — оба рыцари.

30. Единственное здравое заключение, к которому можно прийти, состоит в том, что автор этой задачи не рыцарь. Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать утверждения, приведенного в задаче. Действительно, предположим, что A — рыцарь. Тогда высказывание «А — лжец или два плюс два — пять» ложно, так как оба образующих его высказывания («А — лжец» и «два плюс два — пять») ложны. Но это означало бы, что рыцарь A высказал ложное утверждение, что невозможно. С другой стороны, если бы A был лжецом, то сложное высказывание «А — лжец или два плюс два — пять» было бы истинным, так как первое из входящих в него простых высказываний «А — лжец» истинно. Но тогда лжец A высказал бы истинное утверждение, что также невозможно.

Итак, условия задачи (так же как и условия задачи о всесокрушающем пушечном ядре и несокрушимом столбе) противоречивы. Следовательно, я, автор задачи, либо допустил ошибку, либо солгал. Смею уверить вас, что ошибки я не допускал. Отсюда вы с полным основанием приходите к выводу, что я не рыцарь.

31. Прежде всего заметим, что A должен быть лжецом. Действительно, если бы A был рыцарем, то из его высказывания следовало бы, что все трое лжецы. Но тогда A (по предположению, рыцарь) оказался бы лжецом, что невозможно. Следовательно, A — лжец. Но тогда его высказывание ложно и по крайней мере один из трех островитян A, B и C — рыцарь.

Предположим теперь, что B — лжец. Тогда A и B — оба лжецы, поэтому C должен быть рыцарем (так как по крайней мере один из трех островитян рыцарь). Это означает, что ровно один из трех островитян рыцарь, и, следовательно, высказывание B истинно, но это невозможно, так как любое высказывание лжеца не истинно. Отсюда мы заключаем, что B должен быть рыцарем.

Итак, мы установили, что A — лжец, а B — рыцарь. Так как B — рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому ровно один из трех островитян — рыцарь. Им должен быть B, следовательно, C должен быть лжецом. Итак, A — лжец, B — рыцарь и C — лжец.

32. Определить, кто такой B, мы не в силах, но можно доказать, что C — рыцарь.

По тем же причинам, что и в предыдущей задаче, A должен быть лжецом. Следовательно, по крайней мере один из островитян B и C должен быть рыцарем. Выясним, кто такой B, Он может быть либо рыцарем, либо лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание о том, что только один из островитян A и B — лжец, истинно. Единственным лжецом должен быть A, поэтому C может быть только рыцарем. Таким образом, если B — рыцарь, то и C — рыцарь. С другой стороны, если B — лжец, то C должен быть рыцарем, так как все трое островитян, как мы уже знаем, не могут быть рыцарями. Следовательно, C должен быть рыцарем в любом случае.

33. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем. Действительно, если бы A был рыцарем, то его высказывание было бы истинным, а в нем утверждается, что A — лжец. Следовательно, A — лжец, и его высказывание ложно. Если бы B был рыцарем, то высказывание A было бы истинным. Следовательно, B также лжец. Итак, A и B — лжецы.

34. Предположим, что A — рыцарь. Тогда его высказывание о том, что B — лжец, должно быть истинным, в силу чего B должен быть лжецом. Но тогда высказывание B о том, что A и C однотипны, ложно, поэтому A и C не однотипны. Следовательно, C — лжец (так как A — рыцарь). Таким образом, если A — рыцарь, то C — лжец.

С другой стороны, предположим, что A — лжец. Тогда его высказывание о том, что B — лжец, ложно, в силу чего B — рыцарь. Следовательно, высказывание B о том, что A и C однотипны, истинно. Отсюда мы заключаем, что C — лжец (так как A — лжец).

Итак, мы доказали, что независимо от того, кто такой A — рыцарь или лжец, C должен быть лжецом. Следовательно, C — лжец.

35. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть отдельно два случая.

Первый случай: A — рыцарь. Тогда B и C однотипны. Если C — рыцарь, то и B — рыцарь и, следовательно, однотипен с A. Поэтому C, будучи человеком правдивым, должен был ответить «Да». Если C — лжец, то и B — лжец (поскольку B однотипен с C) и, следовательно, принадлежит к иному типу островитян, чем A. Поэтому C, будучи лжецом, должен солгать и ответить «да».

Второй случай: A — лжец. Тогда B и C не однотипны. Если C — рыцарь, то B — лжец и, следовательно, однотипен с A. Поэтому C, будучи рыцарем, должен ответить «да». Если C — лжец, то B, будучи человеком иного типа, чем C, — рыцарь и принадлежит к иному типу островитян, чем A. Но тогда C, будучи лжецом и утверждая, что A и C не однотипны, должен лгать, поэтому на заданный вопрос он ответит «да». Таким образом, в обоих случаях C ответит «да».

36. Решить эту задачу вам поможет информация, приведенная в условиях задачи после сообщения о том, что островитянин дал ответ на мой вопрос: мое замечание о том, что после его ответа я узнал истинный ответ на свой вопрос.

Предположим, что островитянин, с которым я разговаривал (обозначим его A), ответил на мой вопрос «да». Мог бы я после такого ответа знать, что по крайней мере один из встретившихся мне островитян рыцарь? Разумеется, нет. Действительно, A мог оказаться рыцарем и на мой вопрос правдиво ответить «да» (его ответ соответствовал бы истине, поскольку по крайней мере один островитянин, а именно A — рыцарь). Оба островитянина могли оказаться лжецами. В этом случае A, солгав, ответил бы на мой вопрос «да» (что было бы ложью, так как ни один из островитян не был рыцарем). Таким образом, получив от A ответ «да», я не смог бы узнать истинный ответ на свой вопрос. Но, как говорится в условиях задачи, после ответа A мне стал известен правильный ответ на заданный мною вопрос. Следовательно, A мог ответить только «нет».

Разберемся теперь, кто такие островитянин A и его приятель, которого мы обозначим B. Если бы A был рыцарем, то он не мог бы дать правдивый ответ «нет», поэтому A — лжец. Так как его отрицательный ответ ложен, то по крайней мере один из двух островитян должен быть рыцарем. Следовательно, A — лжец, а B — рыцарь.

37. Должны. Если оба встретившихся вам островитянина рыцари, то они оба ответят «да». Если они оба лжецы, то они также оба ответят «да». Если же один из них рыцарь, а другой лжец, то рыцарь ответит «нет» и лжец также ответит «нет».

38. Должен признаться, что в этой задаче я позволил себе подшутить над читателем. Ключом к решению служит та фраза, в которой говорится, что вам, сколько вы ни бились, так и не удалось «извлечь его из тины». Слова, заключенные в кавычки, представляют собой каламбур — «извлечь его истины». Из них следует, что встретившийся вам островитянин изрекал только ложь, то есть был лжецом. Отсюда мы заключаем, что его звали Эдвин.

39. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, A — либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание островитянина B. Значит, B — либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A — нормальный человек), поэтому B — рыцарь, а C — лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец — не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A — лжец. Это означает, что высказывание островитянина B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец — островитянин A). Итак, A — лжец, а B — нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C — рыцарь.

40. Эта задача обладает интересной особенностью. Условия ее не позволяют установить, кто из двух островитян говорит правду, не будучи рыцарем: A или B. Мы можем доказать более слабое утверждение: по крайней мере один из двух островитян A и B говорит правду, не будучи рыцарем.

Островитянин A либо говорит правду, либо не говорит правду. Докажем два утверждения: 1) если A говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; 2) если A лжет, то B говорит правду, не будучи рыцарем.

1) Предположим, что A говорит правду. Тогда B — рыцарь и, следовательно, говорит правду. Значит, A — не рыцарь. Таким образом, если A говорит правду, то A — лицо, говорящее правду, не будучи рыцарем.

2) Предположим, что A не говорит правду. Тогда B — не рыцарь. Но B должен говорить правду, так как A не может быть рыцарем (ведь A не говорит правду). Следовательно, в этом случае B говорит правду, не будучи рыцарем.

41. Докажем, что если B говорит правду, не будучи рыцарем, и если B не говорит правду, то A лжет, не будучи лжецом.

1) Предположим, что B говорит правду. Тогда A — лжец и, следовательно, заведомо не говорит правду. Отсюда мы заключаем, что B — не рыцарь. Таким образом, в этом случае B говорит правду, не будучи рыцарем.

2) Предположим, что B не говорит правду. Тогда A не лжет. Но A заведомо лжет, когда говорит о B, так как B не может быть рыцарем, если он не говорит правду. Таким образом, в этом случае A лжет, не будучи лжецом.

42. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, так как если бы A был рыцарем, то его высказывание было бы ложным (рыцарь как особа высшего ранга не может быть по рангу ниже B). Предположим, что A — лжец. Тогда его высказывание ложно. Следовательно, A по рангу не может быть ниже, чем B. Значит, B также должен быть лжецом (так как если бы B не был лжецом, то A был бы особой более высокого ранга, чем B). Но это невозможно, так как высказывание B противоположно высказыванию A, а два противоположных высказывания не могут быть истинными одновременно. Следовательно, предположение, что A — лжец, приводит к противоречию. Значит, A не лжец, но тогда A должен быть нормальным человеком.

А что можно сказать о B? Если бы он был рыцарем, то A (будучи нормальным человеком) был бы особой более низкого ранга, чем B. Тогда высказывание A было бы истинным, из чего следовало бы, что высказывание B ложно. Таким образом, рыцарь высказал бы ложное утверждение, что невозможно. Значит, B не рыцарь. Предположим, что B был бы лжецом. Тогда высказывание A было бы ложным, из чего следовало бы, что высказывание B истинно. Таким образом, лжец высказал бы истинное утверждение, что невозможно. Следовательно, B не может быть не только рыцарем, но и лжецом. Значит, B — нормальный человек.

Итак, A и B — нормальные люди. Высказывание A ложно, высказывание B истинно. Тем самым задача полностью решена.

43. Первый шаг. Прежде всего докажем, что в силу высказывания A островитянин C не может быть нормальным человеком. Действительно, если A — рыцарь, то B — особа более высокого ранга, чем C. Следовательно, B должен быть нормальным человеком, а C — лжецом. Таким образом, в этом случае C — не нормальный человек. Предположим, что A — лжец. Тогда B по рангу не выше C. Следовательно, B — особа более низкого ранга, поэтому B должен быть нормальным человеком, а C — рыцарем. Таким образом, и в этом случае C — не нормальный человек. Предположим, наконец, что A — нормальный человек. Тогда C — заведомо не нормальный человек (так как из трех островитян A, B и C только один — нормальный человек). Итак, C — не нормальный человек.

Второй шаг. При аналогичных рассуждениях из высказывания B можно вывести, что A — не нормальный человек. Таким образом, ни A, ни C не нормальны. Следовательно, B — нормальный человек.

Третий шаг. Поскольку C — не нормальный человек, то он может быть рыцарем или лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда A — лжец (так как B — нормальный человек). Следовательно, B — особа более высокого ранга, чем A, и C, будучи рыцарем, даст правдивый ответ: «В по рангу выше A». С другой стороны предположим, что C — лжец. Тогда A должен быть рыцарем, поэтому B по рангу не выше A. В этом случае C, будучи лжецом, солгал бы и ответил так: «В по рангу выше A». Таким образом, независимо от того, кто такой островитянин C — рыцарь или лжец, он ответит, что B по рангу выше A.

44. Мистер A не может быть лжецом, так как тогда его жена была бы рыцарем и, следовательно, не могла бы быть нормальным человеком, а это означало бы, что высказывание мистера A было бы истинно. По аналогичной причине миссис A не может быть и лжецом. Следовательно, ни мистер A, ни миссис A не могут быть и рыцарями (в противном случае второй супруг был бы лжецом). Значит, мистер A и миссис A — нормальные люди (и оба лгут).

45. Совпадает. Почему?

46. Оказывается, что все четверо — нормальные люди, а все три высказывания ложны.

Прежде всего заметим, что миссис B должна быть нормальным человеком, так как если бы она была рыцарем, то ее муж был бы лжецом и, назвав его рыцарем, она солгала бы. Если бы миссис B была лжецом, то ее муж был бы рыцарем, но Тогда ее высказывание о своем муже было бы истинным. Следовательно, миссис B — нормальный человек, тогда мистер B также нормальный человек. Это означает, что мистер A и миссис A оба лгали. Отсюда мы заключаем, что ни один из супругов A не рыцарь и что они не могут быть и лжецами. Следовательно, супруги A — нормальные люди.

IV. Алиса в Лесу Забывчивости

А. Лев и Единорог

Когда Алиса вошла в Лес Забывчивости, она забыла не все, а лишь кое-что. Она часто забывала, как ее зовут, но особенно ей легко удавалось забывать дни недели. Лев и Единорог частенько наведывались в Лес Забывчивости. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели.

47

Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Те высказали следующие утверждения.

Лев. Вчера был один из дней, когда я лгу.

Единорог. Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.

Из этих двух высказываний Алиса (девочка очень умная) сумела вывести, какой день недели был вчера. Что это был за день?

48

В другой раз Алиса повстречала одного Льва. Он высказал два утверждения:

1) Я лгал вчера.

2) После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд.

В какой день недели Алиса встретила Льва?

49

В какие дни недели Лев может высказать следующие утверждения:

1) Я лгал вчера.

2) Я буду лгать завтра.

50

В какие дни недели Лев может высказать следующее единое утверждение: «Я лгал вчера, и я буду лгать завтра».

Предостережение! Ответ этой задачи не совпадает с ответом предыдущей задачи.

Б. Траляля и Труляля

Однажды в течение целого месяца Лев и Единорог не появлялись в Лесу Забывчивости. Они где-то пропадали, ведя нескончаемую драку за корону.

Но Траляля и Труляля частенько наведывались в лес. Один из них, как Лев, лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Другой, как Единорог, лгал по четвергам, пятницам и субботам, но во все остальные дни недели говорил правду. Алиса не знала, кто из них ведет себя как Лев и кто — как Единорог. К тому же братья были так похожи друг на друга, что Алиса даже не могла различить их (воротнички, на которых были вышиты их имена, братья надевали очень редко). Бедняжке Алисе приходилось очень туго! Взять хотя бы следующие случаи.

51

Однажды Алиса встретила обоих братьев вместе, и они высказали следующие утверждения:

Первый. Я Траляля.

Второй. Я Труляля.

Кто из них в действительности был Траляля и кто — Труляля?

52

В другой день той же недели братцы высказали следующие утверждения:

Первый. Я Траляля.

Второй. Если это так, то я Труляля!

Кто из них Траляля и кто Труляля?

53

Как-то Алиса встретила обоих братцев и спросила у одного из них: «Вы лжете по воскресеньям?» Тот ответил: «Да!» Тогда она задала тот же вопрос другому братцу. Что тот ответил?

54

В другой раз братья заявили следующее:

Первый. 1) Я лгу по субботам. 2) Я лгу по воскресеньям.

Второй. Я буду лгать завтра.

В какой из дней недели это было?

55

Однажды Алиса встретила одного из братцев. Он заявил следующее: «Я лгу сегодня, и меня зовут Труляля». Кто из братцев встретился Алисе?

56

Предположим, что встреченный Алисой братец заявил: «Я лгу сегодня или я Труляля». Можно было бы в этом случае определить, кто из братьев это был?

57

Однажды Алиса встретила обоих братцев вместе. Они высказали следующие утверждения.

Первый. Если я Траляля, то он Труляля.

Второй. Если он Труляля, то я Траляля.

Можно определить, кто из братцев Траляля и кто Труляля? Можно ли определить, что это был за день недели?

58. Загадка разгадана!

В тот знаменательный день Алиса разгадала сразу три трудные загадки. Она набрела на братцев, которые, ухмыляясь, сидели под деревом. Алиса надеялась, что при этой встрече ей удастся разгадать три загадки: 1) установить день недели; 2) выяснить, кто из двух братцев Траляля; 3) определить, ведет ли себя Траляля, как Лев или как Единорог, когда лжет (эту загадку ей давно хотелось разгадать).

Братцы при виде Алисы высказали следующие утверждения.

Первый. Сегодня не воскресенье.

Второй. Сегодня понедельник.

Первый. Завтра — один из дней, когда Труляля лжет.

Второй. Лев лгал вчера.

От радости Алиса захлопала в ладоши. Задача была полностью решена! Какое решение у этой задачи?

В. Чья погремушка?

Раз Траляля и Труляля

Решили вздуть друг дружку, —

Ведь Траляля сказал, что брат

Испортил погремушку, —

Хорошую и новую испортил погремушку.

Но ворон, черный, будто ночь,

На них слетел во мраке.

Герои убежали прочь,

Совсем забыв о драке, —

Тра-ля-ля-ля, тру-ля-ля-ля, совсем забыв о драке.

— Ты только взгляни! — торжествующе воскликнул Белый Король, обращаясь к Алисе. — Я нашел погремушку и починил ее. Она совсем как новая!

— О да, — восторженно согласилась Алиса, — погремушка выглядит так, будто ее только что сделали. Даже малый ребенок и тот не заметил бы разницы.

— Что значит «даже малый ребенок»? — возмутился Белый Король. — Твое замечание, должен прямо тебе сказать, не очень-то логично. Разумеется, малый ребенок не мог бы отличить починенную мной погремушку от новенькой! Вряд ли можно требовать от ребенка, чтобы он так тонко разбирался в погремушках! Тебе следовало бы сказать, — продолжал Король несколько успокоившись, — что даже взрослый, будь он хоть самым большим знатоком погремушек в мире, не смог бы отличить починенную мной погремушку от новой! Во всяком случае, мы будем считать, что ты именно так и сказала. Но починить погремушку даже так искусно, как это сделал я, — лишь полдела. Важно вернуть ее законному владельцу. Ты не могла бы взять это на себя?

— A кто ее законный владелец? — спросила Алиса.

— Об этом ты могла бы и не спрашивать! — нетерпеливо прервал ее Король.

— Почему? — удивилась Алиса.

— Потому что в стихах, которые ты, конечно, знаешь, ясно сказано: Траляля сказал, что брат испортил его новую хорошую погремушку. Значит, Траляля — законный владелец погремушки!

— Не обязательно! — возразила Алиса, которой хотелось самую малость поспорить. — Я хорошо знаю эти стихи и считаю, что вы не правы.

— A в чем, собственно говоря, проблема? — спросил Король, необычайно озадаченный словами Алисы.

— Все очень просто, — пояснила Алиса. — Я смею заверить вас, что все, о чем говорится в стихотворении, чистейшая правда. Траляля действительно сказал, что Труляля испортил его погремушку. Поэтому-то мы и не можем быть уверены в том, что все было именно так, как утверждает Траляля. Ведь Траляля мог сказать это в один из тех дней, когда он лжет. На самом деле все могло происходить как раз наоборот. Вполне возможно, что Траляля испортил новую хорошую погремушку, принадлежавшую Труляля.

— Об этом я как-то никогда не задумывался, — печально признался Король, — и теперь все мои добрые намерения пошли прахом.

Король выглядел таким несчастным, что казалось, вот-вот расплачется.

— Не беда, — сказала Алиса как можно более радостным тоном, — дайте мне погремущку, и я постараюсь найти ее законного владельца. У меня уже есть кое-какой опыт общения с лжецами и рыцарями, и я немного привыкла иметь с ними дело.

— Надеюсь, что это так! — печально сказал Король.

А теперь, когда вы знаете всю предысторию, я расскажу вам, какие приключения пришлось пережить Алисе, пока она разыскивала владельца погремушки.

59

Взяв с собой погремушку, Алиса отправилась в Лес Забывчивости в надежде, что ей удастся разыскать по крайней мере одного из братцев. К своей радости, она внезапно увидела под деревом обоих братцев. Они сидели и ухмылялись. Алиса направилась к тому, кто был поближе, и сурово потребовала:

— Скажите мне правду! Чья это погремушка?

Тот ответил:

— Это погремушка Труляля.

Алиса немного подумала и спросила второго братца:

— Вы кто?

— Труляля, — ответил тот.

Алиса не помнила точно, в какой день недели происходил этот разговор, но была уверена, что не в воскресенье. Кому Алиса должна была отдать погремушку?

60

Алиса возвратила погремушку ее законному владельцу, но через несколько дней другой братец снова сломал погремушку. На этот раз ворон не прилетел, чтобы испугать братцев, и они принялись лупить и тузить друг друга что было мочи. Алиса схватила сломанную погремушку и бросилась бежать из лесу.

Через какое-то время Алиса встретила Белого Короля и подробно рассказала обо всем, что случилось.

— Все это очень-очень интересно, — уверил ее Король. — A самое замечательное во всей истории то, что, хотя ты знаешь, кому отдала погремушку, нам до сих пор не известно, кто ее владелец, Траляля или Труляля.

— Вы совершенно правы, ваше величество, — согласилась Алиса. — Но что нам теперь делать с испорченной погремушкой?

— Пустяки, — сказал Король. — Мне ничего не стоит починить ее снова.

И в подтверждение своих слов Белый Король так искусно исправил погремушку, что та стала совсем как новая, и через несколько дней отдал Алисе. С трепетом отправилась Алиса в лес, опасаясь, что братцы все еще дерутся. Но Траляля и Труляля к этому времени заключили перемирие, и Алиса нашла одного из них, когда тот отдыхал под деревом. Алиса подошла к нему и спросила:

— Кому из вас принадлежит погремушка?

Тот ответил загадочно:

— Истинный владелец погремушки сегодня лжет.

Велики ли шансы на то, что он и был истинным владельцем погремушки?

61

Через несколько дней, бродя по лесу, Алиса снова увидела одного из братцев, сидевшего под деревом. Она задала ему тот же вопрос и услышала в ответ: «Истинный владелец погремушки сегодня говорит правду». Алиса призадумалась. Ей хотелось оценить, велики ли шансы на то, что произнесший эту фразу братец был истинным владельцем погремушки.

— Я знаю, о чем ты думаешь, — сказал оказавшийся поблизости Шалтай-Болтай. — Шансы велики! Ровно тринадцать из четырнадцати.

Как Шалтай-Болтай получил эти числа?

62

На этот раз Алиса встретила обоих братцев вместе. У первого из них она спросила: «Вы владелец погремушки?» — И получила ответ: «Да». Тогда Алиса спросила второго братца: «Это ваша погремушка?» Второй ответил, и Алиса отдала одному из них погремушку. Которому из братцев Алиса вручила погремушку: первому или второму?

Г. Из уст Бармаглота

Из всех приключений, пережитых Алисой с двумя братцами Траляля и Труляля, то, о котором я хочу рассказать вам сейчас, было самым необыкновенным и запомнилось Алисе до мельчайших подробностей.

Началось все так. Однажды Шалтай-Болтай встретил Алису и, отозвав ее в сторону, сказал:

— Дитя, я хочу поведать тебе страшную тайну. Хотя большинство людей об этом даже не догадываются, у Траляля и Труляля есть третий брат, и зовут его Трулюлю. Он живет далеко-предалеко отсюда, но иногда приезжает в наши края. На Траляля и Труляля он похож так же, как Траляля и Труляля похожи друг на друга.

Сообщение Шалтая-Болтая необычайно встревожило Алису. Еще бы! Уже одно то, что на свете существовал третий братец, делало неверными все ее предыдущие умозаключения. Даже день недели нельзя было установить с абсолютной надежностью. А главное — как теперь вернуть погремушку законному владельцу?

Алиса глубоко задумалась, а потом задала Шалтаю-Болтаю разумный вопрос:

— По каким дням недели лжет Трулюлю? — Трулюлю лжет всегда, — ответил Шалтай-Болтай.

Алиса молча удалилась. На сердце у нее было неспокойно.

«Может быть, никакого третьего братца вовсе и нет? — попыталась утешить она себя. — Может быть, все это выдумки Шалтая-Болтая? Ведь всякий согласится, что звучит его история весьма странно». Но как ни старалась Алиса, ей никак не удавалось отделаться от тревожной мысли; «А что, если все это правда?»

О том, что произошло потом, рассказывают по-разному (всего существуют четыре версии событий, и я не утаю от вас ни одной из них). Попрошу вас принять два допущения:

1) если на свете действительно существует некто, кроме Траляля и Труляля, неотличимый от них по внешнему виду, то его зовут Трулюлю;

2) если такой индивид существует, то он всегда лжет.

Должен заметить, что второе допущение не обязательно для решения первой загадки, но необходимо для решения двух следующих загадок.

63. Первая версия

Алиса встретила в лесу одного из братцев. По крайней мере внешне он выглядел так, словно был Траляля или Труляля. Алиса рассказала ему историю, которую поведал ей Шалтай-Болтай, и спросила: «А кто вы такой?» На что последовал загадочный ответ: «Я либо Труляля, либо Траляля, и сегодня один из дней, когда я лгу».

Спрашивается, существует ли Трулюлю в действительности или же его выдумал Шалтай-Болтай?

64. Вторая версия

Согласно этой версии, Алиса встретила двух братцев (по крайней мере встреченные ею два человечка по внешнему виду были неотличимы от Траляля и Труляля). Она спросила у первого: «Кто вы?» — и получила следующие ответы:

Первый. Я Трулюлю.

Второй. Это он!

Какие выводы вы можете сделать на основании этой версии?

65. Третья версия

Согласно этой версии, Алиса встретила одного из братцев. Он заявил: «Сегодня один из дней недели, когда я лгу». Какие выводы вы можете сделать на основании этой версии?

66. Четвертая версия

Согласно этой версии, Алиса встретила в будний день (не в субботу и не в воскресенье) двух братцев (по крайней мере по внешнему виду двух человечков нельзя было отличить от Траляля и Труляля) и спросила: «Существует ли Трулюлю в действительности?» Ей ответили следующее:

Первый. Трулюлю существует.

Второй. Я существую.

Какие выводы вы можете сделать на основании этой версии?

Эпилог

Как же обстоит дело в действительности? Существует Трулюлю или не существует? Я изложил вам четыре противоречивые версии событий, разыгравшихся в Лесу Забывчивости. Откуда они взялись? Должен признаться, что я их не выдумал. Все четыре истории я услышал из уст Бармаглота. Разговор между Алисой и Шалтаем-Болтаем действительно происходил — об этом мне рассказала Алиса, а она всегда говорит только правду. Но четыре версии событий, разыгравшихся после разговора, мне сообщил Бармаглот. Он лжет по тем же дням недели, что и Лев (понедельник вторник, среда), а свои истории рассказывал мне четыре дня подряд. (Отчетливо помню, что ни один из этих четырех дней не приходился на воскресенье и на субботу. Дело в том, что я изрядный лежебока и по субботам и воскресеньям люблю поспать с утра до вечера.) Все истории Бармаглот рассказал мне в том же порядке, в каком я поведал их читателям. Располагая столь обширной информацией, читатель без труда установит, существует ли в действительности Трулюлю или Шалтай-Болтай солгал Алисе. Знает ли Алиса, существует или не существует Трулюлю в действительности?

Решения

47. Лев мог сказать, что он лгал накануне, только в понедельник и в четверг. Единорог мог сказать, что он лгал накануне, только в четверг и в воскресенье. Следовательно, они оба могли утверждать, что лгали накануне, только в четверг.

48. Из первого высказывания Льва следует, что Алиса встретила его в понедельник или в четверг. Из второго высказывания следует, что день встречи не четверг. Следовательно, встреча произошла в понедельник.

49. Такие утверждения Лев не может высказать ни в один из дней недели. Первое утверждение он мог бы высказать только в понедельник и в четверг, второе — только в среду и в воскресенье. Следовательно, оба утверждения он не мог бы высказать ни в один из дней недели.

50. Ситуация в этой задаче весьма отлична от той, с которой мы встретились в предыдущей задаче. На этом примере отчетливо видно различие между двумя отдельными высказываниями и одним сложным высказыванием — их конъюнкцией. Действительно, если заданы любые два высказывания X, Y, то из истинности одного сложного высказывания «X и Y» следует, что истинны оба высказывания X, Y. Если же конъюнкция «X и Y» ложна, то ложно по крайней мере одно из высказываний X, Y.

После этих предварительных замечаний перейдем к решению задачи. Единственный день недели, когда высказывания Льва «Я лгал вчера» и «Я буду лгать завтра» могли бы быть истинными, — вторник (поскольку он и только он попадает между двумя днями, когда Лев лжет). Следовательно, день, когда Лев высказал свое утверждение, не мог быть вторником, так как по вторникам его утверждение истинно, а Лев не высказывает истинных утверждений по вторникам. А раз это было не во вторник, то высказывание Льва ложно, то есть в тот день Лев лжет. Таким образом, приведенное в задаче сложное высказывание Лев мог произнести либо в понедельник, либо в среду.

51. Если первое высказывание истинно, то первого братца зовут Траляля. Тогда второго братца зовут Труляля, и второе высказывание также истинно. Если первое высказывание ложно, то первого братца зовут Труляля, второго — Траляля, и, следовательно, второе высказывание также ложно. Таким образом, либо оба высказывания истинны, либо оба высказывания ложны. С другой стороны, оба высказывания не могут быть ложными, так как Траляля и Труляля никогда не лгут в один и тот же день. Следовательно, оба высказывания должны быть истинными. Значит, первого братца зовут Траляля, а второго — Труляля. Алиса встретила их в воскресенье.

52. Несмотря на большое внешнее сходство, эта задача весьма отличается от предыдущей. Второе высказывание заведомо истинно. Так как встреча происходила на другой день после встречи, описанной в предыдущей задаче, то она пришлась на будний день. Следовательно, оба высказывания не могут быть истинными, из чего мы заключаем, что второе высказывание должно быть ложным. Таким образом, первого братца зовут Труляля, а второго — Траляля.

53. Первый ответ заведомо был ложным. Следовательно, встреча Алисы с двумя братцами происходила в будний день. Но тогда другой братец должен был дать правдивый ответ и поэтому сказал: «Нет».

54. Высказывание (2) первого братца заведомо ложно, поэтому его высказывание (1) также ложно (поскольку было сделано в один день). Следовательно, первый братец не лжет по субботам. Отсюда мы заключаем, что второй братец по субботам лжет. В день встречи второй братец говорит правду (так как первый братец лжет), поэтому встреча могла произойти в понедельник, вторник или среду. Единственный из этих дней, когда он может, не погрешив против истины, заявить, что будет лгать завтра, — это среда. Следовательно, дело было в среду.

55. Высказывание братца заведомо ложно (если бы оно было истинно, то братец лгал бы в день встречи, и мы пришли бы к противоречию). Следовательно, по крайней мере одно из двух высказываний «Я лгу сегодня», «Меня зовут Труляля» должно быть ложным. Первое высказывание («Я лгу сегодня») истинно, поэтому ложным должно быть второе высказывание. Итак, Алисе встретился Траляля.

56. Можно. Если бы встретившийся Алисе братец в тот день лгал, то первое высказывание в дизъюнкции было бы истинным, вследствие чего и все сложное высказывание также было бы истинным, и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, в день встречи с Алисой братец говорил правду, и его высказывание истинно: либо он лжет, либо его зовут Труляля. Так как в день встречи братец не лгал, то его звали Труляля.

57. Оба высказывания истинны, поэтому встреча произошла в воскресенье. Определить, кто из братцев Траляля и кто Труляля, невозможно.

58. Оба братца не могут лгать в воскресенье и утверждать: «Сегодня не воскресенье», поэтому знаменательный день не может приходиться на воскресенье. Следовательно, первый братец говорит правду, а второй (поскольку сегодня не воскресенье) лжет. Так как второй утверждает, что сегодня понедельник, то знаменательный день не может приходиться и на понедельник.

Второй братец, утверждая, что Лев лгал вчера, солгал. Следовательно, вчера Лев говорил правду. Это означает, что вчера могли быть такие дни недели, как четверг, пятница, суббота или воскресенье, а сегодня — пятница, суббота, воскресенье или понедельник. Воскресенье и понедельник мы уже исключили, поэтому остается пятница или суббота.

Заметим, что завтра наступит один из дней, когда Труляля лжет (так сказал первый братец, говоривший правду). Следовательно, сегодня не может быть суббота. Отсюда мы заключаем, что сегодня пятница.

Отсюда в свою очередь следует, что Труляля лжет по субботам, то есть ведет себя как Единорог. Кроме того, первый брат сегодня, то есть в пятницу, говорит правду, а это означает, что его зовут Траляля. Тем самым задача полностью решена.

59. Предположим, что первый братец сказал правду. Тогда погремушка принадлежит Труляля. Второй братец должен в этом случае лгать (так как встреча Алисы с братцами произошла не в воскресенье), поэтому его настоящее имя не Труляля. Значит, его зовут Траляля, ему Алиса должна вручить погремушку.

Предположим теперь, что первый братец лгал. Тогда погремушка принадлежит Траляля. Значит, второй братец сказал правду, поэтому его зовут Труляля. Таким образом, и в этом случае погремушка принадлежит первому братцу. Следовательно, в любом случае Алиса должна отдать погремушку первому братцу.

60. Шансы равны нулю. Предположим, что высказывание встретившегося Алисе братца истинно. Тогда владелец погремушки в день встречи должен был лгать и, следовательно, не мог быть тем братцем, которого встретила Алиса. С другой стороны, предположим, что высказывание встретившегося Алисе братца ложно. Тогда владелец погремушки в день встречи должен лгать. Следовательно, и в этом случае он не может быть владельцем погремушки.

61. Шалтай-Болтай правильно оценил шансы. Предположим, что братец лгал. Это означало бы, что в день встречи владелец погремушки не говорит правду. В день встречи он лжет и, следовательно, должен быть тем самым братцем, с которым встретилась Алиса. Предположим теперь, что встретившийся Алисе братец говорит правду. Это означало бы, что владелец погремушки в день встречи действительно говорит правду. Если встреча происходит в будний день, то погремушка принадлежит встретившемуся Алисе братцу, а если в воскресенье, то (поскольку по воскресеньям оба братца говорят правду) владельцем погремушки может быть любой из них.

Итак, подведем итоги. Если встреча происходит в будний день, то погремушка принадлежит тому, с кем разговаривала Алиса. Если встреча происходит в воскресенье, то шансы за то, что он владелец погремушки, составляют 6,5 из 7, или 13 из 14.

62. Ключом к решению служит то место в условиях задачи, из которого видно, что, получив ответ второго братца, Алиса знала, кому ей нужно отдать погремушку. Если бы второй братец ответил «да», то один из братьев говорил бы правду, а другой лгал бы, и Алиса не могла бы определить, кто из них владелец погремушки. Но поскольку в условиях задачи сказано, что Алиса отдала погремушку, то второй братец не ответил «да». Следовательно, братцы либо оба лгали, либо оба говорили правду. Отсюда мы заключаем, что они оба говорили правду, и встреча с Алисой произошла в воскресенье. Поэтому Алиса отдала погремушку первому братцу.

63. Да, Трулюлю должен существовать. Именно с ним и разговаривала Алиса.

Действительно, встретившийся ей братец утверждал, что оба следующих высказывания истинны:

(1) Я либо Труляля, либо Траляля.

(2) Сегодня я лгу.

Если бы его утверждение было верно, то высказывания (1) и (2) были бы истинными. Но тогда было бы истинным высказывание (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, встретившийся Алисе братец солгал, поэтому оба высказывания (1) и (2) не могут быть истинными (по крайней мере одно из них ложно). Высказывание (2) истинно (так как утверждение о высказываниях (1) и (2) ложно). Следовательно, высказывание (1) должно быть не истинным. Таким образом, встретившийся Алисе человечек не Труляля и не Траляля. Значит, его должны звать Трулюлю.

64. Первый братец не мог быть в действительности Трулюлю, так как Трулюлю всегда лжет. Поэтому его зовут Труляля или Траляля, и он лжет. Тогда второй братец также лжет. Если бы второго братца звали Труляля или Траляля, то Труляля и Траляля лгали бы в один и тот же день, что невозможно. Следовательно, второй братец должен быть Трулюлю.

65. Эта версия просто-напросто ложна!

66. Кем бы ни был второй братец, его высказывание заведомо истинно. (Кажется, Декарт заметил: «Всякий, кто утверждает, что он существует, изрекает истинное высказывание». Мне действительно не приходилось встречать никого, кто бы не существовал.) Поскольку второе высказывание истинно и в день встречи было не воскресенье, то первое высказывание должно быть ложным. Отсюда мы заключаем, что если эта версия верна, то Трулюлю не существует.

Решение к эпилогу. Третья версия истории заведомо ложна. Следовательно, ни одна из версий не была рассказана в субботу или в воскресенье. Это означает, что четыре дня подряд версии можно рассказывать лишь при условии, если третья версия приходилась на среду. Тогда последняя версия была рассказана в четверг и поэтому должна быть верной. Таким образом, Трулюлю в действительности не существует! (Замечу, кстати, что лично я ничуть не сомневаюсь в существовании Трулюлю. Льюису Кэрроллу следовало бы знать об этом.)

Что же касается Алисы, то (поскольку четвертая версия — единственная, имевшая под собой реальную основу) ей нетрудно было понять всю беспочвенность опасений, вызванных «призраком Трулюлю».

Часть вторая. Шкатулки Порции и другие загадочные истории

V. Тайна шкатулок Порции

А. История первая

67

У Порции из комедии Шекспира «Венецианский купец» было три шкатулки: из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. Поклоннику предлагалось выбрать шкатулку, и если он был достаточно удачлив (или достаточно умен), чтобы выбрать шкатулку с портретом, то получал право назвать Порцию своей невестой. На крышке каждой шкатулки была сделана надпись, которая должна была помочь претенденту на руку и сердце Порции выбрать «правильную» шкатулку.

Предположим, что Порция вздумала выбирать мужа не по добродетелям, а по уму. На крышках шкатулок она приказала сделать следующие надписи:

На золотой	На серебряной	На свинцовой
Портрет в этой шкатулке	Портрет не в этой шкатулке	Портрет не в золотой шкатулке

Своему поклоннику Порция пояснила, что из трех высказываний, выгравированных на крышках шкатулок, по крайней мере одно истинно.

Какую шкатулку следует выбрать поклоннику Порции?

67а

Поклонник Порции правильно выбрал шкатулку, они поженились и жили счастливо (по крайней мере первое время). Но однажды Порции пришли в голову следующие мысли: «Хотя мой муж, выбрав шкатулку с моим портретом, проявил в известной мере ум, но в действительности задача была не такой уж трудной. Мне следовало бы придумать какую-нибудь задачку потруднее. Тогда у меня был бы действительно умный муж». Порция развелась со своим мужем и решила подыскать себе супруга поумнее. На этот раз она приказала выгравировать на крышках шкатулок следующие надписи:

На золотой	На серебряной	На свинцовой
Портрет не в серебряной шкатулке	Портрет не в этой шкатулке	Портрет вэтой шкатулке

Своему поклоннику Порция пояснила, что из трех высказываний, выгравированных на крышках шкатулок, по крайней мере одно истинно и по крайней мере одно ложно.

В какой шкатулке хранится портрет Порции?

Эпилог

Волею судеб удачливым претендентом на руку Порции оказался бывший муж. Будучи человеком умным, он сумел решить и вторую задачу. Они вновь поженились. Прямо из-под венца супруг привез Порцию в их дом, положил себе на колено, закатил ей изрядную порку, и Порция навсегда избавилась от глупостей.

Б. История вторая

Вступив вторично в брак, Порция и ее муж зажили счастливо. У них родилась дочь, Порция II, которую мы в дальнейшем будем для краткости называть просто Порцией. Когда юная Порция подросла, она стала необычайно умной и красивой девушкой, совсем как ее мама. Она также вздумала выбирать себе мужа «по методу шкатулок». Чтобы получить Порцию в жены, претендент на ее руку должен был пройти два испытания.

68. Первое испытание

Во время этого испытания на крышке каждой шкатулки было выгравировано по две надписи. Порция пояснила, что на каждой крышке ложно не более чем одно высказывание.

На золотой	На серебряной	На свинцовой
1) Портрет не в этой шкатулке	1) Портрет не в золотой шкатулке	1) Портрет не в этой шкатулке
2) Портрет написан художником из Венеции	2) Портрет в действительности написан художником из Флоренции	2) B действительности портрет в серебряной шкатулке

В какой шкатулке находится портрет?

68а. Второе испытание

Если претендент на руку Порции проходил первое испытание, то его вели в другую комнату, посреди которой на столе были расставлены три другие шкатулки. На крышке каждой из них было выгравировано по две надписи. Порция пояснила, что на крышке одной шкатулки оба высказывания истинны, на крышке другой шкатулки оба высказывания ложны, а на крышке третьей шкатулки одно высказывание истинно и одно ложно.

На золотой	На серебряной	На свинцовой
1) Портрет не в этой шкатулке	1) Портрет не в золотой шкатулке	1) Портрет не в этой шкатулке
2) Портрет в серебряной шкатулке	2) Портрет в свинцовой шкатулке	2) Портрет в золотой шкатулке

В какой шкатулке находится портрет?

В. Появление Беллини и Челлини

Претендент на руку Порции из предыдущей истории успешно прошел оба испытания и провозгласил Порцию II своей невестой. Вскоре они поженились и жили счастливо. У нихродилась очаровательная дочка, которую назвали Порцией III (впредь мы будем называть ее просто Порция). Когда Порция выросла, она стала умной и красивой девушкой — такой же, какими были в юности ее мама и бабушка. Следуя семейной традиции, она решила воспользоваться при выборе мужа «методом шкатулок». Претендент на ее руку должен был пройти три испытания! Программа испытаний была составлена весьма искусно. Порция решила воспользоваться идеей своей бабушки и приказала выгравировать на крышке каждой шкатулки не по две, а только по одной надписи. Но она не только возродила старую идею, но и обогатила ее новшеством.

Претенденту на руку сообщалось, что каждая шкатулка была изготовлена одним из двух знаменитых флорентийских мастеров Челлини или Беллини. Если шкатулка была работы Челлини, то на крышке ее всегда значилось ложное высказывание, а если шкатулка была работы Беллини, то ее крышку украшало истинное высказывание.

69. Первое испытание

В этом необычном испытании претендент на руку Порции, если бы он выбирал шкатулки наугад, имел бы шанс на успех не один к трем, а два к трем. Вместо своего портрета Порция положила в одну из трех шкатулок кинжал. Две остальные шкатулки остались пустыми. Если претендент на руку Порции мог указать шкатулку, в которой не было кинжала, то его допускали к следующему испытанию. Надписи на шкатулках гласили:

На золотой	На серебряной	На свинцовой
Кинжал в этой шкатулке	Эта шкатулка пустая	Беллини изготовил не более одной шкатулки

Какую шкатулку следует выбрать претенденту на руку Порции?

69а. Второе испытание

В этом испытании претендент на руку Порции, если бы он выбирал шкатулку наугад, имел бы шансы на успех один к трем. Порция взяла две шкатулки, золотую и серебряную, и в одну из них положила свой портрет (кинжал в этом испытании не понадобился). И эти шкатулки были изготовлены Челлини или Беллини. Надписи нэ крышках шкатулок гласили:

На золотой	На серебряной
Портрет не в этой шкатулке	Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини

Какую шкатулку следует выбрать претенденту на руку Порции (в шкатулке должен находиться портрет)?

69б. Третье испытание

Если претендент на руку Порции успешно проходил первое и второе испытания, его вводили в комнату, где на столе были расставлены три шкатулки: золотая, серебряная и свинцовая. Каждая шкатулка была изготовлена либо Челлини, либо Беллини. В этом испытании тот, кто вздумал бы выбирать шкатулку наугад, имел бы шансы на успех один к трем. В одну из шкатулок Порция положила свой портрет. Чтобы пройти испытание, претендент должен был: 1) указать шкатулку с портретом Порции; 2) назвать мастера, изготовившего каждую шкатулку. Надписи на шкатулках гласили:

На золотой	На серебряной	На свинцовой
Портрет в этой шкатулке	Портрет в этой шкатулке	По крайней мере две шкатулки изготовлены Челлини

Как решить эту задачу?

Г. Загадочная история: в чем ошибка?

70

Четвертая и последняя история — самая поразительная из всех и служит иллюстрацией одного весьма важного логического принципа.

Претендент на руку Порции III, о котором говорилось в предыдущей истории, успешно преодолел все три испытания и стал женихом, а потом и мужем прекрасной Порции. Много лет они прожили в счастливом браке, и у них было много детей, внуков, правнуков и т. д.

Через несколько поколений в Америке родилась прапрапра…внучка, которая была так похожа на портреты своих прапрапра…бабушек, что ее назвали Порцией N-й (для краткости условимся называть ее в дальнейшем просто Порцией). Когда Порция выросла, то, как и все Порции, она превратилась в прелестную девушку, ум которой не уступал ее красоте. Характер ее отличался необычайной живостью не без склонности к сумасбродству. Она также решила прибегнуть при выборе спутника жизни к «методу шкатулок» (что в современном Нью-Йорке было в известной мере экстравагантным поступком, но мы не будем останавливаться на этом).

Составленная ею программа испытаний выглядела довольно просто. Порция заказала две шкатулки, серебряную и золотую, и в одну из них положила свой портрет. На крышках шкатулок красовались надписи:

На золотой	На серебряной
Портрет не в этой шкатулке	Ровно одно из двух высказываний, выгравированных на крышках, истинно

Какую шкатулку вы бы выбрали?

Претендент на руку Порции рассуждал следующим образом. Если высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, истинно, то это означает, что истинно ровно одно из двух высказываний. Тогда высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки, должно быть ложным. С другой стороны, предположим, что высказывание, помещенное на крышке серебряной шкатулки, ложно. В этом случае утверждение о том, что ровно одно из двух высказываний истинно, было бы неверным. Это означает, что либо оба высказывания истинны, либо оба высказывания ложны. Оба высказывания не могут быть истинными, так как по предположению второе высказывание ложно. Следовательно, оба высказывания ложны. Таким образом, высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки, и в этом случае оказывается ложным. Итак, независимо от того, истинно или ложно высказывание на крышке серебряной шкатулки, высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки, должно быть ложным. Следовательно, портрет Порции должен находиться в золотой шкатулке.

Придя к такому выводу, торжествующий кандидат в женихи воскликнул: «Портрет должен быть в золотой шкатулке!» — и откинул крышку. К его неописуемому ужасу шкатулка была пуста! Едва оправившись от потрясения, испытуемый обвинил Порцию в том, что та его обманула. «Я никогда не унижу себя обманом», — рассмеялась Порция и с торжествующим (и презрительным) видом открыла серебряную шкатулку. Нужно ли говорить, что портрет мирно покоился на дне этой шкатулки.

Не могли бы вы помочь незадачливому кандидату в женихи и указать, где в его рассуждения вкралась ошибка?

— Ну что? — спросила Порция у поверженного претендента, явно наслаждаясь своим триумфом. — Не очень-то помогли вам ваши рассуждения! Но вы мне чем-то нравитесь, и я хочу предоставить вам еще один шанс. Я так и сделаю, хотя это против правил. Забудем о последнем испытании, словно его и не было. Я предложу вам более простое испытание, в котором ваши шансы получить мою руку возрастут с одного к двум до двух к трем. Оно напоминает испытание, некогда устроенное моей прапрапра…бабушкой Порцией III. Не сомневаюсь, что на этот раз вы успешно справитесь с задачей.

С этими словами она повела претендента за руку в другую комнату, где на столе были расставлены три шкатулки: золотая, серебряная и свинцовая. Порция пояснила, что в одной шкатулке лежит кинжал, а две другие пусты. Чтобы получить ее руку, испытуемому достаточно выбрать одну из пустых шкатулок. На крышках шкатулок красовались надписи:

На золотой	На серебряной	На свинцовой
Кинжал в этой шкатулке	Эта шкатулка пуста	Не более чем одно из трех высказываний, выгравированных на шкатулках, истинно

(Сравните эту задачу с первым испытанием, предложенным Порцией III. Вам не кажется, что и в том и в этом случае задача одна и та же?)

На этот раз претендент на руку прекрасной Порции тщательно следил за каждым шагом в своих рассуждениях, которые сводились к следующему. Предположим, что надпись на третьей шкатулке истинна. Тогда обе остальные надписи должны быть ложными. В частности, надпись на серебряной шкатулке ложна, поэтому кинжал должен находиться в ней. С другой стороны, если надпись на свинцовой шкатулке ложна, то по крайней мере две другие надписи должны быть истинными. Одной из них должна быть надпись на золотой шкатулке, тогда кинжал находится в ней. И в том и в другом случае шкатулка из свинца пуста.

Придя к такому заключению, претендент выбрал свинцовую шкатулку, откинул крышку и, к своему ужасу, обнаружил, что в шкатулке лежит кинжал! Порция, смеясь, открыла две другие шкатулки и показала, что в них ничего нет.

Читателю будет приятно узнать, что Порция и претендент на ее руку все же поженились. (Порция решила выйти за него замуж задолго до испытаний, которые понадобились ей только для того, чтобы немного подразнить будущего жениха.) Но даже такой счастливый конец оставляет без ответа весьма важный вопрос: где в рассуждения претендента на руку Порции вкралась ошибка?

Решения

67. Высказывания, выгравированные на золотой и свинцовой шкатулках, противоположны, поэтому одно из них должно быть истинным. Поскольку истинно неболее чем одно из трех высказываний, то высказывание на крышке серебряной шкатулки ложно. Следовательно, портрет в действительности находится в серебряной шкатулке.

Эта задача допускает также другое решение. Если бы портрет находился в золотой шкатулке, то вопреки условиям задачи у нас было бы два истинных высказывания. Если бы портрет был в свинцовой шкатулке, то мы также получили бы два истинных высказывания (на этот раз на свинцовой и на серебряной шкатулках). Следовательно, портрет должен находиться в серебряной шкатулке.

Оба метода решения вполне корректны и служат наглядным подтверждением того, как во многих задачах к одному и тому же заключению ведут несколько правильных путей.

67a. Если бы портрет находился в свинцовой шкатулке, то вопреки условиям задачи все три высказывания были бы истинными. Если бы портрет находился в серебряной шкатулке, то (также вопреки условиям задачи) все три высказывания были бы ложными. Следовательно, портрет должен находиться в золотой шкатулке (тогда первые два высказывания истинны, а третье — ложно, что согласуется с условиями задачи).

68. Свинцовую шкатулку можно сразу же исключить из рассмотрения, так как если бы портрет находился в ней, то оба высказывания, выгравированные на крышке свинцовой шкатулки, были бы ложными. Следовательно, портрет находится в золотой или в серебряной шкатулке. Первые высказывания, выгравированные на крышках золотой и серебряной шкатулок, согласуются, поэтому они либо оба истинны, либо оба ложны. Если они оба ложны, то вторые высказывания оба истинны, что невозможно, так как вторые высказывания противоположны друг другу. Следовательно, если первые высказывания оба истинны, то портрет не может находиться в золотой шкатулке. Это доказывает, что портрет находится в серебряной шкатулке.

68а. Если портрет находится в золотой шкатулке, то на крышках золотой и серебряной шкатулок выгравировано по два ложных высказывания. Если портрет находится в серебряной шкатулке, то на крышках серебряной и свинцовой шкатулок выгравировано по одному истинному и одному ложному высказыванию. Следовательно, портрет находится в свинцовой шкатулке (крышка серебряной шкатулки при этом украшена двумя истинными высказываниями, крышка свинцовой шкатулки — двумя ложными высказываниями, и крышка золотой шкатулки — одним истинным и одним ложным высказыванием).

69. Предположим, что шкатулку из свинца изготовил Беллини. Тогда высказывание, помещенное на ее крышке, было бы истинным, и, следовательно, две другие шкатулки должны были бы быть работы Челлини. Это означает, что оба остальных высказывания ложны. В частности, ложно высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, поэтому кинжал находится в серебряной шкатулке. Итак, если свинцовая шкатулка работы Беллини, то кинжал находится в серебряной шкатулке.

Предположим теперь, что свинцовую шкатулку изготовил Челлини. Тогда высказывание, украшающее ее крышку, ложно, поэтому по крайней мере две шкатулки изготовил Беллини. Это означает, что и золотая, и серебряная шкатулки работы Беллини (так как свинцовая по предположению изготовлена Челлини). Значит, высказывания на крышках золотой и серебряной шкатулок истинны. В частности, истинно высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки. Следовательно, в этом случае кинжал лежит в золотой шкатулке.

Ни в одном из случаев кинжал не может оказаться в шкатулке из свинца, поэтому претенденту на руку Порции следует выбрать свинцовую шкатулку.

69a. Если серебряную шкатулку изготовил Беллини, то высказывание, выгравированное на ее крышке, истинно. В этом случае золотая шкатулка изготовлена Челлини. Предположим теперь, что серебряная шкатулка работы Беллини. Тогда золотую шкатулку изготовил Челлини (если бы золотая шкатулка была работы Беллини, то мы имели бы дело с тем случаем, когда ровно одна шкатулка изготовлена Беллини).

Итак, независимо от того, кто изготовил серебряную шкатулку — Беллини или Челлини, золотая шкатулка заведомо работы Челлини. Следовательно, высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно, поэтому портрет находится в золотой шкатулке.

69б. Докажем прежде всего, что свинцовую шкатулку должен был изготовить Беллини. Предположим, что свинцовая шкатулка работы Челлини. Тогда высказывание, выгравированное на ее крышке, ложно. Это означает, что по крайней мере две шкатулки должны быть изготовлены Беллини, а именно серебряная и золотая, что невозможно, так как портрет не может находиться в золотой и в серебряной шкатулках одновременно. Следовательно, свинцовая шкатулка в действительности изготовлена Беллини. Но тогда выгравированное на ее крышке высказывание истинно, и поэтому по крайней мере две шкатулки изготовлены Челлини. Это означает, что и золотая, и серебряная шкатулки работы Челлини. Следовательно, высказывания, украшающие крышки этих шкатулок, ложны, и портрет не находится ни в золотой, ни в серебряной шкатулке. Значит, портрет находится в свинцовой шкатулке.

Мы доказали также, что свинцовую шкатулку изготовил Беллини, а две остальные шкатулки — Челлини. Тем самым получен ответ и на второй вопрос задачи.

70. Претенденту на руку Порции следовало бы понять, что без информации об истинности или ложности любого высказывания или об отношении принимаемых высказываниями значений истинности высказывания не позволяют прийти к какому-либо выводу, и предмет (портрет или кинжал) может находиться где угодно. Что мешает мне взять любое число шкатулок, положить в одну из них какой-нибудь предмет и сделать на крышках любые надписи, какие только мне заблагорассудится? Эти надписи не будут нести в себе никакой информации о предмете, спрятанном в одной из шкатулок. Отсюда ясно, что Порция не лгала своему возлюбленному. Все, что она утверждала, сводилось к следующему: некий предмет спрятан в одной из шкатулок. И в каждом случае ее утверждение соответствовало истине.

Иное дело-истории о предках Порции N-й: если бы портрет или кинжал не оказался бы там, где его рассчитывал найти претендент на руку прапрапра…бабушки Порции N-й, то это означало бы (как мы вскоре увидим), что где-то «по дороге» прапрапра…бабушка допустила ложное высказывание.

Происшествие с поклонником Порции N-й можно рассматривать и с иной точки зрения. Его ошибка заключается в том, что каждое из высказываний, выгравированных на крышках шкатулок, он считал либо истинным, либо ложным. Разберемся более подробно, как происходило первое испытание — с двумя шкатулками. На крышке золотой шкатулки было выгравировано: «Портрет не в этой шкатулке». Это высказывание заведомо либо истинно, либо ложно, так как портрет либо находится в золотой шкатулке, либо его там нет. В действительности оно оказалось истинным, так как Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Вот теперь мы приступаем к самому важному. Известно, что Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Что можно сказать о высказывании, выгравированном на крышке этой шкатулки? Истинно оно или ложно? Оно не может быть ни истинным, ни ложным, ибо в противном случае мы пришли бы к противоречию! Действительно, предположим, что это высказывание было бы истинным. Тогда истинно ровно одно высказывание, а так как первое высказывание (выгравированное на крышке золотой шкатулки) истинно, то второе высказывание ложно. Таким образом, если бы высказывание, помещенное на крышке серебряной шкатулки, было истинным, то оно… было бы ложным! С другой стороны, предположим, что высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно. Тогда первое высказывание истинно, второе ложно. Следовательно, истинно ровно одно высказывание. Но именно это и утверждается во втором высказывании, которое по предположению ложно. Значит, оно должно быть истинным! Таким образом, оба предположения (и о том, что второе высказывание истинно, и о том, что второе высказывание ложно) приводят к противоречию.

Весьма поучительно сравнить это испытание со вторым испытанием, предложенным Порцией III (которой также хватило двух шкатулок). Надпись на золотой шкатулке в том испытании совпадала с надписью на золотой шкатулке в испытании, устроенном Порцией N-й, и гласила: «Портрет не в этой шкатулке». Но надпись на серебряной шкатулке была иной (старая надпись гласила: «Ровно одна из этих двух шкатулок изготовлена Беллини», новая — сообщала, что «Ровно одно из двух высказываний, выгравированных на крышках, истинно»). У читателя может возникнуть вопрос о том, существенно ли различие между этими двумя высказываниями, если известно, что Беллини гравировал на крышках шкатулок только истинные, а Челлини — только ложные высказывания. Различие, хотя и довольно тонкое, все же существует. Высказывание «Ровно одна из этих шкатулок изготовлена Беллини» — это высказывание, которое должно быть либо истинным, либо ложным, некое историческое утверждение о реальном мире. Беллини либо изготовил ровно одну из двух шкатулок, либо не изготовил. Предположим, что в истории о Порции III портрет оказался бы не в золотой, а в серебряной шкатулке. Какой вывод вы сделали бы из этого? Стали бы считать, что надпись, выгравированная на серебряной шкатулке, ни истинна, ни ложна? Такой вывод был бы неверен! Я уже говорил о том, что надпись на серебряной шкатулке представляет собой высказывание, которое может быть либо истинным, либо ложным. Поэтому правильным был бы иной вывод: если бы портрет был обнаружен в серебряной шкатулке, то Порция III, утверждая о Беллини и Челлини то, что она утверждала, лгала бы. В отличие от своей прапрапра…бабушки Порция N-я могла бы, не прибегая ко лжи, поместить свой портрет в серебряную шкатулку, так как она ничего не сказала о значении истинности высказываний, выгравированных на крышках шкатулок.

Вопрос о значениях истинности высказываний, определяемых в зависимости от их содержательной интерпретации, относится к одному из наиболее тонких и фундаментальных разделов современной логики. В последующих главах мы еще неоднократно вернемся к нем

VI. Из записок инспектора Крэга

А. Из записок инспектора Крэга

Инспектор Лесли Крэг из Скотланд-Ярда любезно согласился предоставить мне записки о некоторых распутанных им делах, с тем чтобы я мог поведать о них для пользы и в назидание тем, кто интересуется применением логики к раскрытию уголовных преступлений.

71

Начнем с простого дела. На складе было совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников-рецидивистов A, B и C, которые были доставлены в Скотланд-Ярд для допроса. Было установлено следующее:

1) Никто, кроме A, B и C, не был замешан в хищении.

2) C никогда не ходит на дело без A (и, возможно, других соучастников).

3) B не умеет водить машину.

Виновен или не виновен A?

72

Другое, также несложное дело о хищении. Подозреваемые A, B и C были вызваны для допроса. Установлено следующее:

1) Никто, кроме A, B и C, в хищении не замешан.

2) A никогда не идет на дело без по крайней мере одного соучастника.

3) C не виновен.

Виновен или не виновен B?

73. Дело о двух неразличимых близнецах

Это дело поинтереснее предыдущих. В Лондоне совершено ограбление. Трое подозреваемых — рецидивисты A, B и C — вызваны на допрос. Подозреваемые A и С — близнецы и похожи друг на друга настолько, что мало кто умеет отличать одного из них от другого. В картотеке Скотланд-Ярда имеются подробные сведения о всех троих, в том числе об их характере, наклонностях и привычках. В частности, известно, что оба близнеца по характеру робки, и ни один из них не отваживается идти на дело без соучастника. Подозреваемый B отличается большой дерзостью и терпеть не может ходить на дело с соучастником. Кроме того, несколько свидетелей показали, что во время ограбления одного из близнецов видели в баре в Дувре, но установить, о ком из двух близнецов шла речь, не удалось.

Предположим, что в ограблении не был замешан никто, кроме A, B и C. Кто из них виновен и кто не виновен?

74

«Какие выводы вы сделали бы из следующих фактов?» — спросил инспектор Крэг у сержанта Макферсона:

1) Если A виновен и B невиновен, то C виновен.

2) C никогда не действует в одиночку.

3) A никогда не ходит на дело вместе с C.

4) Никто, кроме A, B и C, в преступлении не замешан, и по крайней мере один из этой тройки виновен.

Сержант поскреб в затылке и сказал:

— Боюсь, что я смогу извлечь из этих фактов не слишком много, сэр. А вы можете, опираясь на них, доказать, кто из трех подозреваемых виновен и кто не виновен?

— Не могу, — признался Крэг, — но чтобы выдвинуть неопровержимое обвинение против одного из них, материала вполне достаточно.

Чья виновность не вызывает сомнений?

75. Дело об ограблении лавки Макгрегора

Мистер Макгрегор, владелец лавки из Лондона, сообщил по телефону в Скотланд-Ярд о том, что его ограбили. Трех преступников-рецидивистов A, B и C, подозреваемых в ограблении, вызвали на допрос. Установлено следующее:

1) Каждый из тройки подозреваемых A, B и C в день ограбления побывал в лавке, и никто больше в тот день в лавку не заходил.

2) Если A виновен, то у него был ровно один сообщник.

3) Если B не виновен, то C также не виновен.

4) Если виновны ровно двое подозреваемых, то A — один из них.

5) Если C не виновен, то B также не виновен.

Против кого инспектор Крэг выдвинул обвинение?

76. Дело четырех

На этот раз на допрос были вызваны четверо подозреваемых в ограблении: A, B, C и D. Неопровержимыми уликами доказано, что по крайней мере один из них виновен и что никто, кроме A, B, C и D, в ограблении не участвовал. Кроме того, удалось установить следующее:

1) A безусловно не виновен.

2) Если B виновен, то у него был ровно один соучастник.

3) Если C виновен, то у него было ровно два соучастника.

Инспектору Крэгу было особенно важно узнать, виновен или не виновен D, так как D был опасным преступником. К счастью, приведенных выше фактов достаточно, чтобы установить виновность или невиновность подозреваемого D.

Итак, виновен или не виновен D?

Б. Не могли бы вы помочь?

Инспектора Крэга нередко можно видеть в зале суда, где он с неослабным вниманием следит за всеми перипетиями судебного разбирательства. Крэг интересуется не только теми делами, в расследовании которых он принимал участие. Слушание любого дела служит для него своеобразным упражнением по логике: выслушав доводы сторон, инспектор стремится при помощи логических рассуждений установить истину. Вот несколько любопытных казусов, свидетелем которых ему пришлось быть в зале судебных заседаний.

77. Глупый защитник

Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:

Обвинитель. Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

Защитник. Не верно!

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

78

По обвинению в ограблении перед судом предстали A, B и C. Установлено следующее:

1) Если A не виновен или B виновен, то C виновен.

2) Если A невиновен, то C не виновен.

Можно ли на основании этих данных установить виновность каждого из трех подсудимых?

79

По обвинению в ограблении перед судом предстали A, B и C. Установлено следующее:

1) По крайней мере один из трех подсудимых виновен.

2) Если A виновен и B не виновен, то C не виновен.

Этих данных недостаточно, чтобы доказать виновность каждого из трех подсудимых в отдельности, но эти же данные позволяют отобрать двух подсудимых, о которых известно, что один из них заведомо виновен. О каких двух подсудимых идет речь?

80

Этот случай более интересен, чем предыдущие. Подсудимых четверо: A, B, C, D. Установлено следующее:

1) Если A и B оба виновны, то C был соучастником.

2) Если A виновен, то по крайней мере один из обвиняемых B, C был соучастником.

3) Если C виновен, то D был соучастником.

4) Если A не виновен, то D виновен.

Кто из четырех подсудимых виновен вне всякого сомнения и чья вина остается под сомнением?

81

И в этом случае подсудимых было четверо: A, B, C, D. Установлено следующее:

1) Если A виновен, то B был соучастником.

2) Если B виновен, то либо C был соучастником, либо A не виновен.

3) Если D не виновен, то A виновен и C не виновен.

4) Если D виновен, то A виновен. Кто из подсудимых виновен и кто не виновен?

В. Шесть необычных случаев

82. Не лучше ли было промолчать?

На небольшом островке одного человека судили за преступление. Суду было известно, что подсудимый родился и вырос на соседнем острове рыцарей и лжецов. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Подсудимому разрешалось произнести в свою защиту только одну фразу. Поразмыслив, он заявил следующее: «Лицо, действительно совершившее преступление, в котором меня обвиняют, лжец».

Разумно ли было с его стороны такое заявление? Помогло ли оно или только ухудшило его положение? Может быть, оно никак не повлияло на решение суда?

83

Загадочный обвинитель.

В другом случае на том же острове за совершение некоторого преступления судили двух местных жителей X и Y. Дело было в высшей степени необычно, так как об обвинителе было известно, что он либо рыцарь, либо лжец. На суде обвинитель сделал два следующих заявления:

1) X виновен.

2) X и Y не могут быть виновны оба.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений на месте присяжных? Можно ли утверждать что-нибудь относительно виновности X или Y? Кто, по-вашему, обвинитель: рыцарь или лжец?

84

Предположим, что обвинитель из предыдущей задачи сделал на суде два следующих заявления:

1) Либо X виновен, либо Y виновен.

2) X не виновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

85

Предположим, что обвинитель из задачи 83 сделал на суде два следующих заявления:

1) Либо X не виновен, либо Y виновен.

2) X виновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

86

Этот случай произошел на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. Напомним, что рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а нормальные люди иногда говорят правду, а иногда — ложь.

Трое жителей острова A, B и C предстали перед судом. Известно, что преступление мог совершить только один из них. Известно также, что совершивший преступление был рыцарем и что других рыцарей среди трех подсудимых не было. На суде A, B и C сделали следующие заявления:

A: Я не виновен.

B: Это правда.

C: B — не нормальный человек.

Кто из троих виновен в совершенном преступлении?

87

Этот случай, самый интересный из всех, внешне напоминает предыдущие, но в действительности в корне отличен от них. Он также произошел на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей.

Главными действующими лицами были подсудимый, обвинитель и защитник. Судебный процесс проходил весьма необычно. Начать хотя бы с того, что один из его трех главных участников был рыцарем, другой лжецом, а третий нормальным человеком, но кто из них рыцарь, лжец или нормальный человек, не было известно никому. Еще более странным было другое обстоятельство: суду достоверно было известно, что если подсудимый не виновен, то виновен либо защитник, либо обвинитель. Было известно также, что виновный не лжец. В ходе судебного заседания подсудимый, обвинитель и защитник сделали следующие заявления:

Подсудимый. Я невиновен.

Защитник. Мой подзащитный действительно не виновен.

Обвинитель. Не правда, подсудимый виновен.

Их заявления прозвучали вполне естественно. Присяжные удалились на совещание, но не смогли вынести никакого решения: сведений, содержащихся в трех заявлениях, сделанных на суде, для этого оказалось недостаточно. В те времена, когда происходил суд, остров входил в британские владения, поэтому правительство острова направило в Скотланд-Ярд телеграмму с просьбой направить к ним инспектора Крэга, чтобы тот помог разрешить возникшее затруднение.

Через несколько недель инспектор Крэг прибыл на остров, и суд возобновил свои заседания. Крэг решил во что бы то ни стало досконально во всем разобраться. Он вознамерился не только установить, кто виновен в совершении преступления, но и определить, кто из трех участников процесса рыцарь, кто лжец и кто нормальный человек. Выяснить интересующие его сведения инспектор Крэг решил за минимальное число вопросов. Сначала он спросил у обвинителя: «Вы, случайно, не виновны?» Обвинитель ответил. Поразмыслив, инспектор Крэг обратился с вопросом к подсудимому: «Виновен ли обвинитель?» Подсудимый ответил, и инспектор Крэг узнал все, что его интересовало.

Кто виновен? Кто был нормальным человеком, кто рыцарем и кто лжецом?

Решения

71. Покажем прежде всего, что по крайней мере один из A, C виновен. Если B не виновен, то ясно, что виновен кто-то из A, C (или оба), так как из высказывания (1) следует, что никто, кроме A, B и C, не может быть виновен. Если B виновен, то у него должен быть соучастник (так как B не умеет водить машину). Следовательно, и в этом случае A или C должен быть виновен. Таким образом, кто-то из A и C (или оба) виновен. Если C не виновен, то A должен быть виновен. С другой стороны, если C виновен, то в силу высказывания (2) A также виновен. Следовательно, A виновен.

72. Этот случай еще проще. Если A не виновен, то (так как C не виновен) виновным должен быть B — в силу высказывания (1). Если A виновен, то в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник. Из высказывания (3) следует, что этим соучастником не мог быть C. Значит, им должен быть B. Итак, и в том и в другом случае B виновен.

73. Предположим, что B не виновен. Тогда должен быть виновен один из двух близнецов. У этого близнеца должен быть соучастник, а поскольку B не мог быть сообщником, то им должен быть другой близнец. Но это невозможно, так как одного из близнецов во время преступления видели в Дувре. Следовательно, B виновен. А поскольку B всегда «ходит на дело» в одиночку, то оба близнеца не виновны.

74. Не вызывает ни малейших сомнений виновность B. Доказать это можно при помощи любого из следующих рассуждений.

Рассуждение первое. Предположим, что B не виновен. Тогда если бы A был виновен, то C также был бы виновен в силу высказывания (1). Это означало бы, что вопреки высказыванию (3) A совершил преступление вместе с C. Следовательно, A должен быть не виновен. Но тогда вопреки высказыванию (2) C единственный, кто виновен. Значит, B виновен.

Рассуждение второе. Оно прямее приводит к ответу на вопрос задачи.

а) Предположим, что A виновен. Тогда в силу высказывания (3) B и C не могут быть оба не виновны, поэтому у A должен быть соучастник. Так как C в силу высказывания (3) не мог быть соучастником A, то им должен быть B. Следовательно, если A виновен, то B также виновен.

б) Предположим, что C виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник, которым в силу высказывания (3) не мог быть A. Следовательно, им должен быть B.

в) Если ни A, ни C не виновны, то B несомненно виновен!

75. Инспектор Крэг выдвинул против мистера Макгрегора обвинение в попытке ввести полицию в заблуждение: никакого ограбления в действительности не было. Вот как рассуждал инспектор Крэг.

Первый шаг. Предположим, что A был бы виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него был бы ровно один соучастник — не больше, не меньше. Следовательно, кто-то один из B, C виновен, а другой не виновен. Но это противоречит высказываниям (3) и (5), из которых, если взять их вместе, следует, что B, C либо оба виновны, либо оба не виновны. Значит, A должен быть не виновен.

Второй шаг. Из высказываний (3) и (5) следует, что B и C либо оба виновны, либо оба не виновны. Если бы они были оба виновны, то других виновных не было бы (так как A не виновен). Следовательно, виновных в этом случае было бы ровно двое. В силу высказывания (4) это означало бы, что A виновен. Тем самым мы пришли бы к противоречию, так как A не виновен. Следовательно, B и C оба не виновны.

Третий шаг. Итак, установлено, что A, B, C не виновны. Но, как следует из высказывания (1), в день ограбления никто, кроме A, B и C, в лавку не заходил и не мог совершить ограбления. Значит, никакого ограбления не было, и Макгрегор лгал.

Эпилог. Не устояв перед неопровержимыми доводами инспектора Крэга, Макгрегор признался в том, что он солгал в надежде получить страховку.

76. Если B виновен, то в силу высказывания (2) в преступлении замешаны ровно двое подсудимых. Если же виновен C, то в силу высказывания (3) в преступлении замешаны трое подсудимых. Поскольку ни того, ни другого быть не может, то по крайней мере один из B и C не виновен. Подсудимый A также не виновен, поэтому виновных не может быть больше двух. Следовательно, у C не было ровно двух соучастников, и в силу высказывания (3) подсудимый C должен быть не виновен. Если B виновен, то у него был ровно один соучастник. Им должен быть D (так как A и B оба не виновны). Если B не виновен, то A, B и C не виновны. Тогда D должен быть виновен. Итак, независимо от того, виновен или не виновен B, подсудимый D должен быть виновен. Следовательно, D виновен.

77. В действительности обвинитель сказал, что подсудимый не совершал преступления в одиночку. Защитник, отрицая высказывание обвинителя, тем самым утверждал, что подсудимый совершил преступление в одиночку.

78. Можно, причем очень просто. В силу высказывания (1) если A не виновен, то C виновен (поскольку если A не виновен, то дизъюнкция «либо A не виновен, либо B виновен» — истина). В силу высказывания (2), если A не виновен, то C не виновен. Следовательно, если A не виновен, то C одновременно виновен и не виновен, что невозможно. Значит, A должен быть виновен.

79. Двое подсудимых, один из которых должен быть виновен, это B и C. Действительно, предположим, что A не виновен. Тогда в силу высказывания (1) B или, C должен быть виновен. С другой стороны, предположим, что A виновен. Если B виновен, то по крайней мере кто-то один из B и C заведомо виновен. Но предположим, что B не виновен. Тогда A виновен, а B не виновен. Следовательно, в силу высказывания (2) C должен быть виновен, то есть и в этом случае либо B, либо C виновен.

80. Прежде всего докажем, что если A виновен, то C виновен. Предположим, что A виновен. Тогда в силу высказывания (2) либо B, либо C виновен. Если B не виновен, то виновен должен быть C. Но предположим, что B виновен. Тогда A и B оба виновны. Следовательно, в силу высказывания (1) C также виновен. Это доказывает, что если A виновен, то C виновен. Кроме того, в силу высказывания (3), если C виновен, то D виновен. Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что если A виновен, то D виновен. Но в силу высказывания (4), если A не виновен, то D виновен.

Следовательно, независимо от того, виновен или не виновен A, подсудимый D должен быть виновен. Таким образом, виновность D не вызывает сомнений. Виновность всех остальных подсудимых остается под сомнением.

81. Все подсудимые виновны. Действительно, в силу высказывания (3) если D не виновен, то A виновен. В силу высказывания (4) если D виновен, то A виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или не виновен D, подсудимый A должен быть виновен. Тогда в силу высказывания (1) B также виновен. Из высказывания (2) мы заключаем, что либо C виновен, либо A не виновен. Поскольку уже известно, что A не невиновен, то C должен быть виновен. Наконец, из высказывания (3) следует, что если D не виновен, то C не виновен. Но мы уже доказали, что C не невиновен, поэтому D должен быть виновен. Итак, все подсудимые виновны.

82. Вполне разумно: оно помогло подсудимому снять с себя все подозрения! Действительно, предположим, что подсудимый — рыцарь. Тогда его высказывание истинно, и виновный — лжец. Следовательно, подсудимый должен быть не виновен. С другой стороны, предположим, что подсудимый — лжец. Тогда его высказывание ложно, поэтому тот, кто совершил преступление, — рыцарь. Следовательно, и в этом случае подсудимый не виновен.

83. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывания (1) и (2) были бы ложными. Но если высказывание (1) ложно, то X не виновен, а если ложно высказывание (2), то X и Y оба виновны. Итак, X должен был быть виновным и не виновным одновременно, что невозможно. Следовательно, обвинитель должен быть рыцарем. Значит, X в действительности виновен, а поскольку X и Y не могут быть виновными одновременно, то Y должен быть не виновен. Следовательно, X виновен, Y не виновен, и обвинитель — рыцарь.

84. Если бы обвинитель был лжецом, то тогда

1) X и Y оба были бы виновны;

2) X был бы виновен.

И в этом случае мы бы опять пришли к противоречию. Следовательно, обвинитель — рыцарь, X не виновен, а Y виновен.

85. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывание (1) ложно, поэтому X виновен и Y не виновен. Следовательно, X виновен. Но высказывание (2) также ложно, поэтому X не виновен, и мы приходим к противоречию. Значит, в этой задаче, так же как и в предыдущей, обвинитель — рыцарь. Тогда в силу высказывания (2) X виновен. Из высказывания (1) (так как X не невиновен) мы заключаем, что Y виновен. Следовательно, в этом случае X и Y оба виновны.

86. Подсудимый A не может быть рыцарем, так как если бы он был рыцарем, то был бы виновен и не лгал бы, утверждая, что не виновен. Подсудимый A не может быть и лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложным, и он был бы виновен и, следовательно, был бы рыцарем. Значит, A — нормальный человек и не виновен. Поскольку A не виновен, то высказывание островитянина B истинно. Следовательно, B не лжец: он либо рыцарь, либо нормальный человек. Предположим, что B был бы нормальным человеком. Тогда высказывание островитянина C было бы ложным, и C был бы либо лжецом, либо нормальным человеком. Это означало бы, что среди трех островитян A, B, C нет ни одного рыцаря. Следовательно, вопреки условиям задачи ни один из них не виновен. Отсюда мы заключаем, что B не может быть нормальным человеком. Он должен быть рыцарем и, следовательно, виновен.

87. Пока Крэг не прибыл. Обозначим подсудимого A, защитника B и обвинителя C. Прежде всего заметим, что A не может быть лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложно и, следовательно, он был бы виновен. Мы пришли бы к противоречию с тем условием задачи, в котором говорится, что лжец не виновен. Значит, A — либо рыцарь, либо нормальный человек.

Первый случай: A — рыцарь. Поскольку его высказывание истинно, то он не виновен. Тогда высказывание защитника B также истинно. Следовательно, B — либо рыцарь, либо нормальный человек. Но A — рыцарь; поэтому B — нормальный человек. Значит, C может быть только лжецом. А поскольку известно, что лжец не виновен, то B виновен.

Второй случай: A — нормальный человек и не виновен. Высказывание защитника B истинно и в этом случае, поэтому B — рыцарь (поскольку A — нормальный человек). Так как A не виновен и C, будучи лжецом, не виновен, то виновен B.

Третий случай: A — нормальный человек и виновен. В этом случае высказывание обвинителя истинно, поэтому обвинитель должен быть рыцарем (он не может быть нормальным человеком, так как «вакансия» нормального человека занята A). Следовательно, B может быть только лжецом.

Итак, вот что мы выяснили, рассматривая три возможных случая:

Подсудимый	Не виновен	Не виновен	Виновен
	Рыцарь	Нормальный человек	Нормальный человек
Защитник	Виновен	Виновен	Не виновен
	Нормальный человек	Рыцарь	Лжец
Обвинитель	Не виновен	Не виновен	Не виновен
	Лжец	Лжец	Рыцарь

Все три случая согласуются с заявлениями, сделанными тремя главными участниками судебного процесса до прибытия Крэга.

После прибытия Крэга. Крэг спросил у обвинителя, виновен ли тот. Задавая свой вопрос, инспектор Крэг уже знал, что обвинитель не виновен (так как во всех трех случаях обвинитель не виновен), поэтому ответ обвинителя был нужен Крэгу лишь для того, чтобы установить, кто такой обвинитель: рыцарь или лжец. Если бы обвинитель правдиво ответил «нет», то инспектор Крэг понял бы, что случаи (1) и (2) можно исключить, и не стал бы задавать новых вопросов. Но инспектору Крэгу после того, как обвинитель ответил, понадобилось задать еще несколько вопросов.

Следовательно, обвинитель должен быть лжецом и на вопрос инспектора ответить «да». Такой ответ заставил инспектора Крэга (а вместе с ним и читателя) исключить из рассмотрения случай (3) и в дальнейшем рассматривать только случаи (1) и (2). Это означает, что в действительности виновен защитник, но относительно подсудимого и защитника не известно, кто из них рыцарь и кто нормальный человек. Затем Крэг спросил у подсудимого, виновен ли обвинитель и, получив ответ, смог до конца разобраться в ситуации. На вопрос Крэга рыцарь ответил бы «нет», в то время как нормальный человек ответил бы либо «да», либо «нет». Получив ответ «нет», Крэг не смог бы определить, был ли подсудимый рыцарем или нормальным человеком. Но поскольку для Крэга после ответа все стало ясно, то подсудимый должен был ответить «да». Следовательно, подсудимый — нормальный человек, а защитник — рыцарь (хотя он и виновен).

VII. Как избежать оборотней и другие полезные практические советы

Эта глава посвящена не столько занимательным аспектам логики, сколько ее практическим приложениям. Во многих житейских ситуациях полезный совет был бы как нельзя кстати. Учитывая это, я обстоятельно, шаг за шагом научу вас: A) как избежать оборотней в лесу; Б) как выбрать невесту; B) как защищать себя на суде; Г) как жениться на дочери короля.

Разумеется, я не могу поручиться, что вам непременно представится случай убедиться, насколько полезны мои советы, но как мудро объяснил Алисе Белый Рыцарь, нужно быть готовым ко всему!

А. Как вести себя в лесу, где водятся оборотни

Предположим, что вы находитесь в лесу, каждый обитатель которого либо рыцарь, либо лжец. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Кроме того, в лесу водятся оборотни, имеющие на редкость неприятную привычку иногда превращаться в волков и пожирать людей. Оборотень может быть либо рыцарем, либо лжецом.

88

Вы берете интервью у трех обитателей леса A, B, C. Известно, что ровно один из них оборотень. В беседе с вами они заявляют:

A: C — оборотень.

B: Я не оборотень.

C: По крайней мере двое из нас лжецы.

Наша задача состоит из двух частей.

а) Кто оборотень: рыцарь или лжец?

б) Если бы вам предстояло выбрать одного из трех обитателей леса в попутчики и вопрос о том, не окажется ли ваш избранник оборотнем, волновал бы вас сильнее, чем вопрос, не окажется ли он лжецом, то на ком из трех вы бы остановили свой выбор?

89

Вы снова берете интервью у трех обитателей леса A, B и C. Известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец и среди них имеется ровно один оборотень. В беседе с вами они заявляют:

A: Я оборотень.

B: Я оборотень.

C: Не более чем один из нас рыцарь.

Проведите полную классификацию A, B и C.

90

В этой и в двух следующих задачах мы снова встречаем трех обитателей леса A, B, C, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Заявления делают только двое из них: A и B. В их высказываниях слово «нас» относится ко всем трем героям (к A, B и C), а не только к A и B.

Предположим, что A и B заявили следующее:

A: По крайней мере один из нас рыцарь.

B: По крайней мере один из нас лжец.

Известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. Кто оборотень?

91

На этот раз A и B сделали следующие заявления:

A: По крайней мере один из нас лжец.

B: C — рыцарь.

Известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?

92

В этой задаче A и B заявили следующее:

A: По крайней мере один из нас лжец.

B: C — оборотень.

И в этой задаче известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?

93

В этой задаче известно, что из трех обитателей леса ровно один оборотень, что он рыцарь, а два остальных — лжецы. Заявление сделал только B: «С — оборотень».

Кто оборотень?

94

В этой задаче, отличающейся изящной простотой, лишь два действующих лица: A и B. Лишь одно из них оборотень. A и B заявили следующее:

A: Оборотень — рыцарь.

B: Оборотень — лжец.

Кого из них вы выбрали бы себе в попутчики?

Б. Как выбрать или завоевать невесту

95. Как ее убедить?

Предположим, что вы один из жителей острова рыцарей и лжецов. Вы полюбили девушку и хотите жениться на ней. Но у вашей избранницы странные вкусы: по каким-то непонятным причинам она не желает выходить замуж за рыцаря и прочит себя в жены только лжецу. При этом ей подавай не бедного, а непременно богатого лжеца (для удобства мы будем предполагать, что все лжецы на острове делятся либо на богатых, либо на бедных). Предположим, что вы богатый лжец. Вам разрешается сказать избраннице лишь одну фразу. Как одной-единственной фразой убедить вашу возлюбленную, что вы богатый лжец?

96

Предположим теперь, что ваша девушка мечтает выйти замуж только за богатого рыцаря. Как одной-единственной фразой убедить ее, что вы богатый рыцарь?

97. Как выбрать невесту?

На этот раз вы переноситесь на остров рыцарей и лжецов. Каждая обитательница этого острова — либо рыцарь, либо лжец. Вы влюбляетесь в одну, из прекрасных островитянок — девушку по имени Элизабет — и хотите жениться на ней. Но вам хотелось бы знать, кто она (так как вы, естественно, не хотели бы жениться на лжеце). Если бы вам разрешили задать ей хоть один вопрос, то все было бы очень просто. Но на острове существует древнее табу, запрещающее мужчине заговаривать с любой островитянкой до тех пор, пока она не станет его женой. К счастью, у Элизабет есть брат. Он, как и все островитяне, либо рыцарь, либо лжец (брат и сестра не обязательно однотипны: один из них может быть рыцарем, а другой — лжецом). Вам разрешается задать брату один вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».

Придумайте такой вопрос, чтобы, услышав ответ, вы бы могли с уверенностью сказать, кто такая Элизабет: рыцарь или лжец. Какой вопрос вы бы задали?

98. Как выбрать невесту на острове Бахава?

На этот раз вы переноситесь на остров Бахава, где живут рыцари, всегда говорящие только правду, лжецы, которые всегда лгут, и нормальные люди, говорящие то правду, то ложь. Напомним, что на острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами. Среди женщин, как и среди мужчин, имеются рыцари, лжецы и нормальные люди. На вас как на иностранца не распространяются законы острова и, в частности, королевский указ, повелевающий рыцарю вступать в брак только с рыцарем, а лжецу — только с лжецом: вы вольны выбирать себе в жены островитянку, кем бы она ни была.

Предположим, что вам надлежит выбрать себе в невесты одну из трех сестер A, B, C. Известно, что одна из них рыцарь, одна — лжец и одна — нормальный человек. Известно также, что нормальная сестра (нечего сказать, в хорошенькое положение вы попали!) — оборотень, а две другие сестры не оборотни. Предположим, что вы не откажетесь взять в жены лжеца (или рыцаря), но жениться на оборотне даже для такого покладистого человека, как вы, — это уж слишком! Чтобы определить, кто из сестер кто, вам разрешается задать им один-единственный вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».

Какой вопрос вы бы задали?

В. Да, вы не виновны, но как это доказать?

Теперь мы переходим к серии особенно увлекательных задач. Действие во всех этих задачах происходит на острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. Вы сами также один из уроженцев и постоянных обитателей этого острова.

На острове совершено преступление. По совершенно непонятным соображениям подозрения пали на вас. Вы задержаны и предстали перед судом. На судебном заседании вам разрешают произнести одну-единственную фразу. Ваша задача — убедить присяжных в том, что вы не виновны.

99

Предположим, что преступник — лжец (о чем известно суду) и вы также лжец (о чем суду не известно), но тем не менее не виновны в совершении инкриминируемого вам преступления. Вам предоставляется право произнести одну-единственную фразу. Ваша цель — убедить присяжных не только в том, что вы не лжец, но и в том, что вы не виновны. Что бы вы сказали?

100

Предположим, что вы находитесь в такой же ситуации, как и в предыдущей задаче, с единственным отличием: теперь вы виновны. Какое заявление вы бы сделали на суде, чтобы убедить присяжных (людей вполне разумных и способных рассуждать логично) в своей невиновности?

101

В этой задаче мы будем предполагать, что преступник — рыцарь. (Наше допущение внутренне непротиворечиво: чтобы совершить преступление, вовсе не обязательно лгать.) Предположим также, что вы рыцарь (о чем присяжным не известно), но не виновны в совершении преступления. Что бы вы заявили на суде?

102

Эта задачка потруднее. Предположим, что преступник — не нормальный человек, то есть либо рыцарь, либо лжец. Вы не виновны. Какое высказывание, которое могло бы исходить и от рыцаря, и от лжеца, и от нормального человека, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в своей невиновности?

103

А вот гораздо более простая задача. Известно, что преступник — не нормальный человек. Вы не преступник, но вполне нормальны. Какое высказывание, которое не могло бы исходить ни от виновного рыцаря, ни от лжеца, вы бы произнесли на суде, чтобы убедить присяжных в своей невиновности?

104

Эта задача поинтереснее. Известно, что преступник — не нормальный человек. Предположим, что 1) вы не виновны и что 2) вы не лжец.

Можете ли вы одним-единственным высказыванием убедить присяжных в этих двух фактах?

105

Эта задача в известном смысле «двойственна» предыдущей. Известно, что преступник — не нормальный человек, вы не виновны, но не рыцарь. Предположим, что по каким-то известным вам соображениям вы не прочь приобрести репутацию лжеца или нормального человека, но с презрением относитесь к рыцарям. Могли бы вы одним-единственным высказыванием убедить присяжных в том, что вы не виновны, но не рыцарь?

Г. Как жениться на дочери короля?

Наконец-то мы добрались до темы, которую вы все ожидали с нетерпением!

106

Вы, житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей, влюблены в дочь короля Маргозиту и хотите жениться на ней. Король не желает, чтобы его дочь вышла замуж за нормального человека, и дает ей отеческие наставления: «Поверь мне, дорогая, тебе действительно не следует выходить замуж за нормального человека. Нормальные люди капризны, переменчивы, на них ни в чем нельзя положиться. С ними никогда не знаешь, где находишься. Один день он говорит тебе правду, на другой день лжет. Что в этом хорошего? Рыцарь же надежен, как скала. С ним всегда знаешь, на чем стоишь. С лжецом тоже чувствуешь себя вполне уверенно: что бы он ни сказал, стоит тебе лишь заменить его высказывание противоположным, и ты знаешь, как обстоит дело в действительности. Я считаю, что у человека должны быть какие-то принципы, которым он неукоснительно следует. Если человек видит высшее наслаждение в том, чтобы говорить правду, пусть говорит правду. Если считает, что ложь превыше всего, пусть лжет. А что представляют собой эти добропорядочные нормальные люди? Так себе: серединка на половинку, ни правды, ни лжи. Нет, они не для тебя!»

Предположим теперь, что вы не нормальный человек (и поэтому имеете шанс обрести в жены дочь короля). Чтобы получить согласие короля на ваш брак с его дочерью, вам необходимо убедить его в том, что вы не нормальный человек. Король дает вам аудиенцию, во время которой вы можете произнести сколько угодно высказываний. Задача подразделяется на две части.

а) Сколько истинных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять — не нормальный человек?

б) Сколько ложных высказываний понадобится вам, чтобы убедить короля в том, что его будущий зять — не нормальный человек?

(Подчеркнем, что и в том и в другом случае речь идет о минимальном числе высказываний.)

107

На другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей король придерживался противоположных взглядов и дал дочери иные отеческие наставления: «Дорогая, я не хочу, чтобы ты вышла замуж за какого-нибудь рыцаря или лжеца. Мне хотелось бы, чтобы твой муж был солидным нормальным человеком с хорошей репутацией. Тебе не следует выходить замуж за рыцаря, потому что все рыцари — ханжи. Тебе не следует выходить замуж и за лжеца, потому что все лжецы вероломны. Нет, что ни говори, а добропорядочный нормальный человек был бы тебе как раз под пару!»

Предположим, что вы житель этого острова и нормальный человек. Ваша задача — убедить короля в том, что вы нормальный человек.

а) Сколько истинных высказываний понадобится вам для этого?

б) Сколько ложных высказываний понадобится вам для той же цели?

(И в том и в другом случае речь идет о минимальном числе высказываний.)

108

Перед вами более сложный вариант предыдущей задачи. Ее решение представляет собой альтернативу (хотя и чрезмерно сложную) решению предыдущей задачи, но, чтобы решить ее, одного лишь решения предыдущей задачи недостаточно.

Предположим, что вы житель острова рыцарей, лжецов и нормальных людей и сами нормальный человек. Король хочет, чтобы его дочь вышла замуж только за нормального человека, но требует доказательства исключительного остроумия и сообразительности от своего будущего зятя. Чтобы получить руку королевской дочери, вы должны в присутствии его величества произнести одно-единственное высказывание, которое удовлетворяло бы двум следующим условиям:

1) Оно должно убедить короля в том, что вы нормальный человек.

2) Король не должен знать, истинно или ложно ваше высказывание.

Как это сделать?

Решения

88. C — либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что C — рыцарь. Тогда по крайней мере двое из трех островитян — лжецы. Следовательно, ими должны быть A и B. Отсюда мы заключаем, что B — оборотень (так как, по его словам, он не оборотень, а по доказанному B — лжец). Итак, если C — рыцарь, то оборотень — лжец (так как им должен быть B). Предположим теперь, что C — лжец. Тогда неверно, что по крайней мере два из трех островитян — лжецы, поэтому среди них есть самое большее один лжец. Этим лжецом должен быть C. Следовательно, и A, и B — рыцари. Так как A — рыцарь и утверждает, что C — оборотень, то C действительно оборотень. Таким образом, и в этом случае оборотень — лжец (а именно C).

Следовательно, независимо от того, рыцарь ли C или лжец, оборотень — лжец (хотя в каждом случае речь идет о другом лице). Итак, ответ на первый вопрос гласит: оборотень — лжец. Кроме того, мы доказали, что оборотнем может быть либо B, либо C. Следовательно, если вы хотите выбрать себе попутчика, который заведомо не был бы оборотнем, то вам следует остановить свой выбор на A.

89. Докажем сначала, что C — рыцарь. Предположим, что C был бы лжецом. Тогда его первое высказывание было бы ложным, поэтому по крайней мере двое из трех островитян были бы рыцарями. Это означало бы, что A и B оба должны быть рыцарями (так как по предположению C — лжец). Следовательно, их высказывания были бы истинными, и они оба вопреки условиям задачи были бы оборотнями. Итак, C — рыцарь. Тогда ровно двое из трех лжецы. Ими должны быть A и B. А поскольку их высказывания ложны, то ни A, ни B не оборотни. Следовательно, оборотнем должен быть C. Таким образом, C — рыцарь и оборотень, A и B — лжецы, и ни один из них не оборотень.

90. Если бы B был лжецом, то по крайней мере один из трех островитян действительно был бы лжецом. Но тогда его высказывание было бы истинным, и мы пришли бы к противоречию, так как лжецы не говорят правды. Следовательно, B — рыцарь. Тогда высказывание A истинно, и A также должен быть рыцарем. Таким образом, и A, и B — рыцари. Так как B — рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому один из трех — рыцарь. Им должен быть C. Следовательно, он и только он оборотень.

91. A должен быть рыцарем по тем же самым причинам, по которым в предыдущей задаче был рыцарем B, а именно: если бы A был лжецом, то было бы истинным высказывание о том, что по крайней мере один из трех лжец, и мы пришли бы к противоречию (высказывание лжеца было бы истинным). Так как A — рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому по крайней мере один из трех действительно лжец. Если бы B был рыцарем, то (в силу высказывания B) C также был бы рыцарем, и все трое оказались бы рыцарями. Но в истинном высказывании A утверждается, что по крайней мере один из трех — лжец. Следовательно, B должен быть лжецом. А так как B утверждает, что C — рыцарь, то C в действительности лжец. Таким образом, A — единственный рыцарь. Следовательно, A — оборотень.

92. Из высказывания A следует, что A должен быть рыцарем и по крайней мере один из трех должен быть лжецом. Если бы B был рыцарем, то C был бы оборотнем и, значит, еще одним рыцарем, но тогда трое были бы рыцарями. Следовательно, B — Но тогда C не оборотень. Поскольку известно, что оборотень — рыцарь, то B также не может быть оборотнем. Значит, оборотень A.

93. Если бы B был рыцарем, то C был бы оборотнем и рыцарем, то есть рыцарей было бы двое. Следовательно, B — лжец, а C не оборотень. Кроме того, B, будучи лжецом, не оборотень. Значит, оборотень A.

94. Вам следовало бы выбрать A. Предположим, что B — рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, оборотень — лжец, поэтому B не может быть оборотнем. Предположим, что B — лжец. Тогда его высказывание ложно, а это означает, что оборотень в действительности рыцарь. Следовательно, и в этом случае B не может быть оборотнем.

95. Все, что вам нужно; сказать: «Я бедный лжец». Из этого высказывания ваша возлюбленная сразу же заключит, что вы не рыцарь (поскольку рыцарь не стал бы лгать и утверждать, что он бедный лжец). Следовательно, вы должны быть лжецом, а так как ваше высказывание ложно, то вы не бедный лжец. Но вы лжец, поэтому вы должны быть богатым лжецом.

96. Вам нужно сказать: «Я не бедный рыцарь». Услыхав такое признание, ваша возлюбленная стала бы рассуждать следующим образом. Если бы вы были лжецом, то вы действительно не были бы бедным рыцарем. Следовательно, ваше высказывание было бы истинным. Это означало бы, что вы, будучи лжецом, высказали истинное утверждение. Возникшее противоречие показывает, что вы рыцарь. Но тогда ваше высказывание истинно, и вы не бедный рыцарь. А поскольку вы рыцарь, то вы должны быть богатым рыцарем.

97. Эта задача имеет несколько решений. Простейшее из них состоит в следующем. Вы спрашиваете у брата вашей избранницы: «Вы и Элизабет однотипны?» Если он ответит «да», то Элизабет должна быть рыцарем независимо от того, будет ли ее брат рыцарем или лжецом. Если же он ответит «нет», то Элизабет должна быть лжецом независимо от того, кто ее брат. Докажем это.

Предположим, что на ваш вопрос брат Элизабет ответил «да». Мы знаем, что ее брат — либо рыцарь, либо лжец. Если он рыцарь, то его высказывание, утверждающее, что Элизабет рыцарь, истинно. Следовательно, Элизабет также должна быть рыцарем. Если брат Элизабет — лжец, то его высказывание ложно. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, а это означает, что Элизабет и в этом случае должна быть рыцарем. Итак, если Артур отвечает вам «да», то Элизабет рыцарь.

Предположим, что Артур отвечает «нет». Если он рыцарь, то говорит правду. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, поэтому Элизабет должна быть лжецом. Если же он лжец, то его высказывание ложно. Тогда Элизабет в действительности однотипна с ним, а следовательно, и в этом случае должна быть лжецом. Итак, если Артур отвечает вам «нет», то Элизабет — лжец.

98. Эта задача также допускает несколько решений. Простейшее и наиболее изящное из известных мне решений состоит в том, чтобы, выбрав одну из сестер (например, A), спросить у нее: «В по рангу ниже C?»^[1]

Предположим, что A отвечает «да». Тогда вы выбираете себе в невесты B, рассуждая при этом следующим образом. Предположим, что A — рыцарь. Тогда B по рангу действительно ниже C. Следовательн

© Raymond M. Smullyan, 1978

© Перевод. Ю. Данилов, наследники, 2021

© Издание на русском языке AST Publishers, 2021

От переводчика

Что может быть более далеким от истины, чем представление о математике как о застывшей науке, давно остановившейся в своем развитии и превратившейся в своего рода свод правил для решения задач? Однако такое превратное представление об одной из самых быстро развивающихся наук современности бытует у очень многих. Между тем математика непрестанно меняет свой облик, пополняет свой арсенал новыми идеями, мощными и гибкими методами, расширяет сферу приложений, черпает новые постановки задач не только из логики внутреннего развития, но и из других областей науки.

Столь странное противоречие объясняется тем, что между рубежами, завоеванными современной математикой, и традиционно читаемыми «устоявшимися» курсами математики существует разрыв, красочно описанный замечательным представителем этой науки, педагогом и популяризатором Гуго Штейнгаузом: «В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды, и они составляют значительное большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи Средневековья, а уровня математики XVIII века не достигает и один на тысячу… Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается, и идущие впереди отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование».

«Растянутость шествия всего человечества» особенно ощутима, когда речь заходит не о рецептурной, алгоритмической, а об «идейной» стороне математики.

С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепризнанным эталоном доказательности, достойным всяческого подражания (достаточно упомянуть «Этику» Спинозы, «изложенную на геометрический манер», или «Математические начала натуральной философии» Ньютона). Строгость математических доказательств, непреложность получаемых с их помощью выводов, незыблемость математических истин вошли в поговорку. Но прописные истины, подобно разменной монете, от частого употребления стираются и теряют в весе. Доверять им по меньшей мере неосмотрительно, а получить достоверную информацию о действительном положении вещей нелегко не только для человека далекого от математики, но и для математика, не занимающегося специально проблемами оснований математики и математической логики. Те, кто, желая похвалить обоснованность чьей-либо аргументации, с легкостью называют ее математически строгой и безупречной, как правило, не в состоянии объяснить, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», или ответить, всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть. Подобные вопросы способны поставить в тупик и несравненно более искушенного в математике нематематика, который умеет вычислить значение истинности таких высказываний, как «Речка движется и не движется», или импликации «“Если” гром не грянет, “то” мужик не перекрестится», знает, чем исключающее «или» (Либо пан, либо пропал) отличается от неисключающего (Надобно либо уменье, либо везенье, «а лучше всего и то, и другое»), постиг различие между причинно-следственной связью и импликацией и усвоил немало других премудростей алгебры логики.

Простота подобных вопросов обманчива, их наивность иллюзорна. Они затрагивают тонкие и глубокие проблемы теории логического вывода и оснований математики, над решением которых трудилось не одно поколение логиков, математиков и философов. При всей общности понимания того, что составляет существо математического доказательства и преемственности поколений, каждая эпоха вносит свой вклад в недостижимый идеал математической строгости, вводя поправки и дополнения в то, что было сделано ранее.

Предлагаемая вниманию читателя книга американского ученого Рэймонда М. Смаллиана, известного своими работами в области математической логики, опровергает известные слова Пифагора о том, что в математику нет царской дороги. Перед ее читателем открывается редкая, чтобы не сказать уникальная, возможность проникнуть в существо одного из величайших достижений математической логики нашего века – в доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. По занимательности, динамичности и напряженности действия книга Смаллиана не уступает лучшим образцам приключенческого жанра. Намного превосходя по глубине научного содержания большинство научно-популярных произведений и даже отдельные сугубо научные издания, книга Смаллиана помогает читателю совершить головокружительное восхождение от «дурацких штучек» (как автор называет элементарные логические задачи, не требующие для своего решения ничего, кроме находчивости, внимания и здравого смысла) к одной из вершин современной математической логики, на покорение которой обычно приходится затрачивать немало сил и средств. Попутно автор знакомит читателя со своенравной Порцией и ее не менее своенравными прапра…правнучками до N-го колена, проницательным инспектором Крэгом, искусными мастерами Челлини и Беллини, приглашает побывать на островах, населенных рыцарями, неизменно говорящими правду, и столь же неукоснительно лгущими лжецами, побывать в замке графа Дракулы Задунайского и, пережив множество увлекательных приключений, завершить необычайное путешествие на гёделевых и дважды гёделевых островах.

С непостижимой ловкостью фокусника (не все ученые коллеги автора знают, что в годы аспирантуры он выступал в этом качестве на профессиональной эстраде) Смаллиан демонстрирует новые, порой весьма неожиданные варианты известных задач, изобретает необычайно изящные головоломки собственной конструкции, раскрывая перед читателем логику «во всем ее блеске и великолепии».

Профессор Смаллиан умеет неопровержимо доказать, что либо он, либо читатель не существует, причем неизвестно, какая из альтернатив истинна! Чтобы постичь столь высокое искусство доказательства, необходимо внимательно прочитать его книгу. Поэтому пока мы ограничимся утверждением (с истинностью которого не может не согласиться даже тот, кто не читал книги), что книга Смаллиана с неуловимо исчезающим названием «Как же называется эта книга?» (попробуйте объяснить кому-нибудь, как она называется, и вы поймете, что имеется в виду) попадет в руки либо читателю, интересующемуся математикой, либо читателю, для которого математика не представляет ни малейшего интереса (хотя заранее неизвестно, какая альтернатива уготована тому или иному экземпляру книги). С неменьшей уверенностью можно утверждать, что и тот и другой прочитают ее с интересом и пользой.

Ю. Данилов

Посвящается Линде Ветцель и Джозефу Бевандо, чьи мудрые советы были для меня неоценимы

Я хочу от души поблагодарить…

Прежде всего моих добрых друзей Роберта и Ильзу Коуэн и их десятилетнюю дочь Ленору, прочитавших рукопись этой книги и высказавших множество полезных советов. (В частности, Ленора угадала правильный ответ на ключевой вопрос главы 4: существует ли Трулюлю в действительности или его выдумал Шалтай-Болтай?)

Выражаю свою искреннюю признательность Григу и Мелвину Фиттингамт (авторам чудесной и полезной книги «Во славу простых вещей») за их интерес к моей работе и за то, что они обратили на нее внимание Оскара Коллиера из издательства «Прентис-холл». Думаю, что мне следует особо поблагодарить Мелвина за то, что он возник в этой книге (опровергнув своим появлением мое доказательство того, что он никак не мог бы появиться!).

Работать с Оскаром Коллиером и другими сотрудниками издательства «Прентис-холл» для меня было удовольствием. Миссис Илене Макгрэт, перепечатавшая рукопись книги, высказала много полезных советов, которые я с благодарностью принял. Выражаю признательность Дороти Лахман, весьма изобретательно находившей нужные детали и оттенки.

Я хотел бы еще раз подчеркнуть роль Джозефа Бевандо и Линды Ветцель, которым посвящена эта книга. Они были моими преданными и надежными помощниками на протяжении всей работы над книгой.

Я благодарен моей жене Бланш, помогавшей мне своими вопросами. Надеюсь, что эта книга поможет ей решить, за кого она вышла замуж: за рыцаря или за лжеца.

Рэймонд М. Смаллиан

Часть первая

Логические развлечения

I. Одурачен или не одурачен?

1. Остался ли я в дураках?

Мое первое знакомство с логикой произошло, когда мне было шесть лет. Случилось это 1 апреля 1925 г. В тот день я был болен гриппом, инфлюэнцей или чем-то еще в этом же роде. Утром ко мне в спальню заглянул мой брат Эмиль (он на десять лет старше меня) и сказал: «Рэймонд, сегодня первое апреля, день шуток и розыгрышей, и я одурачу тебя так, как тебя еще никто не одурачивал!» Весь день я терпеливо ждал, когда Эмиль меня одурачит, но он так и не появился. Поздно вечером мама спросила: «Рэймонд, почему ты не спишь?» Я ответил: «Жду, когда Эмиль меня одурачит». Мама позвала Эмиля и строгим голосом приказала: «Эмиль, немедленно разыграй малыша! Он ждет, когда ты его одурачишь». Эмиль послушно направился к моей кроватке, и между нами произошел следующий диалог.

Э м и л ь. Ты с утра ждешь, когда я тебя одурачу?

Р э й м о н д. Жду.

Э м и л ь. Я никак тебя не одурачиваю. Верно?

Р э й м о н д. Верно!

Э м и л ь. Но ведь ты ждал, что я тебя одурачу?

Р э й м о н д. Ждал.

Э м и л ь. Вот я тебя и одурачил.

Помнится, в тот день я долго еще ворочался в постели после того, как мама выключила свет, и ломал голову над тем, оставил меня брат в дураках или не оставил. С одной стороны, если брат меня не одурачил, то я не получил того, что мне было обещано, и, следовательно, остался в дураках. (Так рассуждал мой старший брат.) Но с тем же основанием можно утверждать, что если брат меня одурачил, то я получил обещанное, и тогда непонятно, в каком смысле меня следует считать оставшимся в дураках. Как же все-таки обстоит дело: одурачил меня брат или не одурачил?

Я не стану сейчас отвечать на этот вопрос. В нашей книге мы еще не раз вернемся к нему в той или иной форме. В нем воплощен некий тонкий принцип, который будет одной из главных тем нашей книги.

2. Лгал ли я?

Аналогичный случай произошел со мной много лет спустя, когда я был аспирантом Чикагского университета. В ту пору я выступал на эстраде как профессиональный фокусник, но в моих делах произошла небольшая заминка, и мне необходимо было экстренно изыскать способ, как восполнить убытки. Я решил попробовать, не подойдет ли мне работа коммивояжера. Предложив свои услуги компании, занимавшейся торговлей пылесосами, я получил приглашение явиться для проверки профессиональной пригодности. Среди прочих мне задали вопрос: «Не возражаете ли вы против того, что вам время от времени придется немного лгать?» У меня были весьма сильные возражения. Ложь, исходящую от коммивояжера, я считал особенно недопустимой, так как она создает превратное представление о продукции. Однако, подумав про себя, что если я выскажу вслух свое мнение, то заведомо лишусь работы, я солгал и сказал: «Нет, не имею ничего против».

По дороге домой мне пришло в голову следующее. Я спросил себя, вызывает ли у меня какие-нибудь возражения данный мной лживый ответ, и сказал «Нет». А поскольку я не имею ничего против этой конкретной лжи, то, значит, я не возражаю и против любой лжи. Следовательно, мой ответ «Нет» при проверке профессиональной пригодности был не ложью, а истиной!

До сих пор мне не вполне ясно, солгал я тогда или не солгал. С помощью формальной логики мне удалось бы доказать, что я изрек истину, так как допущение о том, что я лгал, приводит к противоречию. Таким образом, логика вынуждает меня поверить в то, что я сказал истину. Но в то же время меня не покидает ощущение, что я солгал!

Коль скоро речь зашла о лжи, я не могу не вспомнить случай, происшедший с Бертраном Расселлом и философом Дж. Э. Муром. Расселл отзывался о Муре как об одном из самых правдивых людей, с которыми ему когда-либо приходилось встречаться. Однажды Рассел спросил Мура: «Случалось ли вам солгать?» Мур ответил: «Да!» Комментируя этот краткий диалог, Расселл заметил: «Думаю, что это была единственная ложь, высказанная Муром!»

Случай, происшедший со мной в молодости, когда я вознамерился было стать коммивояжером, поднимает вопрос о том, может ли человек лгать, не зная, что он лжет. Я бы ответил на такой вопрос отрицательно. Я считаю, что лгать – означает высказывать не просто ложное, а заведомо ложное утверждение. Действительно, если кто-то высказывает утверждение, считая его ложным, а оно оказывается истинным, то я бы сказал, что этот «кто-то» лжет.

В одном из учебников по аномальной психологии я прочитал о следующем происшествии. Врачи в психиатрической лечебнице собирались выписать пациента, страдающего шизофренией, и решили подвергнуть его проверке при помощи детектора лжи. Среди прочих пациенту был задан вопрос: «Вы Наполеон?» Пациент ответил отрицательно. Детектор показал, что он лжет.

Следующий эпизод, также вычитанный мной из какой-то книги, свидетельствует о том, что иногда животные способны лукавить. В комнате, к потолку которой на бечевке был подвешен банан, ставился эксперимент на шимпанзе. Банан висел так высоко, что дотянуться до него было невозможно. В комнате находились шимпанзе и экспериментатор и, если не считать банана и бечевки, не было ничего, кроме нескольких деревянных ящиков различных размеров. Цель эксперимента состояла в том, чтобы установить, сообразит ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду, взобраться на нее и достать банан. А вот что произошло на деле. Экспериментатор стоял в углу комнаты и наблюдал за поведением шимпанзе. Обезьяна подошла к нему и стала настойчиво тянуть за рукав на середину комнаты. Экспериментатор, уступая нажиму, медленно последовал за шимпанзе. Когда они дошли до середины комнаты, обезьяна внезапно вспрыгнула ему на плечи и схватила банан.

3. Шутка, обернувшаяся против меня

У моего товарища по аспирантуре в Чикагском университете было двое братьев в возрасте шести и восьми лет. Я бывал у них дома и часто показывал ребятам фокусы. Однажды я пришел и предложил: «Хотите, я покажу вам необыкновенный фокус? Превращу вас в львов!» К моему удивлению, один из братьев охотно согласился. «Вот будет здорово! – сказал он. – Непременно преврати нас в львов!» Я попытался отговориться: «Пожалуй, этого не следует делать, потому что превратить вас потом снова в людей было бы невозможно». Младший брат ответил: «Все равно преврати нас в львов. Ну пожалуйста!» «Но я же не смогу вернуть вам человеческий облик!» – пытался выкрутиться я. «Я хочу, чтобы ты превратил нас в львов!» – закричал в ответ старший брат, а младший спросил: «А как это делается?» «При помощи волшебных слов», – ответил я. «А что это за слова?» – поинтересовался один из братьев. «Чтобы сказать тебе волшебные слова, мне придется произнести их вслух, и тогда вы превратитесь в львов», – схитрил я. Братья задумались, а потом один из них спросил: «А нет ли таких волшебных слов, которые могли бы превратить нас из львов снова в людей?» «Есть, – ответил я, – но дело в том, что как только я произнесу первые волшебные слова, то не только вы, но и все люди на свете, в том числе и я сам, превратятся в львов. Львы не умеют говорить, и поэтому на целом свете не останется никого, кто смог бы произнести другие волшебные слова и снова превратить нас в людей». Старший брат сказал: «Не можешь сказать, тогда напиши волшебные слова!» Младший забеспокоился: «Тебе хорошо, а я еще не научился читать!» Я попытался успокоить его: «Волшебные слова обладают такой силой, что даже если их молча написать на клочке бумаги, то все люди на свете все равно превратятся в львов». Братья разочарованно вздохнули.

Примерно через неделю я встретил восьмилетнего брата, и он остановил меня: «Привет, Смаллиан! Я как раз хотел задать тебе один вопрос». Не подозревая подвоха, я спросил: «О чем?» Мальчик ответил: «Как же ты сам ухитрился узнать волшебные слова?»

II. Головоломки и дурацкие штучки

А. НЕСКОЛЬКО СТАРЫХ ДОБРЫХ ЗНАКОМЫХ

Начнем с нескольких хорошо известных головоломок, служивших развлечением не одному поколению. Некоторые из них покажутся вам знакомыми, но даже в них вы обнаружите новые подробности.

4. На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Загадка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают на нее неправильный ответ, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Загадка звучит так.

Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» – спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один как перст. И все ж отец того, кто на портрете, – сын моего отца (вы не ослышались, все верно – сын!)».

Чей портрет разглядывает человек?

5

Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: «В семье я рос один как перст. И все же сын того, кто на портрете, – сын моего отца (вы не ослышались, все верно – сын!)».

Чей портрет разглядывает этот человек?

6. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?

Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом – столб, который нельзя ни повалить, ни сломать. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

7

Следующая очень простая задача – одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

8

Новый поворот в предыдущей задаче. Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

9

Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее:

1. Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.

2. Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.

3. Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.

Какова наибольшая численность населения Поданка?

10. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц А, В и С. А ненавидел С и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал С). Независимо от А другой караванщик В также решил убить С и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней С умер от жажды. Спрашивается, кто убийца? А или В? Одни считают убийцей караванщика В, поскольку С все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом А, и умер бы, даже если бы А не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика А, так как, по их мнению, действия караванщика В не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро А отравил воду, С обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг В не проделал дырочку в бурдюке с водой.

Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. «Не знаю, подойдет ли тебе работа, – сказал он. – Мы здесь валим лес». Лесоруб обрадовался: «Эта работа как раз по мне». Управляющий решил испытать его в деле. «Вот топор, – сказал он. – Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево». Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. «Великолепно, – сказал он, – а теперь попробуй повалить вон то большое дерево». Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами – трах, бах! – повалил и его. «Невероятно! – воскликнул управляющий. – В жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?» «Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары», – ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. «Вы хотели сказать в пустыне Сахаре?» – переспросил он. «Теперь там пустыня», – пояснил лесоруб.

11. Еще один юридический казус

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: «Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу».

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

12. Двое краснокожих

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, – не его отец. Как вы это объясните?

13. Часы остановились

Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

14. Задача о медведе

Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, которыми они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Б. ДУРАЦКИЕ ШТУЧКИ

Я долго колебался, не зная, как назвать эту книгу. Перебрал множество названий типа «Занимательная логика», «Логические забавы и развлечения», но никак не мог выбрать подходящее. Тогда я решил заглянуть в Большой энциклопедический словарь. Раскрыв его на статье «Развлечения», я прочитал: «См. Увеселения». Последовав совету, я почерпнул множество полезнейших сведений о буффонаде, играх, забавах, занимательных потехах, проказах, развлечениях, шалостях, шутках, шутовстве и юморе. Я узнал, что можно подшутить над кем-нибудь, устроить розыгрыш, затеять возню, устроить кутерьму, поднять пыль столбом, дым коромыслом и что бывают выходки, проделки, ужимки и даже «дурацкие штучки». Добравшись до этого выражения, я рассмеялся и сказал жене: «Знаешь, мне кажется, что “Дурацкие штучки” – великолепное название для моей книги». Однако, сколь ни выразительным было бы такое название, оно могло бы создать у читателя неправильное представление о ее содержании в целом, поскольку многие ее разделы вряд ли подходят под него. Тем не менее вы вскоре увидите, что название «Дурацкие штучки» как нельзя лучше подходит для названия этого раздела.

15. Две монеты

У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

16

Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

17

Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда – пешком – еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

18. Грамматический вопрос

Если вы любите грамматику, то вас, может быть, заинтересует следующий вопрос. Как правильно сказать: «не вижу белый желток» или «белого желтка»?

19. Задача о железнодорожном движении

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час-другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

20. Наклон крыши

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой – угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо – в сторону более пологого или крутого ската?

21. Сколько девяток?

Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

22. Беговая дорожка

Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

23. Вопрос международного права

Предположим, что на границе между Соединенными Штатами Америки и Канадой произошла авиационная катастрофа. В какой из двух стран, по вашему мнению, должны быть похоронены уцелевшие пассажиры?

24. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: «Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!»

Как вы это объясните?

25. И последний вопрос

И наконец, последний вопрос: как называется эта книга?

РЕШЕНИЯ

4. Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: «Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет».

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: «Самого себя». Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло «и все же тот, кого мы видим на портрете, – сын моего отца». Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что «отец того, кто на портрете, – сын моего отца». Отсюда следует, что отец человека на портрете – я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете – сын моего отца.

Подставляя краткое «я» вместо более громоздкого выражения «сын моего отца», преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете – я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

5. В этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

6. При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу дело обстоит так, как если бы я спросил у вас: «Живут на свете два человека – Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?» Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: «Вы либо лжете, либо ошибаетесь».

7. Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

8. В ящике 4 носка.

9. На вопрос первой задачи ответ утвердительный. Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек – например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

10. Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать «правильными» или «неправильными». В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика С, то его недруга А. Если бы я был защитником караванщика В, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика В способствовали продлению жизни караванщика С (хотя это и не входило в намерения караванщика В), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика А мог бы возразить мне: «Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если С в действительности не выпил ни капли яда?» Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и А, и В виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости несравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне неизвестна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем. Мне кажется, что об этой головоломке можно было бы написать целую книгу.

11. Обвиняемые были сиамскими близнецами.

12. Тот из краснокожих, кто повыше ростом, – мать того, кто ростом пониже.

13. Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

14. Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике – вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить от Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник – в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственное. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь – в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу, на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса, и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в ⅓ от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы «насолить» автору задачи.

15. Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

16. Как может покойник жениться на ком-нибудь?

17. Человек, живущий на двадцать пятом этаже, – лилипут и не может дотянуться до кнопки «25 этаж» на пульте лифта.

Один мой знакомый (о котором никак нельзя сказать, что он умеет мастерски рассказывать анекдоты) однажды рассказывал эту задачу-шутку в компании, где был и я. Начал он свой рассказ так: «В одном доме на двадцать пятом этаже жил лилипут…»

18. Правильнее было бы сказать, что желток желтый.

19. Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

20. Петухи не откладывают яйца.

21. Двадцать.

22. Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

23. Вряд ли стоит хоронить тех, кто уцелел в авиационной катастрофе!

24. Хирург был матерью Артура Смита.

25. К сожалению, я никак не могу припомнить название этой книги, но не беспокойтесь: рано или поздно я непременно вспомню, как же называется эта книга.

III. Рыцари и лжецы

А. ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ЛЖЕЦОВ

Существует множество хитроумных задач об острове, населенном «рыцарями», всегда говорящими только правду, и лжецами, изрекающими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец. Мы начнем с одной хорошо известной задачи этого типа, а затем я приведу серию новых задач, которые придумал сам.

26

Итак, начнем с давно известной задачи. Трое жителей острова (А, В и С) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?» «А сказал, что он лжец», – ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» – вмешался в разговор островитянин С.

Кто из островитян В и С рыцарь и кто лжец?

27

Когда я впервые встретил предыдущую задачу, мне сразу же бросилось в глаза, что С по существу бездействует, исполняя роль своего рода «бесплатного приложения». Действительно, когда В высказался, то ложность его утверждения можно было бы установить и без вмешательства С (см. решение предыдущей задачи). Следующий вариант задачи позволяет избавиться от «излишеств» в условиях.

Предположим, что незнакомец задал А другой вопрос: «Сколько рыцарей среди вас?» И на этот вопрос А ответил неразборчиво. Поэтому незнакомцу пришлось спросить у В: «Что сказал А?» В ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь». И тогда С закричал: «Не верьте В! Он лжет!»

Кто из двух персонажей В и С рыцарь и кто лжец?

28

В этой задаче два персонажа: А и В. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А высказывает следующее утверждение: «По крайней мере один из нас лжец».

Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?

29

Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь».

Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?

30

Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или два плюс два – пять». К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?

31

Перед нами снова три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и В) высказывают следующие утверждения:

А: Мы все лжецы.

В: Один из нас рыцарь.

Кто из трех островитян А, В и С рыцарь и кто лжец?

32

Предположим, что А и В высказывают следующие утверждения:

А: Мы все лжецы.

В: Ровно один из нас лжец.

Можно ли определить, кто такой В: рыцарь или лжец?

Можно ли определить, кто такой С?

33

Предположим, что А высказывает утверждение: «Я лжец, а В не лжец».

Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?

34

Перед нами в очередной раз три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся называть двух островитян однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть А и В высказывают следующие утверждения:

А: В – лжец.

В: А и С однотипны.

Кто такой С: рыцарь или лжец?

35

Перед нами снова трое островитян А, В и С. А высказывает утверждение: «В и С однотипны». Кто-то спрашивает у С: «А и В однотипны?»

Что ответит островитянин С?

36. Небольшое происшествие

Эта головоломка необычна. Кроме того, в основу ее положено подлинное происшествие. Однажды, когда я гостил на острове рыцарей и лжецов, мне встретились два местных жителя. Я спросил у одного из них: «Кто-нибудь из вас рыцарь?» Мой вопрос не остался без ответа, и я узнал то, что хотел узнать.