Время переменных. Математический анализ в безумном мире бесплатное чтение

Бен Орлин
Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Переводчик Виктория Краснянская

Научный редактор Константин Кноп

Редактор Антон Никольский

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта А. Шувалова

Арт-директор Ю. Буга

Корректоры М. Миловидова, И. Панкова

Компьютерная верстка А. Фоминов

© 2019 by Ben Orlin

© 2019 by Hachette Book Group, Inc.

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2021

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

⁂

ВСЕМ СТУДЕНТАМ И ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ ТЕХ ШКОЛ, КОТОРЫЕ СТАЛИ МНЕ ДОМОМ

Последовало молчание. Через какое-то время он спросил:

– Как ты пришла к этим мыслям о Боге?

– Я искала Бога, – ответила я. – Мне не нужна была мифология, мистика или магия. Я не знала, существует ли Бог на самом деле, но хотела узнать. Бог должен быть силой, которую не может отрицать никто и ничто.

– Чтобы совершать изменения?

– Да, изменения.

– Но это не Бог. Это не человек, не интеллект и даже не вещь. Это просто… Я даже не знаю. Идея.

Я улыбнулась. Было ли это критическое замечание таким ужасным?

ОКТАВИЯ БАТЛЕР.

ПРИТЧА О СЕЯТЕЛЕ

Введение

Какой-то миллион дней назад философ Парменид спрашивал: «Что это – несозданное и неразрушимое, единственное, завершенное, неподвижное и бесконечное?» Это философия чистой воды. Парменид не признавал никакого разделения, никаких отличий, ни будущего, ни прошлого. «У Бытия нет ни прошлого, ни будущего, – объяснял он, – оно есть чистое настоящее, непрерывное и непрекращающееся». Для Парменида Вселенная была чем-то вроде транспортного потока в Лос-Анджелесе: вечной, единственной в своем роде и неизменной.

Миллион дней спустя эта идея продолжает выглядеть очень глупой.

Да ладно тебе, Парменид! Ты можешь убаюкивать нас стихами и засыпать прилагательным, но мы не так легковерны. Миллион дней назад не было ни буддистов, ни христиан, ни мусульман, потому что ни Будда, ни Иисус, ни Магомет еще не родились. Миллион дней назад итальянцы не ели томатный соус, потому что современной Италии^[1] не существовало, а ближайшее место, где росли помидоры, было в десяти тысячах километров. Миллион дней назад по Земле ходило 50 или 100 миллионов человек; сегодня такое количество людей каждый год посещает тематические парки Диснея.

На самом деле, Парменид, миллион дней назад теми же самыми, что и сегодня, были только две вещи: (1) вездесущность изменений и (2) глубокомысленная и безнадежная неправильность твоей философии.

Парменид в последний раз упоминается в этой книге (хотя его преданный ученик Зенон еще появится позже). «Счастливое избавление от одетых в тоги неудачников», – сказал бы я. А теперь мы перенесемся через время, минуя более мудрого современника Парменида, Гераклита («нельзя войти в одну реку дважды»), чтобы оказаться в конце XVII в., каких-то 120 000 или 130 000 дней назад. Именно тогда ученый по имени Исаак Ньютон и энциклопедист Готфрид Лейбниц дали жизнь главному действующему лицу этой книги. Это был новый математический язык, язык изменений, попытка количественно оценить те движения и процессы, которые постоянно происходят вокруг нас на Земле.

Сегодня мы называем такую математику «математическим анализом».

Первый инструмент математического анализа – производная. Это мгновенный показатель изменения, демонстрирующий нам, как что-то развивается в определенный момент времени. Возьмите, к примеру, точную скорость яблока в то мгновение, когда оно ударило Ньютона по макушке. За секунду до этого фрукт двигался чуть-чуть медленнее, а секундой позже он направился совершенно в другую сторону, как и история всей физики. Но производную не заботит, что было секундой раньше или секундой позже. Она указывает только на этот момент, на бесконечно малый отрезок времени.

Второй инструмент математического анализа – интеграл. Это сумма бесконечных кусочков времени, каждый из которых чрезвычайно мал. Интеграл показывает, как можно объединить ряд дисков, каждый из которых по толщине напоминает самую тонкую пленку, так, чтобы создать твердое тело – сферу. Или как группа людей, крошечных и ничтожных, как атомы, может собраться вместе и создать целую цивилизацию. Или как ряд моментов, каждый из которых сам по себе продолжается ноль секунд, может составить час, столетие, вечность.

Каждый интеграл говорит о всей совокупности целиком, о галактических масштабах, которые каким-то образом могут попасть в панорамные объективы нашей математики.

Производная и интеграл имеют заслуженную репутацию как специализированные математические инструменты. Но я считаю, что они могут дать нам больше. Мы с вами словно крошечные суденышки, которые несет по волнам, захватывает в водовороты и бросает на скалы. Производная и интеграл, как я утверждаю, – это карманные философские системы, раздвижные весла для того, чтобы проложить путь через выходящую из берегов мировую реку.

Таким образом, эта книга является попыткой извлечь мудрость из математики.

В первой части – «Мгновения» – мы узнаем истории о производных. Каждая из них выхватывает момент из журчащего потока времени. Мы рассмотрим миллиметр лунной орбиты, крошку намазанного маслом бутерброда, беспорядочное движение пылинки и молниеносные решения, которые принимает собака. Если сравнить производную с микроскопом, то каждая из этих историй – тщательно выбранное изображение на предметном стекле, явление в миниатюре.

Во второй части – «Вечности» – мы обратимся к интегралу и его способности объединять бесконечно малые частицы в единый поток. Мы будем иметь дело с кругом, состоящим из крошечных частичек, с армией из несметного количества солдат, линией горизонта, образованной неотличимыми друг от друга строениями, и космосом, наполненным миллиардами триллионов звезд. Если уподобить интеграл кинотеатру, то каждая из этих историй – широкомасштабная эпическая поэма, которую вы должны смотреть в кино. Телевизора здесь будет недостаточно.

Я хочу сразу разъяснить, что книга, которую вы держите в руках, не научит вас математическому анализу. Это не структурированный учебник, а многоликий и скромно иллюстрированный «сборник фольклора», написанный обычным, не специальным языком для широкого круга читателей. Возможно, вы совершенно не знакомы с математическим анализом, а, может быть, плотно им занимаетесь, но я надеюсь, что эти истории в любом случае позабавят вас и станут небольшим откровением.

Эту книгу никоим образом нельзя считать законченной: в ней нет историй об искривлении света Ферма, тайной анаграмме Ньютона, невозможных функциях Дирака и многом другом. Но в постоянно меняющемся мире никакое сочинение не может быть исчерпывающим, никакая мифология не заканчивается. Река всегда течет и меняется.

БЕН ОРЛИН,

ДЕКАБРЬ 2018 Г.

Момент перемен – это единственная поэма.

АДРИЕННА РИЧ

Мгновения

I
Мимолетное вещество времени

Яромир Хладик написал несколько книг, но они не принесли ему удовлетворения. В одной он видел «всего лишь прилежание»^[2]. Другую характеризовали «небрежность, вялость, неточность». Третья пыталась доказать несостоятельность ошибочной идеи, но делала это с помощью «не менее ложных доказательств». Я сам давал жизнь лишь книгам, безупречным и сверкающим не более, чем рекламные ролики зубной пасты, но все же могу глубоко ему посочувствовать, особенно небольшому лицемерию, которое помогало Хладику в повседневной жизни. «Подобно всякому писателю, – говорит Хорхе Луис Борхес, – он судил о других по их произведениям, но хотел, чтобы о нем судили по замыслам».

А что же было в планах у Хладика? О, Хладик рад, что вы спросили! Он пишет драму в стихах «Враги», и ей предстоит стать никак не меньше, чем шедевром. Она войдет в его наследие, усмирит его шурина и даже вернет «фундаментальный смысл бытия». Но только если ему удастся преодолеть небольшое препятствие – ну знаете, написать ее.

Здесь я хочу извиниться перед читателями, потому что история принимает мрачный оборот. Хладика – еврея в захваченной фашистами Праге – арестовывает гестапо. За судом на скорую руку следует смертный приговор. Накануне казни герой обращается к Богу:

Если я не одна из Твоих ошибок и повторений, если я существую на самом деле, то существую лишь как автор «Врагов». Чтобы окончить драму, которая будет оправданием мне и Тебе, прошу еще год. Ты, кто владеет временем и вечностью, дай мне этот год!

Проходит бессонная ночь, наступает рассвет – время казни – и, когда сержант уже отдает последний приказ расстрельной команде, когда Хладик замирает в преддверии смерти, когда кажется, что все уже безвозвратно потеряно… Вселенная застывает.

Господь даровал Хладику тайное чудо. Это единственное мгновение с каплей, скатывающейся по его щеке, и смертоносными пулями, повисшими в воздухе, увеличилось, растянулось, расширилось. Мир остановился, но мысли героя нет. Теперь Хладик может закончить свою драму, составляя и доводя до совершенства строки в своем сознании. Этот момент будет длиться год.

Сейчас, на переломе судьбы, которой никто не мог бы позавидовать, Хладик получает подарок, способный стать предметом зависти любого.

«Цель каждого художника, – однажды написал Фолкнер, – художественными средствами остановить [на картине] течение самой жизни и закрепить его». (Разумеется, сам Хладик является плодом фантазии писателя Хорхе Луиса Борхеса.) «Tempus fugit», – писал Исаак Ньютон, что означает: время бежит. «Tempus fugit, – заявляли средневековые солнечные часы, – время бежит». Хотя наши цели различаются, все мы – художники, ученые и даже те болтливые невежды, которых мы зовем «философами», – охотимся за одним и тем же невероятным призом. Мы хотим поймать время, удержать в руках мгновение так, как это сделал Хладик.

Увы, время уклоняется и ускользает. Вспомните знаменитый «парадокс стрелы» от неисправимого греческого тролля Зенона Элейского.

Идея: представьте себе стрелу, летящую в воздухе. Теперь мысленно остановите ее, как это произошло при расстреле Хладика. Стрела по-прежнему движется? Нет, конечно, нет – стоп-кадр по определению является застывшим. В любой отдельно взятый момент стрела неподвижна. Но если время состоит из моментов, а ни в один момент стрела не движется… тогда как же она может двигаться?

Философы в Древнем Китае играли в подобные игры разума. «То, что не поддается измерению, не может быть собрано в целое, – писал один из них. – Оно имеет размер в тысячу километров». В математическом смысле мгновение не имеет измерений. Оно не обладает ни длиной, ни протяженностью. Оно длится ноль секунд. Но, поскольку ноль, умноженный на ноль, равен нулю, два мгновения также составляют нулевое время. Это же относится и к десяти мгновениям, и к тысяче, и к миллиону. Получается, что любое исчисляемое количество мгновений будет в целом продолжаться ноль секунд.

Однако если никакое количество мгновений никогда не складывается ни в какое время, то откуда взялись месяцы, годы и матчи по крикету? Как стремящиеся к нулю мгновения составляют бесконечную временну́ю линию?

Вирджиния Вульф отмечала, что время «заставляет растения и животных расцветать и увядать с потрясающей пунктуальностью». Но «не оказывает такого простого эффекта на сознание человека. Более того, его разум работает с одинаковой странностью, независимо от того, в каком времени находится тело».

Мы охотимся за моментами истории, уродуя время. С помощью песочных часов и размеченных свечей мы поделили день на часы. С помощью маятников и передаточных механизмов разбили часы на минуты (слово «минута» означает «малая» [часть часа]) и после этого – на секунды (более мелкая единица второго порядка, мельчайшая часть минуты). Далее мы разложили время на миллисекунды (половина взмаха крыльев мухи), микросекунды (яркий проблеск стробоскопа) и наносекунды (за каждую из которых свет совершает путешествие на 30 сантиметров), не говоря уж о пико-, фемто-, атто-, зепто- и йоктосекундах. Затем поток названий истощился, предположительно потому, что у доктора Сьюза кончились идеи, но мы продолжаем «мельчить» время. В конце концов вечность распадается на единицы планковского времени, составляющие примерно одну миллиардную триллионной доли йоктосекунды, или количество времени, необходимое для того, чтобы свет прошел пути через протон. Ни один инструмент не может выйти за пределы этой максимальной краткости: физики настаивают, что это наименьшая значимая единица времени, насколько мы можем его понимать (или, как я, не понимать).

Где же, где же ты, мгновение? Где-то за планковским временем? Если мы не можем ни собрать моменты в интервалы, ни разбить интервалы на моменты, так чем же тогда являются эти невидимые, неделимые вещи? Пока я пишу книгу в обычном мире бегущего времени, в каком же искрящемся немире создает свое произведение Хладик?

В XI в. математики впервые нащупали ответ на этот вопрос. В то время как европейские мудрецы рвали на себе волосы, пытаясь рассчитать дату Пасхи, индийские астрономы занимались предсказанием солнечных затмений. Им требовалась ювелирная точность. Астрономы начали членить единицы времени так давно, что прошло почти 1000 лет, прежде чем появились какие-то приборы, которые могли бы их измерить. Одна трути равна менее чем 1/30 000 секунды.

Эти бесконечно малые частицы времени проложили дорогу к понятию, которое называется таткалика-гати – мгновенное движение. Как быстро и в каком направлении движется Луна в данный конкретный момент?

А что насчет этого момента?

А как сейчас?

А сейчас?

В наши дни таткалика-гати известна под более скучным названием – производная.

Возьмем движущийся велосипед. Производная измеряет, как быстро изменяется его положение, то есть скорость велосипеда в отдельно взятый момент. На графике внизу это отражается в кривизне линии. Более крутая кривая указывает на более быстрый велосипед и, таким образом, бо́льшую производную.

Конечно, в любой отдельно взятый момент велосипед, как и стрела Зенона, неподвижен. Таким образом, мы не можем рассчитать производную в застывшем кадре. Вместо этого мы работаем с помощью сокращения интервала. Во-первых, определим скорость велосипеда в десятисекундный интервал, затем попробуем интервал в одну секунду, затем – 0,1 секунды, 0,01 и 0,001…

Таким хитрым способом мы незаметно подкрадываемся к мгновению, подступаем все ближе, ближе и ближе, пока рисунок не проступает совершенно явственно.

Для другого примера возьмем реакцию синтеза, когда два элемента соединяют свои молекулы, чтобы создать новый химический элемент. Производная измеряет, как быстро растет концентрация вещества, то есть скорость реакции в отдельно взятый момент.

Или представим себе остров, переполненный кроликами. Производная измеряет, насколько быстро меняется размер популяции, то есть скорость ее роста в данный конкретный момент. (Для этого графика мы должны на непродолжительное время принять выдумку о «дробных кроликах», но если ваша вера в невероятное зашла столь далеко, то, я уверен, вы справитесь с любой задачей.)

Этот «хлеб с маслом» всех математиков странным образом похож на поэтическую фантазию. Производная – «мгновенное изменение», она захватывает движение в отдельный момент, как будто ловит молнию в бутылку. Это отрицание Зенона, который сказал, что в отдельно взятое мгновение ничего случиться не может, и оправдание Хладика, который верил, что за один момент может произойти все что угодно.

Теперь, вероятно, вы можете себе представить, как закончилась история Хладика. 12 месяцев он сочинял свою пьесу. «Он трудился не для потомства, – говорит Борхес, – даже не для Бога, чьи литературные вкусы были ему неведомы». Он писал для себя. Он работал, чтобы удовлетворить то, что Томас Вулф считал вечной жаждой художника:

…Навечно закрепить в нерушимых структурах единственный момент человеческого бытия, единственный момент красоты жизни, страсти и неописуемого красноречия, который проходит, загорается и гаснет, всегда просачиваясь сквозь наши пальцы с течением песчинок времени, навсегда ускользающих от нашей отчаянной хватки, ибо река течет и удержать ничего нельзя.

Хладику удалось удержать реку. Не имеет никакого значения, что «Врагов» никто никогда не прочтет или что пули через краткий промежуток времени возобновят свой путь. Важно только то, что он дописал книгу, которая теперь будет существовать всегда, в этот единственный момент, который сам по себе является вечностью.

II
Вечно падающая Луна

Исаак Ньютон был любопытным ребенком. Здесь под «любопытным» я подразумеваю «жадным до знаний», а также «очень странным». В одной из историй говорится, что чтение так захватывало юного гения, что его домашняя кошка растолстела, подъедая нетронутые завтраки, обеды и ужины. Или вспомните о том, как он впервые провел исследование по оптике. Встречали ли вы когда-нибудь настолько любопытного ребенка, чтобы он рискнул своим зрением ради проблеска истины? В своем дневнике Ньютон писал: «Я брал шпильку [палочку с тупым концом] и вдавливал ее между глазом и костью, как можно ближе к боковой части глаза. Нажатие… приводило к появлению нескольких светлых, темных и цветных кругов».

Жаль, но сегодня мы редко вспоминаем Ньютона как калечащего самого себя владельца тучной домашней кошки. Вместо этого мы помним его как гения, которому на голову упало яблоко.

На самом деле сила воздействия фрукта на его мозг преувеличена. Как рассказывал сам сэр Исаак Ньютон, все, что потребовалось для того, чтобы часы его разума совершили историческое движение, – это быстро промелькнувшее перед глазами падающее яблоко. «Сидя в саду в одиночестве, – вспоминал Генри Пембертон, друг Ньютона, – он начал размышлять о силе тяготения». Падение яблока навело ученого на мысль о том, что, как бы высоко мы ни поднялись – на крышу, на вершину дерева или горы, – притяжение не исчезает. Оно, перефразируя слова Альберта Эйнштейна, является «жутким действием на расстоянии». Вещество Земли, кажется, притягивает вещество других тел, независимо от того, как далеко они находятся.

Любопытный молодой человек пошел дальше. (На этот раз никаких булавок, только размышления.) Что, если притяжение простирается дальше вершин гор? Что, если его сила действует гораздо дальше, чем мы можем предположить?

Что, если она достигает Луны?

Аристотель никогда не верил в это. Звезды выстраиваются в идеальный порядок, словно ноты в музыкальной симфонии или родственники моей жены, организующие торжественный обед. Жизнь на Земле – анархия, источник беспорядка, как я, когда устраиваю ужин для друзей. Как эти два королевства могут следовать одним и тем же законам? Какой сумасшедший, пытавшийся выколоть себе глаза, решится объединить земное и небесное?

Весной 1666 г. этот сумасшедший 23 лет от роду отдыхал в тенистом саду своей матери. Он увидел, как падает яблоко, а затем, в порыве вдохновения, представил еще одно падающее яблоко, на этот раз на том расстоянии, где находится Луна. Один маленький шаг для Apple, гигантский скачок для фрукта.

Ньютон приблизительно представлял, о каком расстоянии идет речь: если взять за единицу расстояние от поверхности Земли до ее центра, то Луна находится примерно в 60 таких единицах.

Как может вести себя притяжение при таком огромном удалении?

Даже самые высокие горы не предлагают никакой подсказки. В масштабах космоса, по сравнению с Луной, вершина Эвереста, считай, что вовсе не удалена от поверхности Земли – так, выступает над ней на толщину волоска… Но давайте предположим – с помощью грандиозного и слегка нарушающего ход истории «скачка», – что притяжение ослабевает на больших расстояниях. Чем больше вы удаляетесь, тем слабее его сила. Сейчас я ссылаюсь на знаменитый закон обратного квадрата Ньютона.

Если расстояние увеличивается вдвое, то сила притяжения составляет 1/4.

Если возрастает втрое – 1/9.

При десятикратном увеличении – всего 1/1000.

Наше великолепное яблоко, путешествующее по космосу, оказавшись в 60 раз дальше от ядра Земли по сравнению со своими висящими на яблоне братьями и сестрами, подвергнется всего 1/3600 силы притяжения. Если вы никогда не делили на 3600, позвольте мне сообщить: этот процесс делает вещи намного меньше.

Бросьте яблоко у поверхности Земли, и за первую секунду оно упадет на 4,9 м. Это примерно уровень второго этажа здания.

Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер^[3] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские^[4] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.

А что теперь? Следующим шагом Ньютона было изящное геометрическое доказательство. Построим прямоугольный треугольник. Нам нужно узнать длину гипотенузы (самой длинной стороны). Поэтому впишем его в более крупный треугольник, сохраняющий те же пропорции.

Поскольку треугольники являются подобными, их стороны соотносятся одинаково:

Решив уравнение, получаем следующий ответ

Как вы помните, наше яблоко опускается с малой скоростью 1 мм/с – около 3 % скорости ленивца на поверхности земли. И тем не менее, чтобы удержать фрукт на орбите, мы должны запустить его со скоростью 1 км/с, что примерно в три раза больше скорости звука.

Казалось бы, невероятно, немыслимо! Луна падает как брошенное в сторону яблоко? Действительно, сэр Исаак? Можете ли вы подтвердить этот смешной мысленный эксперимент какими-либо – как это называется – доказательствами?

Ну, давайте прикинем время, за которое наше лунное яблоко сделает оборот по орбите вокруг Земли. На таком большом расстоянии ему придется пройти путь в 2,5 млн км по окружности. При движении со скоростью чуть больше 1 км/с сколько времени займет это путешествие?

Ха, вы только посмотрите на это! Наши расчеты совпали – с погрешностью менее 0,7 % – с периодом реальной лунной орбиты. Это удивительным образом подтверждает теорию Ньютона: Луна действительно падает, как огромное яблоко сорта «ред делишес» (и ее почти так же хочется съесть). Как заключил биограф Джеймс Глейк:

Яблоко само по себе ничего не значило. Оно представляло только половину пары – второй в ней была Луна… Яблоко и Луна сошлись при случайном стечении обстоятельств, создали обобщение, связали явления разного масштаба: близкое и далекое, обыкновенное и неизмеримое.

Теорию сэра Исаака трудно переоценить. Она определяет единственную универсальную силу, которая управляет земным и небесным королевствами, и порождает современный взгляд на реальность – механическая Вселенная, работающий как часы космос, подчиняющийся ясным, недвусмысленным и нерушимым законам, развиваясь от одного мгновения к другому.

Французский ученый Пьер-Симон Лаплас сказал об этом так: вообразите себе могучий ум, которому ведомы расположение всех предметов и мощность каждой силы. Подобный разум должен был бы знать все. «Ничего не было бы определенным, – сказал Лаплас, – а будущее, как и прошлое, стояли бы перед его глазами».

Весь мир – это дифференциальное уравнение, а все люди – всего лишь его переменные.

Не все приняли точку зрения Ньютона. Поэт Уильям Блейк не стал стесняться в выражениях и заявил: «Наука – это древо смерти». Писатель Алан Мур разъяснял: «Для Блейка границы мысли Ньютона были холодными каменными стенами внутреннего подземелья, куда заключено все человечество».

Сильно сказано!

Как бы то ни было, у Ньютона имелись полчища настоящих защитников. Перекрывая рекорды Александра Поупа («Был этот мир глубокой тьмой окутан. / Да будет свет! И вот явился Ньютон»^[5]) и Уильяма Вордсворта («Тихое лицо / Как циферблат ума, что в одиночку / Плывет сквозь мысли странные моря»^[6]), одним из самых яростных адвокатов Ньютона был философ и фанат науки Вольтер, который называл ученого «творческим духом», «нашим Христофором Колумбом» и (возможно, несколько перегибая палку) «божеством, которому я приношу жертвы». Именно Вольтеру мы обязаны одним из самых поэтических описаний математического анализа в истории: «искусство вычислять и измерять именно то, существование чего не может быть постигнуто», а также популярностью истории о яблоке, которое он поместил в центр интеллектуальных исканий ученого.

Если учесть, какой ореол мифов окутывает ее, насколько мы можем доверять сказке о яблоке?

«Эта история, разумеется, правда, – говорит Кейт Мур, глава архивов Королевского общества, – но, следует признать, ее можно было бы рассказать получше». Ньютон и сам подогревал интерес к этому случаю вместо того, чтобы честно рассказать о том, какими маленькими шажками и рывками наука постепенно движется к прогрессу. Не стоит забывать, что 15 лет он провел, совершенствуя свои теории, опираясь на работы Галилея, Евклида, Декарта, Валлиса, Гука, Гюйгенса и множества других ученых. Теории появляются на свет не просто так, у них есть корни. Они растут. В тот момент в нашем саду знаний еще не произросло полноценное понимание гравитации. Солнце только согрело своими лучами его первые ростки.

III
Радости полета бутерброда

Перебравшись в Англию и впервые переступив порог частной школы, насчитывающей 462 года истории, где я должен был стать преподавателем, я никак не мог поверить в свою удачу. Каждое утро учителя собирались в комнате отдыха и пили чай с бутербродами. Понятия «комната отдыха преподавателей» и «перерыв» уже были мне знакомы по прежнему месту работы. Но каждое утро бывать на пиру, словно в ожившей иллюстрации из жизни Хогвартса? «Я никогда к этому не привыкну», – говорил я своим новым коллегам.

Но я привык.

Ученые называют это ослаблением реакции на раздражитель. Это означает, что у меня было зрение, как у динозавра: хорошо натренированный замечать то, что движется, я не замечал всего, что неподвижно, даже если оно было намазано маслом. Возможно, это явление имеет объяснение с точки зрения эволюционной психологии, а может быть, я неблагодарная скотина, но в любом случае привыкание поддается систематизации с точки зрения математики. Мы растем, привыкая к функции, каких бы высот она ни достигала. С течением времени для того, чтобы привлечь наше внимание, требуется производная – ненулевая величина изменений. Только более новая новизна может захватить нас.

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» – она выводится, или производится.

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

– А есть еще и вторая производная, – сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

– Расскажи мне.

– Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

– Производная – это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься все быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

– Хм-м-м-м, – Джеймс прикусил губу. – Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная… положительная, верно?

– Да!

– А если улучшение замедляется, – продолжил он, – тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

– Да.

– Мне это нравится, – сказал Джеймс. – Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

– Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

– О-о-о, дай подумать! – Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. – Это означает… Я счастлив… И я становлюсь менее счастлив… Но снижение моего уровня счастья замедляется?

– Все верно.

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив!» или «Человек грустит!». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры – аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p´´, или «p два штриха».)

Производные и вторые производные дают четкую информацию. Чтобы понять разницу, представьте себе ракету сразу после отрыва от земли, когда лица астронавтов расползаются, как желе. Скорость еще низкая, но изменения происходят быстро, поэтому ускорение высокое.

Может быть и обратная ситуация. Летящий на эшелоне самолет имеет высокую скорость, но она является постоянной и не меняется, поэтому ускорение равно нулю.

(Как показывают эти примеры, скорость оказывает не очень большое влияние на наши тела. Биомеханическое значение – то, что сдавливает, вызывает тошноту, замешательство и восторг, – имеет ускорение, так как оно представляет собой воздействующую на нас силу.)

«Поэзия начинается с тривиальных метафор, – написал однажды Роберт Фрост, – затем идут недурные метафоры, "изящные" метафоры, пока, наконец, не приходит черед глубоких размышлений». Не уверен, что Фрост нашел бы много поэтического в производных – они являются безнадежно прямыми, говорят только об одной вещи с досадной точностью, – но почва здесь богата метафорами. Если скорость говорит нам об изменении положения, то и ускорение говорит об изменении скорости, и точно так же соответствующая производная указывает на изменения в счастье.

Джеймс – не последний знаток метафор – знал, какой вопрос нужно задать следующим:

– А что насчет третьей производной?

В физике третья производная (p´´´, или «p три штриха») называется рывком. Она определяет изменение в ускорении, которое приводит к изменению силы, воздействующей на тело. Представьте себе мгновение, когда водитель резко нажимает на тормоза автомобиля, или момент отрыва ракеты от пусковой установки, или микросекунду, когда кулак врезается в лицо. Появляется новая сила. Ускорение меняется.

Я никогда не обучал рывку, кроме как в книгах. Три производных – это чертовски много. «Конечно, тот, кто может усвоить вторую или третью флюксию, – писал философ XVIII в. Джордж Беркли, используя термин, который Ньютон применял для производных, – как я думаю, разберется с любой проблемой божественной природы».

– Это довольно сложно понять, – предупредил я Джеймса. – Физическое объяснение достаточно хитрое.

Но в следующие пять минут я пересмотрел взгляды, заполучив в свои сети ярого приверженца математического анализа.

– Не сдавайся! – выкрикнул Джеймс. – Третья производная – это просто: это изменение в изменении изменения моего счастья.

Он говорил все громче, коллеги уже с тревогой оглядывались на нас.

– На самом деле я должен получить все производные! Бесконечный каталог чисел, описывающий, как меняется мое счастье, и как меняется изменение, и как меняется изменение изменения… Тогда мои друзья смогут точно понять, как я себя чувствую, даже без единого слова.

– Это так, – сказал я. – По правде говоря, если они будут точно знать, как изменяется твое счастье в данный конкретный момент – всю бесконечную цепочку производных, – тогда они смогут предсказать твое эмоциональное состояние как угодно далеко в будущем. При наличии достаточного количества производных они смогут рассчитать твое счастье до конца жизни.

– Еще лучше! – Джеймс бешено рассмеялся и захлопал в ладоши. – Мне больше никогда не придется говорить с друзьями!

Я забеспокоился:

– А не окажет ли это само по себе отрицательное воздействие на твой уровень счастья?

Джеймс отмел все возражения:

– Я просто выражу все в производных. Они поймут.

И тут прозвенел звонок. Даже учительский рай приходится иногда покидать, чтобы провести уроки. Отправляясь в класс, я оставил чайную чашку на стойке. Надеюсь, я пробормотал слова благодарности Саре – женщине, которая готовила для нас бутерброды и мыла посуду, – но, зная о своих дурных привычках в то время, могу сказать, что случались дни, когда я забывал это сделать.

IV
Универсальный язык

Я люблю изобретать математические слова. По крайней мере, мне нравится пытаться это делать. Жестокая правда состоит в том, что канселтарсис (от англ. сancel – отмена) и алгебраж (пламенный гнев из-за того, что пришлось потратить несколько часов на поиск крошечной алгебраической ошибки) так до сих пор и не прижились. Увы, есть и другие вещи, в которых достижения Готфрида Лейбница превышают мои скромные успехи, поскольку именно он ввел в математический лексикон такие слова, как:

● константа (постоянная) – величина, которая не изменяется;

● переменная – величина, которая изменяется;

● функция – правило, устанавливающее соотношение между данными на входе и на выходе;

● производная – одномоментная величина изменений^[7];

● математический анализ – система исчисления, которую он разработал.

А если еще перечислить символы, которые Лейбниц, хотя и не придумал, но ввел во всеобщий обиход (например, ≅ для конгруэнтности, = для равенства и использование скобок для группировки), то становится ясно, что, делая математическую запись в XXI в., мы идем путем Лейбница, проложенным в XVII в. Но даже если это и так, все вышеперечисленные достижения – всего лишь примечания к его самому значительному вкладу из всех.

Букве d.

Это звучит ужасающе просто. Больше напоминает «Улицу Сезам», чем Гарвард Ярд^[8]. «Все, что Лейбниц сделал, – это поставил d перед х, – шутил легендарный математик сэр Майкл Атья в 2017 г. – Очевидно, таким образом можно стать знаменитым».

Если уж быть справедливым, то любой ощутимый прорыв для удобства обозначений в ретроспективе кажется очевидным. Как часто вы благодарите Роберта Рекорда, изобретателя знака =, позволившего нам опускать бесконечные «равняется»? Цель математических символов – позволить нам перенести мысли на бумагу. Удачно выбранные обозначения ощущаются столь естественными, что вы забываете об искусственности всего процесса. Не стоит заблуждаться: математическая система обозначений – это технологическое достижение, расширение возможностей нашего мозга другими средствами, такое же сверхъестественное и значительное, как роботизированная конечность.

И никто в истории не изобретал символов, обладающих той же наглядной ясностью, как нововведения Готфрида Лейбница. «Подозреваю, что своими успехами в математике, – размышляет специалист в области информационных технологий Стивен Вольфрам, – Лейбниц в значительной степени обязан тому, что вложил немало сил в систему обозначений».

Родившийся в 1646 г., всего через несколько лет после Ньютона, «сооснователя» математического анализа, Лейбниц проявил себя в самых разнообразных областях. Философ, человек, ведущий светский образ жизни, и, как показывают портреты, обладающий головой, на которую возлагались гигантские парики, он мог бы включить «изобретение математического анализа» всего лишь одной строкой в свое резюме. Он был самым известным в Европе специалистом по геологии, Китаю, сложным юридическим вопросам, то есть, если говорить обобщенно, самым известным специалистом в Европе. Один королевский заказчик с тяжелым вздохом называл Лейбница «мой живой словарь». За свою жизнь ученый написал 15 000 писем более чем 1000 корреспондентов.

Лейбниц заботился о своих читателях. В отличие от Ньютона, который намеренно написал «Начала» тяжелым стилем («дабы избежать нападок дилетантов от математики»), Лейбниц ценил комфортное общение. Поэтому, разрабатывая понятия математического анализа, он озаботился тем, чтобы снабдить их ясными и подходящими символами.

Такими символами, как d.

В математике Δ (греческая буква «дельта») обозначает изменение. Возьмем достойный заголовков газет пример, который имел место этим утром и о котором шесть месяцев назад вы не могли услышать: я вышел на пробежку.

Если принять за х пройденное мной расстояние, то Δх – это изменение расстояния за определенный промежуток времени. Скажем, 26 км (поскольку это моя книга, я могу и солгать, если мне этого захочется).

Теперь, если t – это время, то Δt – время, затраченное на пробежку. Пусть это будет два часа (потому что это упрощает расчеты, а не для того, чтобы я показался скоростным монстром).

Какой была моя скорость? Ну, для того чтобы рассчитать величину изменений, мы делим. Δх разделить на Δt, это дает 13 км/ч.

А теперь что насчет моей скорости ровно в час дня? Производная, как вы, возможно, помните, – это мгновенная величина изменения. Она не анализирует неторопливый интервал времени – два часа. Она показывает единственный момент, стоп-кадр.

Но тут возникает проблема. За этот бесконечно малый промежуток времени никакого времени не прошло и я не покрыл никакого расстояния. Δх и Δt равны нулю. А 0/0 дает не слишком иллюстративный ответ.

Возьмем видоизмененные обозначения Лейбница. Вместо Δх и Δt рассмотрим dx и dt – бесконечно малые приращения положения и времени.

Исходя из этого, производная у Лейбница будет обозначаться dx/dt.

Здесь есть одна уловка: dx и dt не являются реальными числами, и по-настоящему вы не можете делить их. Запись не является буквальной, она, скорее, напоминает аналогию или магический пасс рукой. Но именно это делает символизм таким мощным. Гарвардский математик Барри Мазур сравнивает производную Лейбница с пиктографическим алфавитом китайского или японского: не просто произвольно выбранный знак, но крошечная выразительная иллюстрация сущности понятия. Мазур относит ее к своим «любимым частям математической терминологии» именно по этой причине: она «визуально объясняет саму себя».

Я должен признаться. Студентом я предпочитал обозначения, на которые повлияли работы Ньютона (с которыми мы имели дело в главе III). Для меня все это дело с dx/dt выглядело громоздким, сложным и, что хуже всего, словно содержащим в себе мину-ловушку: дробь, которая в действительности не является дробью.

Но со временем я сумел оценить тайную мощь d Лейбница – ее огромную гибкость. Тогда как производные предполагают единственную переменную на входе (часто – это время), символика Лейбница простирается гораздо шире. Она позволяет нам выстроить огромное количество классов переменных в сложном «балетном» порядке.

Чтобы увидеть это, давайте зайдем в класс, где идет урок экономики. Или, еще лучше, в конференц-зал компании, производящей игрушки.

Мы с вами делаем плюшевых мишек, продаем определенное количество (q) по определенной цене (p). Что случится, если мы незначительно повысим цену? В целом мы продадим меньше мишек, но точный ответ дает производная dq/dp. Она показывает текущий показатель изменения количества с учетом цены.

Тем не менее q зависит не только от p. Возможно, мы занимаемся рекламой и вкладываем а долларов в телевизионные ролики. В этом случае dq/da выражает незначительное влияние, которое каждый дополнительный доллар, вложенный в рекламу, оказывает на продажи.

И опять же, если мы даем больше рекламы, возможно, нам понадобится поднять цену. Это означает еще раз рассмотреть dp/da: как цена, которую мы назначаем, зависит от рекламного бюджета.

Мы даже можем перевернуть наши производные с ног на голову. Что насчет dp/dq? Это соотношение укажет нам на то, как цена отреагирует на бесконечно малое изменение количества.

Может ли обозначение производной со штрихом провернуть такие фокусы со столь разнообразными производными? Да бросьте! Только проворная d Лейбница может справиться с задачей с подобной грациозностью и точностью. И это делает язык Лейбница идеальным для обсуждения самого полезного применения математического анализа – искусства оптимизации.

Не знаю, как насчет вас, но я пришел в бизнес по производству плюшевых медведей не для того, чтобы завести друзей. Я в нем даже не для того, чтобы делать плюшевых хищников, которые портят здоровье детей и ослабляют естественный страх перед медведями. Я здесь, чтобы делать деньги, и вследствие этого на выходе для меня имеет значение только одна переменная: выгода.

Чтобы максимально увеличить выгоду, мы не должны ставить слишком низкую цену. Скажем, изготовление плюшевого мишки стоит $5, в таком случае продавать его за те же $5 – это не бизнес, а благотворительность. $5,01 немногим лучше: конечно, мы продадим множество медведей по такой низкой цене, но, даже если их будет миллион, наша прибыль составит всего $10 000.

С другой стороны, слишком задирать цену мы тоже не хотим. Если мы будем просить $5000 за одного медведя, то, возможно, какой-нибудь наивный миллиардер и купит одного. А может быть, и нет. В любом случае мы продадим слишком мало, чтобы получить какую-либо существенную выгоду.

Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?

Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.

Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.

Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.

Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.

Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.

Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» (Nova Methodus pro Maximis et Minimis). «В мире не происходит ничего, – однажды сказал математик Леонард Эйлер, – в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума»^[9].

Когда Лейбницу было слегка за двадцать, он решил присоединиться к эксклюзивному сообществу алхимиков. (Да, это был XVII в., все занимались этим.) Чтобы доказать свою алхимическую состоятельность, Лейбниц составил список профессиональных жаргонных слов, из которых соорудил длинное, выразительное и достаточно бессмысленное письмо с просьбой о приеме. Это сработало: пораженные алхимики выбрали его своим секретарем. Но – ну еще бы! – Лейбниц разглядел правду через обман. Он ушел через несколько месяцев, позднее объявив группу «братством золотодобытчиков».

Для меня в этом весь Лейбниц. Во-первых, вы овладеваете языком. Затем появляется истина, какой бы она ни была. Менее чем через десять лет после овладения невнятной галиматьей алхимиков этот резкий молодой человек разработал математический словарь, который миллионы людей используют по сей день.

Смог ли он когда-либо превратить свинец в золото? Нет. Он сделал лучше: превратил строчную букву d в неподвластный времени язык мгновения.

V
Когда Миссисипи текла на миллион миль

На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен^[10] показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км². Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км². – Здесь и далее прим. ред.) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.

Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:

Все эти сухие подробности важны потому, что дают мне возможность рассказать об одной из характернейших особенностей Миссисипи – о том, как она время от времени сокращает себе путь^[11].

Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком»^[12], – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.

Здесь снова дадим слово рассказчику:

У геологии никогда не было таких точных данных для умозаключений… А тут посмотрите сами!

За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили (390 км), то есть в среднем примерно на милю и одну треть (2,15 км) в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет, – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль (2 092 147 км) в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину (2,82 км), а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами^[13].

Не играет ли Твен в какую-то глупую арифметическую игру? Вовсе нет! Это выдающаяся геометрическая игра. В основе математического анализа лежит фундаментальная геометрия, которая одновременно делает производные возможными и полезными, – всюду присутствующая геометрия прямой линии.

Посмотрите сами!

Мы можем нарисовать график, показывающий длину Нижней Миссисипи (от Каира до Нового Орлеана) в разные годы за время ее истории.

Да, наши данные несколько скудны, но нисходящее направление графика видно четко. В наши дни у статистиков есть излюбленный метод украшения таких схем. Этот инструмент известен экономистам, эпидемиологам и любителям поспешных обобщений как «линейная регрессия».

Во-первых, мы определяем «центральную точку» графика. Ее координатами является среднее арифметическое координат имеющихся данных.

Затем из всех прямых, проходящих через эту точку, мы выбираем ту, которая больше других совпадает с данными, то есть ближе всего проходит к уже обозначенным точкам.

Вот и все! Сейчас мы совершили переход от нескольких разрозненных точек – неподатливых и статичных – к великолепной непрерывной линии. Она включает в себя бесконечное количество точек и может быть продлена в любом направлении на такую длину, какая нам будет угодна.

Например, мы можем продлить прямую в далекое прошлое:

Подумать только! Миллион лет назад Миссисипи была просто громадной рекой, более миллиона километров длиной. Именно тогда она выглядела как гигантская удочка, висящая над Мексиканским заливом. Та, настоящая Миссисипи простиралась на расстояние в пять раз большее, чем от Земли до Луны, и при каждом обороте каменного спутника вокруг нашей планеты окатывала его, как из пожарного шланга.

Поскольку прямую можно продлить в двух направлениях, мы можем развить нашу линейную модель и вперед во времени:

Вот оно! В начале XXVIII в. Миссисипи будет иметь длину менее 1,6 км. Чтобы приспособиться к этому, североамериканский континент сомнется, как скрученная в шарик бумажка, в результате чего Каир и Новый Орлеан обретут свое долгожданное соседство вдоль реки. Между ними будет маячить расселина глубиной в 800 км, разрывающая земную кору.

Я прямо слышу, как вы жалуетесь. «Никакая серьезная математика, – скажете вы, – не может основываться на таком шатком фундаменте».

Ха! А что такое «серьезная» математика? Математика – это логическая игра, глупая шутка, состоящая из абстракций. И, как и во многих играх, прямые – это то, без чего невозможно обойтись для упрощения. Они помогают обойти медленные извилины математического анализа точно так же, как спрямившееся русло укорачивает путь реки. Именно поэтому прямые используются везде – в статистических моделях, в более многомерных преобразованиях, в экзотических геометрических поверхностях и, больше всего, в самой сущности производных.

Возьмем параболу. Если бы у вас были глаза, как у хорошо накачанного кофеином летчика-аса, едва бросив взгляд на рисунок ниже, вы заметили бы: парабола прямой не является.

Вместо этого она является – прошу прощения за использование математического жаргона – кривой. Но давайте посмотрим на нее поближе. Что вы видите теперь?

Это все еще кривая, да. Но у этой кривой меньше изгибов, эта парабола менее параболическая. А посмотрите, что будет, если мы приблизим ее еще больше:

Искривление является мягким, постепенным. Мы словно напеваем себе под нос, чтобы уснуть. Приблизьте его еще, и кривизна станет такой малозаметной, что невооруженный глаз просто откажется ее воспринимать. Фактически линия остается кривой, но для любых практических целей ее можно считать прямой.

И в бесконечно малом масштабе – меньше всех известных размеров, но все же не равном нулю – кривая достигает того, что мы ищем. Она становится – по крайней мере, в нашем воображении – по-настоящему прямой.

И какое же отношение это имеет к производной? Непосредственное.

Производная, как вы помните, – это уровень изменения в определенный момент. Например, она может сказать нам, как длина Миссисипи изменяется в отдельно взятое мгновение.

Но длина Миссисипи не изменялась с постоянной, устойчивой скоростью. Она какое-то время оставалась одной и той же, затем резко сокращалась, а потом постепенно увеличивалась. Будучи обычными людьми, мы не можем испытывать неудовлетворенность из-за того, что река течет и постоянно движется, но в качестве математиков явно выражаем недовольство. Как мы можем вынести такое беспорядочное поведение береговой линии? Как мы будем говорить о степени изменений, когда река не способна придерживаться какого-либо показателя дольше, чем одно мгновение?

Простой способ: мы можем изменить масштаб, как сделали это с параболой. В бесконечно малом масштабе изгибы графика выпрямятся, позволив нам расшифровать производную.

Таким образом, все дифференциальное исчисление основывается на одном простом наблюдении: приближение выпрямляет.

В большом масштабе Земля не является плоской. В самом деле, все наши безнадежные попытки сгладить ее, такие как проекция Меркатора, вызывают искажения, из-за которых Гренландия (имеющая площадь менее 2,59 млн км²) кажется такой же большой, как Африка (площадью почти 31 млн км²). Но в маленьких масштабах? Эй, да почему бы нет! Подойдите достаточно близко, и вы никогда не заметите кривизну. Если мне нужно проплыть по Миссисипи от Каира, штат Иллинойс, до Колумбуса, штат Кентукки, 32 км, или всего 0,08 % длины окружности земного шара, то плоская карта подходит мне просто идеально.

Твен совершил старую, как мир, ошибку, перепутав местную линейность с глобальной. И то, что он сделал в шутку, другие совершают всерьез. В своей язвительной книге «Как не ошибаться» (How Not to Be Wrong) (из которой я взял многие идеи для этой главы) Джордан Элленберг приводит замечательный пример подобной ошибки. Вышедшая в 2008 г. статья в журнале Obesity утверждала, что к 2048 г. доля взрослого населения США, имеющего лишний вес, достигнет – внимание, барабанная дробь! – 100 %.

Исследователи продлили свою линейную модель слишком далеко, доведя ее до космической пустоты, в то время как в реальности график искривляется.

Еще один случай: в 2004 г. журнал Nature опубликовал короткую заметку, где отмечалось, что у женщин время, которое они показывают в олимпийских забегах на 100 м, сокращается быстрее, чем у мужчин. Таким образом, «если подобная тенденция сохранится», пишут авторы с усмешкой, женщины сравняются с мужчинами к Олимпийским играм 2156 г., когда представители обоих полов будут пробегать стометровку за рекордные 8 секунд.

Увы, к тому времени, когда в Космическом Париже, Лунном Йорке или Народной республике Google состоятся Олимпийские игры 2156 г., я могу голову дать на отсечение: «текущая тенденция» не будет иметь места. Все это потому, что «текущие тенденции» всегда выглядят линейными, но дуга истории таковой никогда не бывает. Если экстраполировать ту же самую модель на Древнюю Грецию, мы узнаем, что воины пробегали то же расстояние за 40 секунд. Этой бодренькой прогулочной скорости недавно достигла пожилая женщина из Луизианы в возрасте 101 года. Будущее же выглядит еще более странным, поскольку скорость золотых медалистов, согласно этой модели, должна будет повышаться до тех пор, пока не достигнет значений, возможных разве что в сериале «Звездный путь».

Жизнь похожа на Миссисипи. Она течет. Она изгибается. Подойдите достаточно близко, и, возможно, вы увидите прямую, но в целом она никогда не останавливается и всегда извилиста.

Под конец я приведу еще один отрывок из «Жизни на Миссисипи» о том, как грязь оседает в дельте реки:

Отложения ила постепенно наращивают сушу, но именно постепенно: за двести лет, прошедшие с тех пор, как река вошла в историю, берега продвинулись в море меньше чем на одну треть мили (540 м).

Ученые думают, что устье находилось прежде у Батон-Руж, там, где кончаются холмы, и что двести миль (322 км) суши между этим местом и заливом были созданы рекой. Простой подсчет дает нам возможность без труда определить возраст этой части страны: ей сто двадцать тысяч лет^[14].

И снова мы видим линейную модель. Марк Твен берет данные за два последних столетия, за которые суша приросла на 540 м, что составляет около 270 см в год, и, опираясь на эти цифры, приходит к выводу, что 120 000 лет назад дельта реки лежала на 322 км выше по течению.

Увы, Твен совершает ту же ошибку, что и исследователи из журнала Obesity, которую в других местах он высмеивал. Насколько нам известно, появление реки Миссисипи датируется концом последнего ледникового периода, то есть это произошло каких-то 10 000 лет назад. Линейная модель Твена простирается еще на 110 000 лет в прошлое, как река, текущая в глубины космоса. Он потребовал от производной рассказа о вечности, забыв, что она говорит лишь о мгновении.

VI
Шерлок Холмс и неправильный велосипед

В английской школе случается беда – так начинается рассказ Конан Дойля «Случай в интернате». Из общежития исчезает десятилетний сын богатого герцога. Также пропали преподаватель немецкого языка, один-единственный велосипед, и отсутствует какая-либо линия, объединяющая все разнородные факты. После того как местная полиция терпит неудачу, отчаявшийся директор школы приходит в квартиру по адресу Бейкер-стрит 221В, чтобы попросить о помощи самого почитаемого из всех вымышленных сыщиков.

– Мистер Холмс, – говорит он, – речь идет о деле чрезвычайной важности, и я умоляю вас применить все свои способности, чтобы раскрыть эту тайну!

Несколько часов спустя Шерлок Холмс и доктор Ватсон крадутся по «бурой торфяной равнине»^[15] и натыкаются на первую подсказку: «вьющуюся черной лентой тропинку. Посередине, на сырой земле, четко виднелись отпечатки велосипедных колес». Именно в этот момент Холмс пускает в ход классический дедуктивный метод:

Эти следы, как вы сами можете убедиться, ведут от школы.

– Или по направлению к школе.

– Нет, мой дорогой Ватсон. Отпечаток заднего колеса всегда глубже, потому что на него приходится бо́льшая тяжесть. Вот видите? В нескольких местах он совпал с менее ясным отпечатком переднего и продавил его. Нет, велосипедист, несомненно, ехал от школы.

Какие достижения в физике! Какие гениальные способности к геометрии! Есть только одна проблема, которую маскирует сладкоголосая проза и которую показывает самая простая схема.

Здесь мы видим более толстую линию, пересекающую более тонкую. Понятно ли из этого, каким путем ехал велосипед? Увы, нет, потому что Холмс допустил нехарактерную для него ошибку. След заднего колеса всегда пересекает след переднего. Это не дает никакой подсказки по поводу направления, но является простым следствием особенностей конструкции велосипеда, где переднее колесо может поворачиваться, тогда как заднее остается закрепленным.

Как Холмс мог так опростоволоситься? «Возможно, – предполагает профессор математики Эдвард Бендер, – он недавно принял очередную дозу опиума». Кто-то может обвинить сэра Артура Конан Дойля, но я считаю, Холмс должен нести ответственность за свои ошибки, как и любой вымышленный персонаж.

К счастью для герцога, существует точный и элегантный метод выяснить, в каком направлении двигался велосипед, по оставленным им следам. Этот метод основывается на простом, но действенном понятии дифференциального анализа – касательной.

Слово «касательная» происходит от латинского tangere («касаться», «трогать»), как и слова tangible («осязаемый», «ощутимый») и «танго»; все эти слова связаны с проявлениями нежности и прикосновениями. В математике касательная совпадает с кривой в одной точке. Так она на какое-то мимолетное мгновение принимает относящееся к конкретному моменту направление кривой, ее производную.

Например, если кривая изображает путь машины, то касательная будет указывать направление света фар.

Или, для более наглядной демонстрации, привяжите веревку к камню, раскрутите его над головой и подождите, пока веревка порвется. Камень полетит по прямой: касательная – это его путь в момент разрыва.

А что же насчет велосипеда? Поскольку заднее колесо закреплено на раме, в любой отдельно взятый момент оно гонится за передним. Другими словами, его направление в конкретный момент движения указывает туда, где находится переднее колесо.

Давайте проверим этот факт при помощи приведенной ранее загадки. Без каких-либо подсказок о глубине следа можем ли мы определить, где отпечаток переднего колеса?

Элементарно, мой дорогой Холмс! Просто найдите момент вдоль одной из линий, когда касательная указывает в пространство, в направлении, куда велосипед никогда не ехал. Могло ли заднее колесо повернуться туда? Никогда! Оно всегда повторяет поведение переднего колеса. Таким образом, линия с направленными вовне касательными должна принадлежать переднему колесу.

Теперь вопрос на 6000 фунтов – такое вознаграждение назначил герцог в рассказе: в каком же направлении двигается велосипед?

Есть только два возможных варианта. Во-первых, предположим, что велосипед двигается слева направо. Проведем соответствующие касательные для заднего колеса, продлив их до тех пор, пока они не пересекутся со следом переднего.

Расстояние от заднего до переднего колеса вдоль касательной должно соответствовать длине велосипеда. Но здесь это расстояние меняется от точки к точке. Нам остается только заключить, что во время своего путешествия велосипед менял длину, как двухколесная игрушка на пружине. Такой велосипед должен бы принадлежать ездоку, не имеющему себя равных в ловкости и обладающему сомнительным здравомыслием.

В «Случае в интернате» есть подходящий комментарий:

– Холмс! – воскликнул я. – Это неправдоподобно!

– Браво! – сказал он. – Вывод исчерпывающий. В моем изложении событий есть что-то неправдоподобное, следовательно, я допустил ошибку… Где же я ошибаюсь?

В нашем случае ошибка совершенно ясна. Мы не рассмотрели альтернативу – ведь велосипед мог двигаться справа налево.

Ага! Эти касательные, к счастью, одной длины. Они говорят о велосипеде прочной конструкции, вполне правдоподобном. Значит, мы можем прийти к выводу, что велосипед двигался в этом направлении.

Разве это не замечательный ход мысли? Он позволяет увидеть за следами факты и, расшифровав язык геометрии, раскрыть истину. Тщательное изучение улик сочетается здесь с безупречным логическим анализом. Разве не в этом секрет триумфа гениального сыщика – и, в нашем случае, высшей математики?

Отношения Холмса с математикой вполне понятны – это его зеркальное отображение. Именно поэтому, когда Конан Дойлю хочется ввести в повествование антагониста, который станет противостоять наблюдательному сыщику, он придумывает математика профессора Мориарти. «Наполеон преступного мира» описывается как «гений, философ» и «абстрактный мыслитель», кроме того, он – «прославленный автор “Движения астероидов”, книги, затрагивающей такие высоты чистой математики, что, говорят, не нашлось никого, кто мог бы написать о ней критический отзыв»^[16].

Поневоле приходишь в уныние, стоит подумать, как быстро Мориарти разобрался бы в следах велосипеда. Соперник Холмса, можно быть уверенными, знал о касательных.

Я сам впервые узнал о загадке с велосипедом из прекрасной биографической книги «Гений играет: пытливый ум Джона Хортона Конвея» Шивон Робертс. В одной запоминающейся сцене команда из трех математиков собирается вести экспериментальный курс в Принстоне. Он представляет собой «подпольную, бунтарскую попытку», направленную на то, чтобы показать, что «математика и поэзия похожи», и называется «Геометрия и воображение». Ожидая, что на занятиях будет не более 20 студентов, преподаватели ошарашены, когда выясняется, что на курс записалось 92 человека. Как рассказывает Робертс, молодые люди не потратили свои деньги зря:

Преподаватели строго соблюдали ритуал и появлялись в классе все разом, иногда с большой помпой и важностью, порой они несли флаг, время от времени надевали велосипедные шлемы, часто тянули за собой детскую тележку, наполненную многогранниками, зеркалами, фонариками и свежими продуктами из продуктового магазина…

Для одного урока преподаватели «отыскали огромные рулоны бумаги, разорванные на полосы размером, по меньшей мере, 1,8 метра на 6 метров» и ездили по ним на велосипедах с вымазанными краской колесами. В результате получились эпические полотна геометрического велосипедного искусства, головоломки в натуральную величину. Студенты, как юные Шерлоки, получили задание определить, в каком направлении ехал каждый велосипедист.

Но преподаватели добавили деталь, которая, возможно, озадачила бы самого Мориарти:

Тем не менее часть из этих следов поставила студентов в тупик. Эту серию линий Питер Дойль [один из преподавателей] оставил на листе бумаги, когда ездил туда-обратно на велосипеде с одним колесом.

VII
Биография массового увлечения, у которой нет автора

Это история о том, как рождаются вирусные сенсации. Решайте сами, что это будет: может быть, хулахупы, кубики Рубика, тамагочи или дешевый вариант последних, который еще называют iPhone. Но это не обязательно должна быть игрушка! Вы можете выбрать лингвистику, технологию, социальную сеть, образование опухолей или популяцию кроликов. Что угодно, что бы ни пришло вам в голову и, как это обычно бывает с повальными увлечениями, что тут же хочется получить всем вокруг.

«Как, – спросите вы, плюясь от возмущения, – как одна глава может годиться на любой случай жизни, как вы можете предлагать каждому выбрать свое собственное приключение?»

Ну, потому что на самом деле это история кривой. Эта кривая:

Эта основная модель, которая называется логистической кривой, – одна из величайших математических моделей, не говоря уж о том, что она является триумфом элементарного математического анализа. И, как и любая классическая пьеса, она разыгрывается в трех актах.

Акт I. Ускорение.

Когда мы что-то начинаем, наше увлечение еще не является модным веянием. Это всего лишь дикая прихоть. «Я буду продавать камень как питомца», – говорит какой-то сумасшедший. «Я поставлю танец с необычными движениями рук, и весь мир будет восторженно кричать: “Эй, макарена!”» Или даже: «Я введу в компьютер странички с фотографиями лиц и стану тем самым Цукербергом, Разрушителем миров».

Звучит как иллюзорная мечта? Возможно. Но вначале рост идет медленно.

Но дела обстоят не так безрадостно, как кажется. Во время неблагоприятного начала рост на самом деле идет по экспоненте.

Слова «экспонента» или «экспоненциальный» проникли в обычный язык, как некоторые другие математические термины. («Внутреннее произведение» и «двудольный граф» все еще пребывают в трагическом забвении.) Тем не менее, как это всегда бывает, когда альтернативная рок-группа добивается успеха, по пути кое-что утрачивается. Об экспоненциальном росте обычно говорят как о синониме «очень быстрого», но его математическое значение гораздо более чудесно и точно: величина растет пропорционально своему размеру.

Другими словами, чем она больше, тем быстрее растет.

При линейном росте за каждый период времени прибавляется одно и то же количество. Это может происходить медленно, как прибавление одного кольца к стволу дерева каждый год. Или это может быть быстро, как рост мутантного дерева в сказке о Джеке и бобовом зернышке, когда каждое новое кольцо прибавлялось за миллисекунду. Важна не скорость, а постоянство. Если темп роста никогда не меняется, то он является линейным.

В противовес этому возьмем, к примеру, стартап, чья прибыль растет на 8 % каждый месяц. Поначалу 8 % от мизерного количества – это сущая безделица. Но со временем компания расширяется, и эти 8 % соответствуют все большим и большим цифрам. За девять месяцев доход удваивается, а за десять лет фирма превращается из гусеницы с выручкой в $1000 в месяц в огромную бабочку с прибылью в $8 млн в месяц. Дайте ей еще десять лет, и она станет громадиной с ежемесячным доходом в $1 трлн – 15 % мирового ВВП. Вот это и есть экспоненциальный рост.

Вы можете уловить суть этого различия по двум коротким уравнениям:

Но медовый месяц с экспонентой не может длиться вечно, иначе любое массовое увлечение захватило бы всю Вселенную. В реальности подобное пока что случалось только дважды: с крупяными куклами^[17] и деббингом^[18]. Немного времени спустя нас ждет акт II – Перегиб кривой.

Как и «экспоненциальный рост», выражение «точка перегиба кривой» перекочевало в обычный язык из учебников математики. Я сам всегда аплодирую вирусному распространению математического жаргона, но должен отметить, что фраза: «момент, когда рост неожиданно становится взрывным» – придает точке перегиба кривой почти противоположное значение.

При росте по логистической кривой перегиб происходит не в момент, когда начинается быстрый рост. Он происходит, когда быстрый рост доходит до кульминации, до своего максимума, и, таким образом, начинается долгое, медленное понижение.

Производная, как вы помните, говорит нам об изменениях графика. Положительная производная? Он растет. Отрицательная? Снижается.

Вторая производная говорит нам о том, как меняется первая производная – то есть о самом темпе роста. Положительная вторая производная? Тогда наш рост ускоряется. Отрицательная вторая производная? Он замедляется.

Точка перегиба кривой – это момент перехода, когда вторая производная меняет знак: отрицательный на положительный или (при росте по логистической кривой) положительный на отрицательный. После того как скорость растет и растет, как у потерявшего управление поезда или заигранного хита, ускорение, наконец, останавливается, и рост начинает замедляться.

Это особый момент в истории массовых увлечений – триумф с привкусом горечи, поскольку все вершины достигнуты. В случае, скажем, с Instagram – это месяц, когда к нему присоединилось наибольшее количество пользователей. Социальная сеть еще не получила свое самое широкое распространение, но пик самого быстрого распространения пройден. Она расширялась быстрее, чем когда-либо ранее, и такого роста не будет уже никогда. Согласно графику то, что произойдет дальше, – это зеркальное отражение первоначальной траектории: каждому моменту ускорения теперь соответствует спад.

Это приводит нас к акту III – Насыщение.

В этот момент массовое увлечение перерастает свою крутизну. О нем знают родители. О нем знают даже бабушки и дедушки. Даже те, кто не в курсе модных тенденций популярной культуры – например, учителя математики, – могут решить присоединиться к стороне победителя. Чувство гордости первых адептов этого веяния сменяется теперь пренебрежением. Как подметил король парадокса Йоги Берра, «в этот ресторан больше никто никогда не ходит, потому что он всегда переполнен».

При экспоненциальной модели рост пропорционален размеру. Рост по логистической кривой добавляет еще один очень важный момент: рост пропорционален размеру, а также расстоянию от максимальной величины.

Чем ближе к максимуму, тем медленнее рост.

Лес может вместить только определенное количество кроликов, экономика – определенное количество электромобилей, человеческий глаз может выдержать только определенное количество просмотров «Gangnam Style». Ресурсы каждой системы конечны. Facebook никогда не сможет стать больше, чем население планеты, если только не снимет свой пагубный запрет заводить страницы дельфинам и гориллам.

В качестве иллюстрации обратимся к химии и королевству автокаталитических реакций.

Химия изучает реакции разных видов, такие как «взрывные», «пенящиеся» или «с красивыми цветами». Иногда в дело вступают особые молекулы, которые ускоряют реакции, как услужливые помощники. Их называют «катализаторами».

В некоторых, очень немногих, реакциях катализаторы производятся сами по себе. Это создает положительную обратную связь: чем больше катализаторов получается, тем быстрее и быстрее вещество пенится и/или взрывается… Но такие циклы не могут длиться вечно. Как только первоначальный запас ингредиентов на входе стремится к нулю, мы остаемся со множеством катализаторов, но катализировать теперь нечего. Реакция замедляется.

Повальные увлечения следуют той же логике. Чем больше людей ими интересуется, тем больше людей они могут привлечь. Петля обратной связи растет по экспоненте – по крайней мере, какое-то время. Но раньше или позже количество тех, кого можно привлечь к этому занятию, истощается. Вокруг множество рекрутеров, но привлекать некого. Переизбыток катализаторов, но катализировать нечего.

Если вам нравится пафосный химический жаргон, вы можете сказать, что вирусное массовое увлечение – это автокаталитическая реакция среди людей.

Математические модели делятся на две части. Механистические модели воплощают принципы оригинала, как модель самолета с соответствующим по размеру двигателем. Тогда как феноменологические модели имеют только поверхностное сходство, как модель самолета, которая великолепно выглядит, но летать не может.

До того как протестировать приведенную в этой главе модель, вы имеете право задать совершенно справедливый вопрос: к какому типу она принадлежит?

В Кремниевой долине сказали бы, что к механистическим моделям. Определите «коэффициент вирусности» (для количества новых людей, которых привлекает каждый последователь массового увлечения), оцените размер всего рынка, набросайте презентацию в PowerPoint, и – ба-бах! – вы готовы привлекать инвесторов.

С другой стороны, вот реальная история именитого биолога, который с помощью модели роста по логистической кривой решил предсказать численность населения США. Он взял данные по началу ХХ в., щелкнул пальцами и пришел к выводу, что размер населения страны стабилизируется где-то около отметки в 200 млн человек – цифра, которую мы перекрыли 120 млн человек назад.

Если она не помогает нам предсказать, когда массовое увлечение начнет выравниваться, то какая же тогда польза от логистической модели? Может быть, это просто сказка, всего лишь история в графической форме?

Может быть. Но не преуменьшайте ее ценность. Мы с вами – персонажи этой истории. Структура рассказа определяет наши действия, наши мысли, наши «заказы навынос». Мы с вами – существа, рассказывающие истории. Эти истории определяют наши действия и мысли. И даже если история роста по логистической кривой не помогает делать предсказания, она может, по крайней мере, намекнуть, что ждет нас в будущем, обогатить наше мышление и указать, на что стоит обратить внимание.

То, на что указывают нам математические модели, слишком сложно для восприятия. Небольшое упрощение – здоровая человеческая реакция, по крайней мере до тех пор, пока мы читаем написанное мелким шрифтом прежде, чем поиграть в игрушку.

VIII
То, что ветер оставляет после себя

Яркий ноябрьский день в Массачусетсе. Ветер сдувает листья с деревьев, словно зима спешит сорвать осенние украшения. Я держу в руке чашку чая и рассказываю про эту книгу, на тот момент представляющую собой неряшливо намеченные контуры и несколько наполовину готовых абзацев, своей подруге, преподавательнице английского языка Брайанне. Я объясняю, что это экскурсия в мир математического анализа, но без вычурных уравнений. Никаких замысловатых вычислений. Только идеи и понятия, иллюстрированные историями, охватывающими весь опыт человечества – от науки до поэзии, от философии до фантазии, от высокого искусства до повседневной жизни. Легко краснобайствовать, когда книга еще не написана.

Брайанна слушает хорошо. Она сама относит себя к «нематематическим людям», но, по моему мнению, любопытна, вдумчива, проницательна. Именно такая, как читатель, до которого я надеюсь достучаться. Пока мы болтаем, ей что-то приходит в голову – загадка, которую когда-то загадал ее коллега, учитель математики. Она хватает листок бумаги и рисует прямоугольник.

– Какова длина отмеченной точками части? – спрашивает она.

– Семь сантиметров, – отвечаю я. – Три плюс четыре.

– Хорошо, – говорит она, – а что насчет этого?

– По-прежнему семь, – говорю я. – Два горизонтальных участка в сумме дают четыре; два вертикальных – три. Если разбить линию на несколько частей, это не изменит общую длину.

– Правильно, – соглашается она. – А чему состоящая из точек часть равна сейчас?

– Все еще семь. По той же логике.

Она чертит снова:

– А сейчас?

– Семь…

– Хорошо, а если мы будем делать бесконечно малые шаги по этой лестнице и у нас получится такая форма?

Я нахмурился. Это теорема Пифагора, самое старое правило практически в любом учебнике: a² + b² = c². В этом случае если а = 3, а b = 4, то с = 5. Я так и сказал.

– Пять. Да, точно. – Брайанна наставила на меня карандаш, как микрофон. – А что здесь происходит?

В гостиной находятся следующие люди: (1) муж Брайанны Тайлер, в прошлом преподаватель математического анализа, а ныне предприниматель в сфере интеллектуального анализа данных, (2) моя жена Тарин, математик-исследователь, и (3) я, человек, который пишет книгу о математике. На троих у нас более 40 лет изучения математики и научные степени, полученные в Массачусетском технологическом институте, Калифорнийском университете в Беркли и Йеле. Мы все знаем всё о пределах и сходимости бесконечного ряда, о геометрии аппроксимации. Мы знаем, что семь не равно пяти.

Но перед этой задачей мы теряемся. Я чувствую себя так, словно мироздание меня одурачило – подкралось со спины и хлопнуло по левому плечу, чтобы я посмотрел не в том направлении. Я, кажется, слышу его хихиканье. Или это просто шум ветра.

– Неравномерная сходимость? – таинственно бормочет Тарин под нос.

– Нет четких пределов, – говорит Тайлер несколько неуверенно.

У меня самого в голове крутится несколько возможных опровержений в пику мирозданию, но ни одно из них ни капельки ничего не проясняет и не объясняет.

Все, что я могу сказать:

– Ух!

Загадка Брайанны нацелена в самое сердце математического анализа, в основополагающее философское понятие под названием предел. Предел – это конечный пункт назначения бесконечного процесса. Вы не обязательно достигнете предела: вы подходите к нему все ближе и ближе – ближе, чем это можно описать или вообразить. Брайанна в своей загадке установила по-настоящему «скользкий» предел. Он неким парадоксальным образом указывает сразу в двух направлениях. На каждом этапе длина равняется семи, а потом каким-то образом в самом конце вечности она становится пятью.

Подобные парадоксы давно одолевают математический анализ. Поколение спустя после того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон впервые разработали эту часть математики, Джордж Беркли устраивал им трепку за небрежный образ мыслей. Ньютон требовал пристально изучать значения не до того, как они исчезнут (когда они все еще являются конечными числами), не после этого (когда они равны нулю), но когда они исчезают. Что он имел в виду?

«А что это за… исчезающие бесконечно малые? – глумился Беркли. – Они не являются ни конечными, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Может быть, мы не будем называть их призраками былых величин?»

Парадокс Брайанны далеко не единственный. Другой вариант начинается с равностороннего треугольника. Если предполагать, что все три стороны равны, то путь по красным линиям в два раза дольше, чем по черной.

Далее возьмем две красные стороны, разделим каждую из них пополам, и, таким образом, наш путь вверх и вниз превратится в вверх-вниз-вверх-и-вниз.

Длина красной части не изменилась: мы просто перераспределили участки. Таким образом, они по-прежнему равны удвоенной длине черной стороны. И мы можем повторять и повторять этот процесс – делить и перераспределять, делить и перераспределять, а красный участок будет оставаться равным двум черным на всех этапах.

Если мы будем повторять деление бесконечное количество раз, то первоначальная красная треугольная «палатка» превратится в прямую линию из пылинок, неотличимую от черной. Но… не привело ли это к тому, что путь вырос в два раза?

Исследователям потребовались столетия ложных шагов и осечек, чтобы разобраться с этой проблемой. «Чтение трудов математиков этого периода, – пишет профессор Уильям Данхэм, – напоминает прослушивание произведений Шопена, которые исполняются на пианино, где несколько клавиш расстроены: в один момент можно оценить гениальность музыки, а в другой она режет слух».

Ставящая в тупик правда – она сбивает с толку не меньше, чем несомненная простота этой проблемы, – состоит в том, что не ко всему можно применять предельный переход.

Возьмем последовательность 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999… На каждом этапе мы получаем дробь – нецелое число. Но каким-то образом на вымощенной желтым кирпичом дороге к бесконечности последовательность превращается в единицу.

Означает ли это, что единица не является целым числом? Черт побери, нет! Это просто значит, что конечная точка движения не обязательно должна напоминать путь, который привел вас к ней. Деревянные ступеньки могут привести к лестничной площадке, покрытой ковром.

Вот пример, который моя жена приводит на первых занятиях по математическому анализу: треугольная волна, двигающаяся через плоскость вдоль оси х.

Каждая точка в какой-то момент является нулем, затем на короткий период времени, во время прохождения волны, она не равна нулю, затем это снова нуль, навеки и даже дольше. Каждая точка, таким образом, рано или поздно приближается к нулевой отметке. Это означает, что пределом всего сценария является горизонтальная линия, ось х.

Но что происходит с волной? Не стирает ли ее предел с лица земли, как нейтронная бомба?

Одним словом, да. Пределы могут это сделать.

В действительности вы никогда не «достигнете» предела. Приблизиться к нему вы, конечно, можете – так близко, что почувствуете его запах, его боль, но коснуться его не удастся. Прыжок к пределу – это трансцендентальный акт, это сродни переходу к смерти: скачок от подвластного времени тела к существующей вне времени душе. Почему любая принадлежащая нам вещь должна пережить это путешествие? У наc есть волосы и зубы, но разве мы ожидаем, что после смерти будем существовать в виде волосатых и зубастых духов?

Чудо математического анализа, неизмеримая тайна всей этой науки в том, сколь многое переживает этот смертельный скачок. И производная, и интеграл ограничены пределами. Тем не менее они не прекращают свое существование. Они работают.

Такие загадки, как та, что нам загадала Брайанна, стимулировали развитие математики в XIX в. Целое поколение ученых совместно работало, чтобы раз и навсегда разгадать парадоксы в математическом анализе. Это означало превращение интуитивной, геометрической работы их предшественников в нечто четкое и нерушимое, в переосмысленный математический анализ, который сохраняет некоторые первоначальные черты, но избавляется от других.

Именно так обстоит дело с предельными процессами. Что-то исчезает, как осенние листья, что-то остается, как ветви деревьев зимой.

IX
Танцы с пылью

Год 1827. Наш главный герой – веселый седовласый ботаник по имени Роберт Броун. Он склоняется над микроскопом, вглядываясь в предметное стекло с пыльцой, – занятие, которое за десятки лет до появления кабельного телевидения можно было считать развлечением по выходным. Броун замечает нечто непривычное.

Танцевальную вечеринку в миниатюре.

Крошечные частицы зернышек пыльцы колеблются перед его глазами. Они танцуют джиттербаг^[19]. Они исполняют джайв^[20]. Они подпрыгивают, как зерна кукурузы на горячей сковородке, или как накачанные кофеином кролики, или как я на свадебной вечеринке у друга. Они извиваются, как будто слышат песню «Uptown Funk». Что же поддерживает эту неистовую активность?

Возможно, это жизненная сила пыльцы, похожее на перемещение сперматозоидов вечное движение половых клеток растений? Нет. Начнем с того, что, даже если жидкость стоит в закрытом сосуде целый год, танец так и не останавливается. (Реальная проверка танцевальной вечеринки!) Далее Броун обнаруживает такое же движение у частиц стекла, гранита, дыма и даже пыли, собранной с великого сфинкса в Гизе, из чего мы можем сделать вывод, что в те времена туристы запросто могли поскрести исторический памятник, чтобы собрать бесплатные образцы для опытов.

Броун был не первым, кто обнаружил это явление. Поколением раньше ученый по имени Ян Ингенхауз заметил, что частицы угля трепыхаются в алкоголе. Почти за 2000 лет до этого римский поэт Лукреций писал о пыли, дрожащей в луче света. Это древний вездесущий танец.

Так что же он собой представляет?

Итак, весь мир состоит из атомов. Они находятся в постоянном движении. Без электронного микроскопа атомы мы увидеть не можем, но можем заметить более крупные частицы, которые атомы все время бомбардируют, – частицы, такие как пыль со сфинкса и пыльца цветов. Представьте себе огромный шар в парке Дисней Эпкот^[21], который непрерывно бомбардируют миллиарды невидимых маленьких шариков, и вы уловите эту идею.

В любой отдельно взятый момент совершенно случайный удар с одной стороны немного перевешивает удар с противоположной. Это вызывает отклонение частицы в одном направлении. В следующий момент схема меняется и частица движется в другом направлении.

Это продолжается вечность, момент за моментом, мгновение за мгновением.

Джига частиц, получившая название «броуновское движение», приводит в замешательство. Это движение частиц беспорядочно, то есть частицы не отдают предпочтения каким-либо направлениям. Оно непредсказуемо, иначе говоря, прошлые движения не дают никакой подсказки, в каком направлении частица будет двигаться в дальнейшем. Но, возможно, самое необычное из всего – это характер изменения направления.

Эти изменения в нашей математической модели являются недифференцируемыми.

Термин требует дополнительных разъяснений, поэтому представьте себя бейсбольным мячом. Я бросаю вас в воздух со скоростью 25 м/с. Предположим, вы простили мое агрессивное поведение, и мы вместе задаемся вопросом, что же происходит после этого. Вы пронзите атмосферу и отправитесь в долгое одинокое странствие среди звезд?

Боюсь, что нет, мой простроченный красными нитками друг! Вы житель Земли, попавший в гравитационную ловушку планеты. Поэтому через секунду вы замедлитесь до 15 м/с. Еще через секунду ваша скорость упадет до 5 м/с. А через следующую половину секунды вы замедлитесь еще сильнее, пока, наконец, не измените направление и не начнете падать с ускорением в направлении земли.

В верхней точке траектории нас ждет необычный и удивительный момент, когда вы уже перестали подниматься, но еще не начали падать. В этот краткий «чих» времени вы лишены движения, «путешествуете» со скоростью ноль метров в секунду.

А что, если мы снабдим вас ракетными ускорителями? Если когда-то вы были всего лишь просто шаром из воловьей кожи, то теперь стали оснащенным реактивным двигателем шаром из воловьей кожи. С помощью реактивной тяги вы взмываете вверх, а потом несетесь вниз. Не является ли это другим видом перемены направления?

На самом деле нет. Разумеется, то, что когда-то занимало целую секунду, теперь происходит за какие-то ее доли, но общая схема сохраняется. После того как ваше движение вверх замедлилось, и до того, как началось движение вниз, существует единственный момент смены направления, когда ваша мгновенная скорость равна нулю.

Только если очень напрячь свое математическое воображение, мы можем представить другой вариант развития событий, скажем, такой:

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.

На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.

Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.

Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».

Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».

В истории математического анализа дьявол Вейерштрасса с заостренными отметинами на лице олицетворяет собой точку, где произошел резкий разворот, внезапное изменение направления.

В такие времена может показаться, что математика вначале потеряла голову где-то в облаках, а потом потеряла облака под своим собственным задом. Кого заботят невозможные детали, все эти абстракции, которые нельзя даже представить? Не охотился ли Вейерштрасс из любви к искусству всего лишь за каким-то философским понятием, рассчитанным на дешевый успех, презирая главное предписание о том, какой должна быть математика? Ну, вы знаете, полезной.

Виновен по всем пунктам. «Это действительно так, – говорил Вейерштрасс, – нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

И тем не менее, если вы с детства привыкаете к существованию резких поворотов, возможно, вы увидите, куда они ведут. Эта недифференцируемость повсюду, характерная черта, которая делает шипастого питомца Вейерштрасса таким пугающим и нереальным, особенность, которая ошарашила целое поколение математиков… В общем, именно так и работает наша модель броуновского движения.

Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».

Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.

Х
Зеленоволосая девушка и многомерная улитка

Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.

В самые мирные моменты их медового месяца (а они отправились в недорогое стратосферное путешествие вокруг света) он пытался научить ее математическому анализу.

Он объяснял все, он объяснял все про все с самого начала до конца. Он объяснял так много, что она путалась, слушая его.

Как вымышленный персонаж, придуманный в 1948 г., Оона понятия не имела о том, что значит «самоутверждаться за счет женщины». Вместо этого она с радостью принимала уроки Джика и считала себя счастливицей. «Вот здорово! – думала она. – Множество мужей никогда не говорят со своими женами, только жалуются на плохую еду».

Однажды Джик пришел домой с великолепным подарком: «самым лучшим роботизированным мозгом, который когда-либо придумывали». Устройство называлось «визи-мат». Джик объяснил:

Ты пишешь на листочке любое математическое выражение, скармливаешь его машине… и получаешь перевод на язык визуальных представлений того выражения, которое тебя интересует.

В отличие от других подарков Джика визи-мат действительно помогает Ооне. И для высокотехнологичной машины вымышленного будущего он действует достаточно простым способом, показывая, как умножение связано с прямоугольниками.

Например, то, что 5 × 4 = 20, лучше всего можно понять, представив прямоугольник 5 × 4.

Это же работает и для умножения дробных чисел, скажем 6 × 2,5. Вы получаете 12 целых квадратов и шесть половинок, а всего – 15.

Так можно даже объяснить, как «возведение в квадрат» получило свое название, поскольку удвоение количества само по себе создает квадрат.

«Учить математике без иллюстраций – это преступление, – говорил Бенуа Мандельброт^[22], – смехотворное занятие». Но каким-то образом такие учителя, как я, часто не могут следовать этому правилу. В том XXI в., где мы обитаем и где есть такие инструменты, как Wolfram|Alpha^[23] и Desmos^[24], которые могли бы посрамить визи-мат, мы в своей профессиональной деятельности остаемся теми же Джиками.

Возьмем одно из первых правил курса математического анализа: производной функции х² является 2х. Должен отметить, что, объясняя ученикам этот факт, я всегда шел по алгебраическому пути:

Почему я продолжаю оставаться Джиком? Неужели стандартизированное обучение неумолимо ведет к механическому запоминанию? Или это связано с тем, что мы, учителя, не знаем хороших наглядных материалов, так как сами являемся продуктами системы? Или это затянувшееся влияние Бурбаки, радикальной группы математиков ХХ в., чей боевой клич «Смерть треугольникам!» предупреждал, что визуальное восприятие вводит в заблуждение, а абстрактный символизм – единственная твердая почва под ногами?

Какой бы ни была причина, визи-мат предлагает альтернативу. Начнем с возведения в квадрат, умножения х на х.

Производная, как вы, возможно, помните, – мгновенный уровень изменения. Следовательно, необходимо задать вопрос: «Если мы немного изменим х, на сколько изменится х²?»

Так давайте пойдем вперед и немного увеличим х, назвав это dx.

Рост х² происходит в трех областях: двух длинных, тонких прямоугольниках (каждый х увеличивается на dx) и в крошечном квадратике в углу (dx на dx).

Здесь мы остановимся, чтобы порассуждать о природе миниатюрности. Примерно так: вот это маленькое, а это просто крошечное. Скажем х = 1, а dx = 1/100. Это достаточно мало, верно? Конечно, но (dx)² в сотню раз меньше: всего лишь 1/10 000. Это такое крошечное значение, что предыдущее по сравнению с ним выглядит огромным.

А если dx еще меньше, например 1/1 000 000? Тогда (dx)² в миллион раз меньше и равняется только 1/1 000 000 000 000. Это новый уровень миниатюрности.

Что же представляет собой dx в действительности? Это стремящаяся к нулю величина меньше любого известного числа. (Джон Валлис, изобретатель значка бесконечности, записывал бесконечно малые величины как 1/∞, хотя ваш учитель может рассердиться из-за такого обозначения.) Так что (dx)² не просто в сотню или миллион раз меньше, оно бесконечно меньше, это бесконечно малое от бесконечно малого. Оно с таким же успехом могло бы быть нулем.

Так на много ли вырастет х²? Если игнорировать пренебрежимо малое (dx)², он вырастет на два прямоугольника – один по ширине, другой по высоте.

Следовательно, производная равна 2х.

Вернемся в гостиную будущего. Оона находит демонстрацию захватывающей.

Так вот что они имели в виду, когда говорили о возведении числа в квадрат! Не просто умножение его на себя самого или что там Джик говорил, но превращение числа в самый настоящий квадрат… Тогда математика – это не просто набор цифр, букв и глупостей. Она что-то значит, а математическое выражение, как предложение, о чем-то говорит.

Возбужденная Оона погрузилась в следующий демонстрационный пример визи-мата. Как может с зевком или всхлипом подтвердить любой студент-математик, производная х³ – это 3х². У Ооны – и у меня, и у моих студентов, и, черт побери, у любого человека, который когда-либо подвергался алгебраической пытке вроде той, которую устроил ведомый благими намерениями Джик, – возникает один вопрос: «Почему?»

Визи-мат знает. Если х² дает нам квадрат, то х³ – куб.

Опять же, позволим х вырасти на небольшую величину dx и понаблюдаем: каждая сторона куба тоже увеличивается.

Это создает множество новых областей. Во-первых, есть три плоских квадрата, их глубина бесконечно мала.

Далее, есть три узких стержня, их глубина и ширина бесконечно малы.

А в углу находится один очень маленький куб, его высота, ширина и глубина бесконечно малы.

Эти последние четыре объекта – узкие стержни и претендующий на оригинальность куб – меньше самого мелкого, крошечнее крошечного. Они представляют собой практически ничто по сравнению с напоминающими листы бумаги квадратными областями. Таким образом, производная получается следующим образом: когда вы увеличиваете сторону куба, куб вырастает на три плоских квадрата, по одному на измерение.

Увидев, как визи-мат разворачивает перед ней все это, Оона внимает ему с удовольствием.

Теперь, когда она знала, что наконец может понимать все эти математические штуки, в ее крови заструилось что-то вроде пузырьков радости.

Больше не надо видеть, как Джик разочарован и задет, больше не надо слушать, как он говорит, говорит, говорит, пока она пытается понять, что, во имя Системы, все это значит. Отныне со всеми этими проблемами она может обратиться к визи-мату.

Вся эта история взята из рассказа «Алеф с нижним индексом один» (Aleph Sub One) Маргарет Сент-Клер, забытой современницы Азимова, Брэдбери и Кларка. В ее работах технологический оптимизм соединяется с социальным пессимизмом. Оона живет во времени, когда приспособления становятся все лучше и лучше, а люди остаются все теми же. «Я люблю писать об обыкновенных людях из будущего, – однажды объяснила Сент-Клер, – окруженных сложными техническими приспособлениями, порожденными супернаукой. Но эти люди, я уверена, знают о том, как вся эта техника работает, не больше, чем современный водитель осведомлен о законах термодинамики».

В этом отношении «Алеф с нижним индексом один» – выдающийся рассказ. Визи-мат, в отличие от агрегатов для уборки и приготовления пищи, одаривает Оону чем-то, что действительно имеет вес, – пониманием. Теперь она может взглянуть сквозь малопонятные формулы и увидеть стоящее за ними значение. Она может увидеть свет в конце длинного темного тоннеля лекций Джика.

Очень своеобразная точка зрения: освобождение женщины через геометрическую визуализацию.

«Битва между геометрией и алгеброй напоминает сражение между представителями различных полов, – сказал однажды математик сэр Майкл Атья. – Это навечно… Дихотомия между алгеброй как способом делать что-то с помощью формальных манипуляций и геометрией как способом мыслить на концептуальном уровне – две составляющих математики. Вопрос только в их правильном балансе».

Оона могла бы вмешаться: «В балансе? А зачем нам вообще нужна вся эта неразбериха алгебраических символов?»

Потому что геометрия имеет ограничения. Производные функций х² и х³ нарисовать несложно, но для х⁴ вам придется изобразить тессеракт в четырех измерениях. Удачи вам в этом занятии. Оона попробовала это сделать на визи-мате, но без особого успеха. Она увидела «что-то вроде куба или набора кубов, от которых у нее заболели глаза». Мгновение спустя изображение исчезло, став плоским «так быстро, что Оона не была уверена, действительно ли его видела».

Именно в этот момент Оона приняла судьбоносное решение – скормить визи-мату самое ужасное, самое сложное выражение, какое она только могла придумать.

Она напряженно писала почти пять минут, обильно украшая свою работу различными dx, n-ными степенями и достаточным количеством e… Под уравнением своим круглым детским почерком Оона написала N = 5.

Когда машина затрещала и отключилась, Оона пожала плечами и ушла, занявшись хозяйством. Когда она вернулась, ее дом был поглощен «некой неестественной красноватой мутью, медленно вращающейся и напоминающей водоворот, который получается, когда вы спускаете воду из ванны». Попытка отобразить кошмарное уравнение Ооны создала уничтожающий пространство вихрь.

Для меня это выглядит правдоподобно: бессмысленные математические символы вполне способны разрушить реальность.

В конце концов Оона сумела спасти ситуацию, подсунув «улитке» написанную от руки записку: «Извините, я сделала ошибку. N не равна пяти. На самом деле N равна нулю (0). Вихрь получил ее записку, и «на какой-то момент казалось, что Вселенная качается на краю бездны. Затем все выглядело так, как будто нечто пожало плечами и решило утихомириться».

Возможно, не все производные могут быть визуализированы.

XI
Принцесса с городской окраины

Давным-давно, 29 или 30 столетий назад, жила-была принцесса по имени Элисса. Согласно сохранившимся текстам, ее брат Пигмалион был «тем еще парнем». Это вежливый способ рассказать о том, что он убил мужа Элиссы из желания поживиться золотом.

Прихватив с собой свои мозги, хитрость и, без сомнения, недавно возникшие проблемы с доверием, Элисса бежала через Средиземное море на побережье Африки. Она прибыла туда с большим количеством последователей, но у них не было ничего, что можно продать. Даже жульничая, Элисса сумела выторговать только «кусок земли, который она могла покрыть бычьей шкурой».

Выглядит не очень. Но Элисса была хитроумной леди. Как написано в одном из источников, она велела разрезать шкуру «на самые тонкие полосы», а затем, подойдя к прописанному в договоре с поистине вызывающей восторг ловкостью, она представила слова «участок, который можно покрыть» как «часть земли, которую можно охватить».

Такими были условия самой известной античной задачи на максимизацию. Какой участок земли вы можете отгородить с помощью некоторого количества длинных полосок кожи?

Эта загадка сегодня известна как изопериметрическая задача: приставка изо- здесь означает «тот же самый», а периметр – «подлая леди». По этимологическому совпадению периметр также означает «длина границы плоской фигуры».

Вопрос состоит в том, как можно захватить наибольшую площадь из всех возможных форм.

Не знаю, какими единицами длины пользовалась Элисса. Вероятнее всего, не метрами, если только она не была одной из первых, кто их применял. Поэтому, скажем, ее полоски соответствовали 60 «бычьим футам» (каждый из которых равен «1/60 общей длины, имевшейся у Элиссы»).

Теперь упорядоченная система геометрии предоставляет бесконечное разнообразие форм для города Элиссы.

Чтобы избежать такого разброса (и сложных расчетов площади), давайте возьмем самый простой класс фигур – прямоугольники.

Имея шкуру быка определенного размера, Элиссе предстояло пойти на сделку. Чем больше она будет расширять основание прямоугольника, тем меньше будет высота, и наоборот. Увеличьте одно из измерений с 17 до 18, и другое тут же понизится с 13 до 12.

Мы можем иначе сформулировать формулу площади прямоугольника: не «ширина × высота», а «основание × (30 – основание)».

На графике сверху каждая точка обозначает возможный прямоугольник, зарождающуюся империю Элиссы. На левом краю находятся глупые планы, такие как 1 × 29, на правом – их зеркальные отражения, скажем 29 × 1. Благодаря каждому из них получается очень узкая территория площадью 29 квадратных единиц, зауженная до такой степени, что даже Бостон покажется просторным.

Почему получаются такие нежизнеспособные результаты? Просто рассмотрите производные. Отношение скажет нам о том, как площадь реагирует на изменение основания.

Тем временем скажет нам, как площадь реагирует на изменение высоты.

Увеличьте основание, и площадь чуть-чуть изменится. Увеличьте высоту, и она взлетит ввысь. Если пользоваться другими терминами, ничтожно мало, в то время как огромно. Это порок всех подобных прямоугольников, напоминающих по форме спагетти, с удлиненным основанием и хилой высотой. По такому замыслу почти вся драгоценная бычья шкура уйдет на прижимистую производную, не оставив ничего щедрой.

Более умный план? Тратить, пока производные не станут равны. Это произойдет, как показывает график, когда стороны станут равны, в квадрате 15 × 15.

Решили ли мы проблему Элиссы? Не пора ли перерезать красную ленточку и начать занимать места на парковке? Не так быстро – у принцессы в запасе есть еще один трюк. Вместо того чтобы раскладывать полоски из бычьей кожи по открытой равнине, что, если ей отгородить участок на побережье Средиземного моря? Таким образом, вместо того чтобы выкладывать четыре стороны, ей понадобятся только три.

Ранее Элисса могла позволить себе квадрат 15 × 15. Сейчас она может отгородить область 20 × 20. Площадь увеличивается с 225 единиц до 400, город обрастает пригородами. Теперь-то мы уже можем выбирать мэра и, наконец, начинать жаловаться на строительство?

Однако, чтобы проверить, вернемся к производным. Вот что говорит нам самое маленькое увеличение высоты дает увеличение площади на 10 таких единиц.

Не так уж плохо! И можно предположить, что то же самое происходит с

Черт возьми! Дополнительное приращение основания увеличит площадь на 20 таких единиц. Производные не равны!

По результатам проверки это имеет смысл. Каждый маленький участок высоты тянет за собой две стены, тогда как каждый участок основания – только одну. Таким образом, ширина «дешевле» в два раза. Квадратная форма перераспределяет ресурсы: мы ищем форму, при которой обе производные равны.

Теперь пора перейти к другому графику:

Оказывается, максимальную площадь займет прямоугольник 15 × 30, охватывающий 450 квадратных единиц.

Триумф, как ни крути! Элисса превратила свой перенаселенный Манхэттен из бычьей шкуры в просторный Хьюстон. Но, использовав кое-что под названием «вариационное исчисление», подразумевающее различные виды кривых, Элисса может получить больше площади от своих ничего не подозревающих партнеров по торговле. Это дает нам в действительности самое оптимальное решение – полукруг, диаметром которого является береговая линия.

Приблизительная площадь этой фигуры – 573 квадратные единицы. Совсем неплохо для оптимизации за один день.

Все это, как утверждают римские историки, произошло в конце IX в. до н. э. В последующие годы на полукруглом участке земли появился процветающий и сильный портовый город-государство под названием Карфаген. Он был могущественной державой, пока Рим не повел против него войны и, в конце концов, с трех попыток, не одолел его. Многие годы Катон Старший заканчивал каждую свою речь словами: «Карфаген должен быть разрушен» («Delenda est Carthago»), что, должно быть, звучало несколько странно, скажем, на открытии нового парка.

В эпической поэме Вергилия «Энеида» Элисса выступает как любовница титулованного Энея, основателя Рима. Вергилий называет ее Дидоной. Под этим именем она вошла в основной состав канона западной культуры: 11 раз ее упоминал Шекспир, она стала героиней 14 опер, а также появилась в компьютерной игре «Цивилизация». Как говорил Дидоне Эней, «твоя честь, твое имя, твои заслуги будут жить вечно».

В наши дни город Элиссы с периметром из бычьей шкуры является прибрежным пригородом Туниса.

XII
Земля, опустевшая из-за скрепок

Предупреждаю заранее: я собираюсь закончить эту главу длинной, укрепляющей серией обязательных упражнений. Вот такую книгу для чтения на пляже вы купили. Если только – здесь я просто немного подтруниваю – вы не обменяете эту домашнюю работу на книгу апокалиптических комиксов.

Правда? Ну, делайте, как вам нравится.

В качестве компромисса давайте начнем эту главу, как мне нравится: с классической проблемы оптимизации, которую можно найти в любой книге по математическому анализу, начиная с «железного века» учебников по этой науке. Задача звучит примерно так: «Два положительных числа при умножении дают 100. Какой может быть их наименьшая сумма?»

Для начала мы можем попробовать различные пары чисел и посмотреть, что они дают в сумме.

Если первое число обозначить как A, то второе всегда равно 100, деленное на А (иначе говоря, 100/А). В результате получается следующий график:

Минимум находится там, где производная точно равна нулю, что происходит, когда А = 10. Это означает, что второе число также 10, и, таким образом, минимальная сумма – 20. Выпейте безалкогольного шипящего сидра – задача решена!

Эта задача приятна и аккуратно подстрижена, как придомовая лужайка в пригороде. Вы исследуете возможности. Вы взвешиваете варианты. И в конце вы приходите к единственному решению – триумф равновесия и эффективности. Почему авторы книг по самосовершенствованию и IT-компании так активно призывают нас к «оптимизации». Если понимать ее буквально, оптимизация призвана делать вещи лучше. Кто, за исключением поклонников сериала «Звездный путь: Вояджер», предпочтет худшее лучшему?

Но это только одно понимание оптимизации. Сразу за углом скрывается дикий мир. Позвольте себе нечто простое и безрассудное – сделайте наоборот. Вместо того чтобы искать минимальную сумму, найдите максимальную.

Если подбирать правильные пары множителей, сумма может расти и расти, так, что мы потеряем над ней контроль, и раздуется до бесконечности, как обещания политика или вопли младенца. Как может понять любой избиратель или родитель, мы попали в кошмар оптимизатора. Никакого максимума здесь нет, только беспредельный, бесконечный подъем.

В 2003 г. философ Ник Бостром написал эссе об этических последствиях применения искусственного интеллекта, существенно превосходящего человеческий. Он включил в работу краткое описание того, как даже самая возвышенная цель при не испытывающем колебаний руководстве может привести к варварскому уничтожению всего, подобно графику, устремленному в бесконечность. Этот замысел в стиле фильма ужасов с тех пор вошел в обиход и воображение людей.

Я даю вам… Умножитель скрепок для бумаги.

Как в басне Эзопа «Черепаха и технологическая сингулярность^[25]», мораль этой сказки совершенно ясна: никогда не создавайте силу, которой безразлично ваше выживание и которую вы не можете остановить. «Искусственный интеллект не испытывает к вам ненависти, – говорит философ Элиезер Юдковский, – не ощущает и любви, но вы сделаны из атомов, которые он может использовать для своих нужд».

Действительно ли существует эта угроза? Не сойдут ли через несколько секунд поезда с рельсов или это всего лишь зарисовка на ноутбуке градостроителя? Математик Ханна Фрай склонна придерживаться последней точки зрения. «Возможно, было бы куда более полезно подумать о том, как мы пройдем через революции в вычислительной статистике, чем через революцию в искусственном интеллекте, – пишет она в своей книге «Привет, мир! Оставаясь человеком в эпоху алгоритмов» (Hello World: Being Human in the Age of Algorithms). – Честно говоря, мы очень далеки от создания интеллекта даже на уровне ежика. Никто пока что не продвинулся дальше червя». Другие настроены менее оптимистично. «Часто случается, – пишет Юдковский, – что от ключевого технического изобретения, которое, казалось, появится только через несколько десятилетий, нас отделяет всего пять лет».

Стоит спросить: почему мы с вами не ведем себя как Умножитель скрепок? Я встречал людей – черт, да я сам бывал таким! – чьи цели были сомнительными или даже хуже. Мы способны на моральную слепоту, эгоистичную жадность и, когда стоим в медленно двигающейся очереди в магазине, на внезапный порыв кого-нибудь убить. Если Умножитель скрепок уничтожает мир ради глупой цели, почему мы с вами не уничтожаем мир, принимая во внимание, что наши цели являются далеко не возвышенными?

Отчасти дело в том, что нам просто не хватает сил. Но, кроме того – и это звучит более утешительно, – мы устроены сложнее и потому не способны так несгибаемо, не зная сомнений, идти к подобной цели.

Испытывали ли вы ничем не замутненную радость, когда играли в ладушки с карапузом? Необыкновенное умиротворение от созерцания многоцветного заката? Сладость идеального молочного коктейля? Ощущали ли вы состояние потока, выполняя значительную работу, чувство гордости от неожиданных перепостов, тепло на душе от дружеского общения с леопардовым гекконом? Если да, то вы знаете, что счастье – это не нечто, существующее отдельно. Для человечества нет одной-единственной переменной, чтобы ее оптимизировать. Как писал Уолт Уитмен:

По-твоему, я противоречу себе?

Ну что же, значит, я противоречу себе.

(Я широк, я вмещаю в себе множество разных людей.)^[26]

Просто возьмите наш мозг, который не сделан по единому, унифицированному стандарту. Он представляет собой мягкое розоватое вещество, появившееся из запасных частей за тысячелетия эволюции. Он похож на архисложные компьютерные программы, организацию которых не может понять ни один программист. Именно поэтому жизнь так богата и бывает такой странной.

Математики могут дать нам инструкции о том, как оптимизировать. Но решать, что оптимизировать, остается задачей людей. И я голосую против скрепок.

XIII
Последняя усмешка кривой

Однажды вечером беспокойной осенью 1974 г. в роскошном ресторане отеля в столице США собралось пять человек, чтобы пообедать стейками, а на десерт заняться математическим анализом. Среди них было трое государственных чиновников (Дональд Рамсфелд, Дик Чейни и Грейс-Мари Арнетт), один редактор The Wall Street Journal (Джуд Ванниски) и один экономист из Университета Чикаго, Артур Лаффер, чье имя вскоре войдет в анналы истории экономики – а все благодаря исписанным чернильной ручкой салфеткам.

Неопытная администрация Форда столкнулась с дефицитом бюджета. Президент предложил общепринятое консервативное решение – повысить налоги. Возможно, сердца избирателей это не согрело бы, но ведь такое решение срабатывало столько раз! Если средств не хватает, нужно брать больше. Если только не спросить Артура Лаффера. Он считал, что правительство может наполнить свои сундуки, не повышая налоги, а понижая их. Я получаю больше денег, вы получаете больше денег, правительство получает больше денег. Эй, загляните под свои стулья – все получают больше денег!

Чтобы объяснить свою идею, Лаффер схватил салфетку и нарисовал производную, которая изменила мир.

Вначале представьте мир, где ставка подоходного налога равнялась бы нулю. В нем проблема Форда с дефицитом только усугубилась бы, потому что правительство никогда не получало бы никаких денег.

Другая крайность – ставка налога в 100 % – едва ли намного лучше. Когда служба по внутреннему налогообложению забирает каждый грош, который вы зарабатываете, зачем тогда вообще зарабатывать деньги? Вместо этого вы можете трудиться по бартеру, или работать подпольно, или распевать язвительные антиправительственные песенки на городских площадях. Пытаясь заграбастать весь экономический пирог, правительство только раздавливает его.

А теперь переходим к математическому анализу. Как доход правительства (обозначим его G) отвечает на изменения ставки налога (обозначим ее T)?

Иногда положительна, то есть повышение налога приводит к стремительному росту дохода, к примеру от 0 % до 1 %. В других случаях отрицательна, иначе говоря, повышение налога ведет к понижению дохода – скажем, от 99 % до 100 %.

Если предположить, что не будет никаких внезапных скачков или разворотов, мы можем применить небольшой, но прославленный шедевр математического анализа – теорему Ролля. Она гласит, что где-то между 0 % и 100 % есть особая точка, магическая налоговая ставка, повышающая доход до максимума, где равна нулю, и правительство получает от экономики столько, сколько может.

Где же именно находится эта точка? Неясно. Теорема Ролля – это то, что математики называют «теоремой существования»: она утверждает, что объект существует, но не указывает, где и как его найти.

Не важно. Лаффер не утверждает, что мы должны найти максимум. По его мнению, вам просто не надо оказываться справа от него, там, где понижение налогов приводит к тому, что все теряют свою прибыль. Только держащий в страхе всю экономику злодей из бондианы или не разбирающийся в математике круглый дурак могли бы возразить против этого.

Лаффер приводит пример президента Кеннеди, который понизил верхнюю границу предельной ставки с 91 % до 70 %. Результат был до странности асимметричным. Тогда как доля правительства в каждом маржинальном долларе упала более чем на четверть (с $0,91 до $0,70), доля работника увеличилась более чем в три раза (с $0,09 до $0,30). Это, как утверждает Лаффер, дало богатым людям стимул работать. Они с ревом бросились в свои офисные здания, как футбольные болельщики на игру. Уровень заработной платы взлетает вверх, налогооблагаемая база растет, музыка гремит, и даже правительство получает доход.

Логику здесь определяет простой математический анализ, ничего нового. Джон Мейнард Кейнс, Эндрю Меллон, мусульманский философ XIV в. Ибн Хальдун – Лаффер цитировал их всех как своих предшественников, отрицая какую-либо свою заслугу. Так что, думаю, вы уже догадались, в честь кого назвали график.

За это наименование мы можем благодарить Джуда Ванниски.

Кем он был, кроме того что являлся редактором The Wall Street Journal и фанатичным сторонником Лаффера? Согласно комментатору-консерватору Роберту Новаку, «гением», «адвокатом, который изменил мир» и «самым умным человеком, какого мне приходилось встречать»; согласно The New York Sun, «портящим факсы, ищущим публичности мозговым трестом в лице одного человека», а по версии внутреннего источника Джуда Ванниски – «самым влиятельным политическим экономистом последнего поколения».

«Хотел бы я быть настолько же компетентным хоть в чем-то, – сказал его соперник Джордж Уилл, – насколько он компетентен во всем».

Взглянув на кривую Лаффера, Ванниски увидел исторический поворот. Можно забыть о консервативном пристальном внимании к борьбе против дефицита. Можно забыть о старом выражении противников налогов «держать правительство на голодном пайке». Во время этого обеда, который, как он заявил, был срежиссирован заранее, Ванниски увидел организацию нового мира. Теперь снижение налогов становилось выгодным для всех или даже для всех-всех-всех-всех-всех-всех-всех…

Свое видение он изложил в фундаментальном труде, вышедшем в 1978 г. и скромно озаглавленном: «Как устроен мир» (The Way the World Works). Эта книга быстро стала библией новой экономики «с приоритетом предложения». В 1999 г. в своем ретроспективном собрании National Review включил ее в сотню самых великих документальных произведений столетия. «Я иду сразу за кулинарной книгой “Радость приготовления пищи”», – шутил Ванниски, хотя, если быть точным, «Радость приготовления пищи» занимает 41-е место, а Ванниски – 94-е.

Кривой Лаффера в книге отведена основная роль. На самом деле это ее главный герой, графическое представление самой цивилизации. «Тем или иным образом, – писал Ванниски, – все сделки, даже самые простые, проходят в соответствии с ней». Он предрекал, что «ее использование будет распространяться… Избиратели во всем мире узнают…»

У меня есть только одно замечание: кажется, Джуд Ванниски не понимал смысла кривой.

Вновь и вновь он говорит о пике кривой как о «точке, в которой избиратели желают, чтобы их облагали налогом». Не уверен, с какими именно избирателями встречался Ванниски, но я никогда не встречал ни одного, добивающегося максимальной выгоды для правительства. Никто не любит налоговую службу до такой степени.

Ванниски пишет:

В этой формулировке косвенным образом подразумевается существование в каком-то месте идеальной налоговой ставки, не слишком высокой и не слишком низкой, но способной поощрять максимальную налоговую активность и дающей самый высокий и наименее болезненный уровень дохода от налогов.

Не нужно иметь докторскую степень, чтобы понять: «самый высокий» и «наименее болезненный» уровень дохода от налогов – это далеко не синонимы и даже несопоставимые понятия. Ванниски пишет так, как будто ось y одновременно представляет две переменные – доход от налогов и общую производительность. Но график работает не так.

Вскоре после дерзкого и таинственного скачка воображения Ванниски начинает представлять кривую Лаффера как метафору всего – например, отца, воспитывающего сына. «Суровые наказания за нарушения крупных и мелких правил» сравниваются с высокой налоговой ставкой. Они могут «вызвать только угрюмые бунты, хитрость и ложь (уклонение от налогов по всей стране)». Тем временем отец, который является сторонником вседозволенности, напоминает низкую налоговую ставку и «подталкивает к открытым, бесшабашным бунтам»: «раскрепощенное взросление его сына происходит за счет остальной семьи».

Если воспринимать эту аналогию буквально, то ее автор заменяет «доходы правительства» «общим количеством наказаний». Он утверждает, что отцы должны стремиться извлечь максимум пользы из своих наказаний. Не наказывайте слишком сурово, иначе сведете на нет весь смысл наказаний.

В ничем не ограниченной прозе Ванниски кривая Лаффера перестает быть экономическим или даже математическим понятием. Он превращает ее в призрачный символ новой эры, нечто едва ли действующее по правилам, не мысль, а, скорее, эмоцию.

Как бы то ни было, благодаря неутомимой и несколько несуразной защите Ванниски кривая Лаффера завоевала популярность. Через несколько недель после вышеупомянутого обеда в 1974 г. президент Форд начал проводить новую политику, отказавшись от повышения налогов. В 1976 г. только что переизбранный конгрессмен Джек Кемп согласился на 15-минутную встречу с Лаффером, в итоге они проговорили весь вечер, как лучшие подружки, собравшиеся на пижамную вечеринку. «Наконец я отыскал избранного представителя народа, который был таким же фанатиком, как я», – сказал Ванниски. Еще один сторонник экономики предложения писал позднее: «Именно Джек Кемп практически в одиночку заставил Рональда Рейгана обратиться к экономике предложения». В 1981 г. Рейган подписал закон о значительном снижении налогов, соавтором которого был Кемп.

Менее чем за десятилетие закорючки на бумажной салфетке стали законом страны.

В тот же самый год, после четверти века составления колонки математических игр для Scientific American, писатель Мартин Гарднер посвятил свой последний выпуск этой рубрики острой критике сторонников экономики предложения. Цитируя Джеймса Джойса – «самый странный сон, который можно увидеть в полусне», – он устраивает разнос кривой Лаффера как чрезмерно упрощенной и граничащей с бессмыслицей.

Возьмем ось х: «ставка налогообложения». Что это вообще может значить в такой системе, как наша? Среднюю маржинальную ставку? Верхнюю? Не должно ли быть разницы между суммами выплат тех, кого можно отнести к низшей категории по величине дохода, и тех, кого можно отнести к высшей категории? Чтобы компенсировать утраченную сложность, Гарднер выдвинул контраргумент: «новую кривую Лаффера». Здесь «одна и та же» налоговая ставка может привести к множеству различных результатов, в зависимости от особых обстоятельств.

«Как и старая кривая Лаффера, – ерничал Гарднер, – новая также является метафорической, хотя явно представляет собой лучшую модель реального мира».

В конце концов, это вопрос эмпирический: может ли понижение налогов привести к повышению доходов? Находятся ли Соединенные Штаты сейчас – или находились тогда – с правой стороны (которая на самом деле является неправильной стороной) кривой?

Короткий ответ: возможно, нет. Экономисты пытались точно определить пик, но оценки очень разнятся. Ткните пальцем в середину графика, и вы попадете примерно в 70 %, именно такого уровня удалось достичь Рейгану. К тому времени, когда он покинул свой пост, этот показатель достигал 28 %, что определенно находится на левой стороне кривой.

В опросе 2012 г. приняли участие 40 ведущих экономистов, которых спрашивали, не можем ли мы находиться на правой стороне кривой Лаффера. Ни один не сказал в ответ «да». Несогласие колебалось от осторожных замечаний («Это кажется неправдоподобным, но невозможным не является») до категоричных заявлений («Такого никогда не случалось в прошлом. Нет никаких причин думать, что так произойдет в будущем») и даже до насмешек («Мы действительно побывали на Луне. Эволюция существует. Понижение налогов ведет к уменьшению дохода. Исследования показывали это тысячу раз. Хватит уже!») Один экономист отметил: «Это же Лаффер!»

Коллеги Лаффера по экономическому цеху, кажется, готовы выбросить его исписанную салфетку в мусорную корзину.

Тем не менее кривая по-прежнему остается мощным орудием политической пропаганды. «Эту идею вы можете объяснить любому конгрессмену за шесть минут, – отмечает экономист Хэл Вариан, – и он будет говорить о ней целых шесть месяцев». График показывает рынок труда как живой организм, меняющий размер и форму в качестве реакции на схемы налогообложения, используемые правительством. Эта точка зрения прижилась: сегодня «динамическая оценка» понижения налогов является обычной процедурой, а мысль о том, что «снижение налогов стимулирует рост», стала широко распространенным клише.

Смитсоновский институт сейчас хранит клочок салфетки, обнаруженный среди бумаг Ванниски после его смерти. «Если вы облагаете продукт налогом, результат хуже, – написано на ней. – [Если вы] субсидируете [продукт], [результат] выше. У нас работает налогообложение… и не работает субсидирование, и мы имеем праздную жизнь и безработицу. Последствия очевидны!» Салфетка адресована «Дону Рамсфелду», датируется 13/09/74 и подписана «Артур Б. Лаффер».

Лаффер говорит, что эта салфетка не настоящая, она была воссоздана позднее. Это запоздалый сувенир, сделанный по просьбе Ванниски много лет спустя. Оригиналом, по словам Лаффера, должна была быть бумага, он никогда не портил узорчатые салфетки. Кроме того, запись выглядит слишком аккуратной. «Смотрите, как тщательно она сделана! – сказал Лаффер журналистам из The New York Times. – И объясните, как поздно вечером за стаканом вина вы сможете писать так ровно!»

Я верю Лафферу. Конечно, Ванниски умел рассказывать отличные истории, но реальность всегда немного сложнее.

XIV
Это твой пес-профессор

Качества, которые больше всего восхищают людей в собаках, – писал корреспондент The New Yorker Джеймс Тербер, – это их собственные достоинства, странным образом усиленные и измененные». Вероятно, поэтому о нем писали в газетах, его снимали на телекамеры и забрасывали его почетными званиями, как мозговыми косточками. В его собачьей интуиции нам виделось подобие человеческого интеллекта, подтверждение нашего с трудом добытого знания.

Но, возможно, больше всего людей приводят в восторг умильные собачьи морды. «Если бы этот пес был уродцем, – со смехом говорит мне Тим Пеннингс, – вряд ли он имел бы такой успех».

История началась в 2001 г. «У меня и мысли не было о том, чтобы взять собаку», – рассказывает Пеннингс о своей первой встрече с Элвисом. Но, когда годовалый пес не колеблясь лизнул его колено, математик решил попробовать – в любом случае, «только на шесть месяцев». Их любовь продлилась десяток лет. Элвис бывал в кабинете Тима и посещал его уроки. «Его знали во всем кампусе, – говорит Пеннингс. – Неофициальный символ колледжа Хоуп».

Когда им не надо было давать уроки, парочка любила посещать пляж Лейктаун на песчаном восточном берегу озера Мичиган. Пеннингс бросал в воду теннисный мячик, Элвис стремглав мчался по пляжу, а потом с брызгами нырял за ним.

– Это служило толчком для моей памяти, – говорит Пеннингс. – Я думал: «Ага, именно такой путь я рисую каждый раз, когда решаю задачу Тарзана и Джейн».

– Это может только университетский преподаватель, – позднее с серьезной миной говорил один студент на CNN, – испортить такую великолепную игру чем-то вроде математического анализа.

Задача довольно стара. Тарзан, этот необразованный недотепа, провалился в зыбучие пески, и Джейн должна его спасти. Но ее отделяет от возлюбленного река (для простоты не будем учитывать ее течение) и небольшой путь вниз по берегу. Как Джейн добраться до Тарзана за минимальное время?

Один вариант: направиться к нему по прямой. Это сводит к минимуму расстояние, которое нужно преодолеть. Но, если учесть, что плавает Джейн медленнее, чем бегает, будет ли мудро с ее стороны провести почти все время в воде?

Альтернатива: пробежать по берегу, пока она не окажется точно напротив Тарзана, а потом переплыть реку под прямым углом. Это уменьшит расстояние, которое надо проплыть (что, возможно, подходит для пугающе неподвижной реки), но путь в целом удлинится.

Между этими двумя крайностями у Джейн есть множество менее экстремальных вариантов, когда она пробегает часть пути вдоль берега, а потом плывет по диагонали.

Эта загадка просто создана для математического анализа. Небольшая корректировка точки прыжка в воду оказывает крошечный эффект на общее время. Найдите, где эта производная равна нулю, и вы определите идеальный путь для Джейн с минимальным временем.

Мог Элвис, столкнувшись с подобной проблемой, выбрать оптимальный путь? Или, как спросил Пеннингс в заглавии своей исследовательской работы: «Знают ли собаки математический анализ?»

Во-первых, нам нужно задать несколько переменных: r – скорость бега Элвиса, s – скорость, с которой он плывет, x – расстояние, на котором мячик находится от берега, и z – расстояние до мячика по пляжу.

Последнее важное решение – это переменная y: какой угол должен срезать Элвис?

Проведя некоторые алгебраические преобразования, Пеннингс вывел удивительную формулу:

Почему эта формула удивительная? Не столько из-за того, из чего она состоит (просто куча символов), но из-за того, что в ней отсутствует. В формуле нет z.

В следующие годы Пеннингс подчеркивал этот момент, читая лекции студентам. «Что должен Элвис сделать, – спрашивал Тим, – если я отойду еще на десяток метров, прежде чем бросить мяч?» Иными словами, если z вырастет, что произойдет с y?

Подавляющее большинство отвечающих – более 90 % – выбирали вариант (б). Но тогда Пеннингс говорит о том, что в формуле нет z. Ее отсутствие указывает на то, что оптимум не зависит от z. Не важно, насколько далеко от береговой линии начнет движение пес – 10 метров, 100 метров, 100 километров: Элвис всегда должен выбирать один и тот же момент, чтобы войти в воду.

– Вы все с этим согласились, – говорил Пеннингс слушателям. – Это казалось очевидным. Но тем не менее математика преодолевает мнение масс. Она преодолевает вашу интуицию. Она преодолевает все это.

Мог Элвис также прорваться сквозь песок и волны, чтобы добраться до своей награды? Мог собачий мозг добиться успеха там, где спасовал человеческий? Неутомимые Пеннингс, Элвис и помогавший им студент провели день на пляже, собирая данные. Во-первых, замерили время, чтобы определить скорость пса: на земле Элвис преодолевал 6,4 м/с, а в воде – 0,91 м/с. Во-вторых, экспериментаторов ждало главное событие. Пеннингс провел 13-метровую черту с разметкой вдоль берега. Он бросал мячик 35 раз, 35 раз гнался за Элвисом, пока пес не нырял в воду, 35 раз втыкал отвертку в песок, чтобы сделать отметку, и 35 раз бросался, чтобы измерить расстояние, на котором мяч находился от берега до того, как Элвис схватил его.

– Что вы делаете, охотитесь за своей собакой с крестовой отверткой? – спросил какой-то прохожий.

– Провожу научный эксперимент, – ответил Пеннингс, вместо того чтобы нескромно сказать правду: он творил историю математики.

Формула Пеннингса предсказывала линейную связь между х (расстоянием, на котором мяч находился от берега) и y (точкой, где Элвис прыгал в воду). Нанеся на график 35 точек, за исключением двух попыток, когда слишком нетерпеливый Элвис прыгал прямо в воду, отметая разумное объяснение о том, что «даже у студента-отличника может быть плохой день», Тим получил впечатляющую картину.

Он отправил статью «Знают ли собаки математический анализ?» в журнал College Mathematics Review. Редактор Андервуд Дадли – мечтатель, достойный своего имени, – немедленно ее принял, поместил фотографию Элвиса на обложку и написал Пеннингсу письмо: «Когда следующие поколения читателей прочтут эту статью, они скажут: “В те дни жили гиганты”. И будут правы».

Историей заинтересовались Chicago Tribune, Baltimore Sun, NPR и BBC. В письме из Букингемского дворца были добрые пожелания королевы. В Wisconsin State Journal статья об Элвисе стояла на первой странице, а оборот отвели под графики. Популяризатор математики Кит Девлин посвятил главу своей книги «Математический инстинкт» (The Math Instinct) Элвису и даже предлагал назвать книгу «Знают ли собаки матан?». Издатель отговорил его, предупредив, что слово «матан» отпугнет читателей. (Забавно: мой говорил мне то же самое.)

Гениальность этой истории, как и гениальность самого Элвиса, в простоте.

– Скорее всего, – говорит Пеннингс, – есть сотня математиков, которые кусают локти, думая: «Я мог давным-давно сделать это со своей собакой!»

Двое исследователей из Франции – психолог Пьер Перрушет и математик Хорхе Галлего – сделали еще один шаг вперед. Во-первых, они повторили эксперимент с лабрадором-ретривером по кличке Сальса. Затем ученые бросили решительный вызов интерпретации Пеннингса. Они задались вопросом, действительно ли Элвис исследовал все возможные пути, чтобы выбрать оптимальный. Такой путь кажется чудовищно сложным для собаки. «Это позволяет предположить, – писали они, – что собаки, возможно, способны рассчитать… весь маршрут еще до того, как начнут бежать».

Французская пара исследователей предложила альтернативу: «Cобаки пытаются оптимизировать свое поведение, основываясь на каждом моменте». В любое отдельно взятое мгновение Элвис (или Сальса) просто должны были решить: бежать или плыть?

Если находишься далеко от мячика, бежать будет быстрее. Если близко, то путь по берегу получается слишком непрямым, и, таким образом, плыть оптимальнее. Элвису не надо рассчитывать весь путь заранее, ему просто нужно знать свою собственную скорость при беге и плавании и раз за разом выбирать более быстрый способ добраться до цели.

Эта стратегия кончается одним и тем же путем, тем не менее в ней нет «сложных бессознательных мысленных вычислений» глобальной оптимизации.

Возможно, собаки все-таки не владеют математическим анализом.

Случилось так, что эта статья – «Может быть, собаки просто оценивают относительную скорость, а не занимаются оптимизацией?» – попала к Пеннингсу для рецензии. «Какая чудная идея!» – подумал он и одобрил статью. (Непредвзятость – это черта истинного ученого.) Но неделю спустя в жаркий полдень Пеннингс вновь оказался на пляже вместе с Элвисом, и на этот раз они вместе плескались в воде, играя в «подай-принеси». Пеннингс бросал мяч, Элвис ловил его и приносил обратно.

– В какой-то момент, – вспоминает Тим, – я забросил мяч далеко. Пес поплыл к берегу, пробежал по пляжу, а затем поплыл обратно.

У профессора просто челюсть отвисла:

– Секундочку! Он двигался не к мячу! Он решал задачу в целом, а не проблему относительной скорости!

Если в каждый момент Элвис выбирал кратчайшее направление, тогда зачем он поплыл к берегу? Это уводило его от мячика. Только тип мышления, способный на глобальную оптимизацию, мог позволить выбрать такой путь. В результате появилась еще одна статья об Элвисе, на этот раз озаглавленная «Знают ли собаки о бифуркации?».

Многие годы Пеннингс и Элвис вместе посещали различные мероприятия. В завершение каждого разговора Тим ставил Элвиса на стол перед аудиторией.

– А теперь внимательно следите за его глазами и ушами, – советовал математик.

Затем тихим и таинственным голосом он спрашивал:

– Элвис, какой будет производная от х³?

Все глаза были устремлены на корги, а пес смотрел на Пеннингса, склонив голову.

– Видите это?! – восклицал профессор. – Видите, что он делает?

Еще одна многозначительная пауза.

– Он ничего не делает. Он никогда ничего не делает, когда я задаю ему этот вопрос.

Спойлер: собаки не владеют математическим анализом. Но естественный отбор – это мощное средство оптимизации. Чем быстрее собака сможет добраться до еды, тем выше ее шансы – и шансы ее детей – на выживание. Таким образом, со временем собаки, которые выбирают самые эффективные пути, начинают доминировать в популяции. Поколение за поколением собаки «учатся» математическому анализу. По той же самой причине шестиугольные ячейки сот уменьшают количество отходов, разветвление легких увеличивает площадь поверхности, а артерии млекопитающих минимизируют обратный кровоток. Природа каким-то странным образом владеет математическим анализом.

«Мы не знаем, почему Пеннингс так удивлен, – писали на сайте Национального дня чистопородных собак, – Элвис был псом породы вельш-корги пемброк, а мы все знаем, как ОНИ умны».

В самом деле, Элвис вскоре получил почетную докторскую степень колледжа Хоуп вместе с официальной грамотой и ярко-оранжевым капюшоном. Пеннингс сделал для Элвиса визитные карточки, но, пытаясь сократить латинскую фразу «собачий доктор наук», он случайно превратил ее в «собачий гинеколог». Вот таким получилось еще одно историческое удостоверение личности этой прокладывающей новые пути собаки.

В электронном письме Пеннингс поделился со мной своей коронной идеей, которую он вынашивал годами, – написать книгу под названием «Математика как ее понимают собаки». Снабженная фотографиями Элвиса книга должна была включать математический анализ (оптимизацию, относительные величины), высшую математику (бифуркации, теорию хаоса), некоторую часть гуманитарных наук, основные свойства построения моделей (иными словами, действительно ли Элвис начинает плыть, как только входит в воду? Да, потому что даже на мелководье его короткие 13-сантиметровые ноги не касаются дна)… и (это было во втором письме, которое пришло несколько мгновений спустя) урок скромности. Элвис, возможно, ничего и не знал о производной х³, но пес-профессор многому может нас научить.

Элвис умер в 2013 г. «Никакой собаке не нравится приближение смерти, – писал Тербер, – но я никогда не видел, чтобы пес демонстрировал человеческий панический страх перед ней. Для собаки смерть – это последнее неизбежное принуждение, последний неотвратимый след, который уводит по зловещей тропе».

– Элвис начал свой путь как собака, которая действительно была хорошим другом, – сказал мне Пеннингс. – К тому времени, когда он умер, он был моим хорошим другом, которому просто случилось быть собакой.

XV
Посчитаем!

Возможно, вы замечали, что в математике существует множество символов – разнообразный алфавит иксов, семерок и ■. В идеале тот, кто занимается математикой, должен знать, что эти символы означают: скрывается ли за х «пространство» или «время», указывает ли y на «годы» или «картофелины», говорит ли zzz о z³ или «храпе». Для каждого знака есть знач

Переводчик Виктория Краснянская

Научный редактор Константин Кноп

Редактор Антон Никольский

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта А. Шувалова

Арт-директор Ю. Буга

Корректоры М. Миловидова, И. Панкова

Компьютерная верстка А. Фоминов

© 2019 by Ben Orlin

© 2019 by Hachette Book Group, Inc.

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2021

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

⁂

ВСЕМ СТУДЕНТАМ И ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ ТЕХ ШКОЛ, КОТОРЫЕ СТАЛИ МНЕ ДОМОМ

Последовало молчание. Через какое-то время он спросил:

– Как ты пришла к этим мыслям о Боге?

– Я искала Бога, – ответила я. – Мне не нужна была мифология, мистика или магия. Я не знала, существует ли Бог на самом деле, но хотела узнать. Бог должен быть силой, которую не может отрицать никто и ничто.

– Чтобы совершать изменения?

– Да, изменения.

– Но это не Бог. Это не человек, не интеллект и даже не вещь. Это просто… Я даже не знаю. Идея.

Я улыбнулась. Было ли это критическое замечание таким ужасным?

ОКТАВИЯ БАТЛЕР.ПРИТЧА О СЕЯТЕЛЕ

Введение

Какой-то миллион дней назад философ Парменид спрашивал: «Что это – несозданное и неразрушимое, единственное, завершенное, неподвижное и бесконечное?» Это философия чистой воды. Парменид не признавал никакого разделения, никаких отличий, ни будущего, ни прошлого. «У Бытия нет ни прошлого, ни будущего, – объяснял он, – оно есть чистое настоящее, непрерывное и непрекращающееся». Для Парменида Вселенная была чем-то вроде транспортного потока в Лос-Анджелесе: вечной, единственной в своем роде и неизменной.

Миллион дней спустя эта идея продолжает выглядеть очень глупой.

Да ладно тебе, Парменид! Ты можешь убаюкивать нас стихами и засыпать прилагательным, но мы не так легковерны. Миллион дней назад не было ни буддистов, ни христиан, ни мусульман, потому что ни Будда, ни Иисус, ни Магомет еще не родились. Миллион дней назад итальянцы не ели томатный соус, потому что современной Италии[1] не существовало, а ближайшее место, где росли помидоры, было в десяти тысячах километров. Миллион дней назад по Земле ходило 50 или 100 миллионов человек; сегодня такое количество людей каждый год посещает тематические парки Диснея.

На самом деле, Парменид, миллион дней назад теми же самыми, что и сегодня, были только две вещи: (1) вездесущность изменений и (2) глубокомысленная и безнадежная неправильность твоей философии.

Парменид в последний раз упоминается в этой книге (хотя его преданный ученик Зенон еще появится позже). «Счастливое избавление от одетых в тоги неудачников», – сказал бы я. А теперь мы перенесемся через время, минуя более мудрого современника Парменида, Гераклита («нельзя войти в одну реку дважды»), чтобы оказаться в конце XVII в., каких-то 120 000 или 130 000 дней назад. Именно тогда ученый по имени Исаак Ньютон и энциклопедист Готфрид Лейбниц дали жизнь главному действующему лицу этой книги. Это был новый математический язык, язык изменений, попытка количественно оценить те движения и процессы, которые постоянно происходят вокруг нас на Земле.

Сегодня мы называем такую математику «математическим анализом».

Первый инструмент математического анализа – производная. Это мгновенный показатель изменения, демонстрирующий нам, как что-то развивается в определенный момент времени. Возьмите, к примеру, точную скорость яблока в то мгновение, когда оно ударило Ньютона по макушке. За секунду до этого фрукт двигался чуть-чуть медленнее, а секундой позже он направился совершенно в другую сторону, как и история всей физики. Но производную не заботит, что было секундой раньше или секундой позже. Она указывает только на этот момент, на бесконечно малый отрезок времени.

Второй инструмент математического анализа – интеграл. Это сумма бесконечных кусочков времени, каждый из которых чрезвычайно мал. Интеграл показывает, как можно объединить ряд дисков, каждый из которых по толщине напоминает самую тонкую пленку, так, чтобы создать твердое тело – сферу. Или как группа людей, крошечных и ничтожных, как атомы, может собраться вместе и создать целую цивилизацию. Или как ряд моментов, каждый из которых сам по себе продолжается ноль секунд, может составить час, столетие, вечность.

Каждый интеграл говорит о всей совокупности целиком, о галактических масштабах, которые каким-то образом могут попасть в панорамные объективы нашей математики.

Производная и интеграл имеют заслуженную репутацию как специализированные математические инструменты. Но я считаю, что они могут дать нам больше. Мы с вами словно крошечные суденышки, которые несет по волнам, захватывает в водовороты и бросает на скалы. Производная и интеграл, как я утверждаю, – это карманные философские системы, раздвижные весла для того, чтобы проложить путь через выходящую из берегов мировую реку.

Таким образом, эта книга является попыткой извлечь мудрость из математики.

В первой части – «Мгновения» – мы узнаем истории о производных. Каждая из них выхватывает момент из журчащего потока времени. Мы рассмотрим миллиметр лунной орбиты, крошку намазанного маслом бутерброда, беспорядочное движение пылинки и молниеносные решения, которые принимает собака. Если сравнить производную с микроскопом, то каждая из этих историй – тщательно выбранное изображение на предметном стекле, явление в миниатюре.

Во второй части – «Вечности» – мы обратимся к интегралу и его способности объединять бесконечно малые частицы в единый поток. Мы будем иметь дело с кругом, состоящим из крошечных частичек, с армией из несметного количества солдат, линией горизонта, образованной неотличимыми друг от друга строениями, и космосом, наполненным миллиардами триллионов звезд. Если уподобить интеграл кинотеатру, то каждая из этих историй – широкомасштабная эпическая поэма, которую вы должны смотреть в кино. Телевизора здесь будет недостаточно.

Я хочу сразу разъяснить, что книга, которую вы держите в руках, не научит вас математическому анализу. Это не структурированный учебник, а многоликий и скромно иллюстрированный «сборник фольклора», написанный обычным, не специальным языком для широкого круга читателей. Возможно, вы совершенно не знакомы с математическим анализом, а, может быть, плотно им занимаетесь, но я надеюсь, что эти истории в любом случае позабавят вас и станут небольшим откровением.

Эту книгу никоим образом нельзя считать законченной: в ней нет историй об искривлении света Ферма, тайной анаграмме Ньютона, невозможных функциях Дирака и многом другом. Но в постоянно меняющемся мире никакое сочинение не может быть исчерпывающим, никакая мифология не заканчивается. Река всегда течет и меняется.

БЕН ОРЛИН,ДЕКАБРЬ 2018 Г.

Момент перемен – это единственная поэма.

АДРИЕННА РИЧ

Мгновения

I

Мимолетное вещество времени

Яромир Хладик написал несколько книг, но они не принесли ему удовлетворения. В одной он видел «всего лишь прилежание»[2]. Другую характеризовали «небрежность, вялость, неточность». Третья пыталась доказать несостоятельность ошибочной идеи, но делала это с помощью «не менее ложных доказательств». Я сам давал жизнь лишь книгам, безупречным и сверкающим не более, чем рекламные ролики зубной пасты, но все же могу глубоко ему посочувствовать, особенно небольшому лицемерию, которое помогало Хладику в повседневной жизни. «Подобно всякому писателю, – говорит Хорхе Луис Борхес, – он судил о других по их произведениям, но хотел, чтобы о нем судили по замыслам».

А что же было в планах у Хладика? О, Хладик рад, что вы спросили! Он пишет драму в стихах «Враги», и ей предстоит стать никак не меньше, чем шедевром. Она войдет в его наследие, усмирит его шурина и даже вернет «фундаментальный смысл бытия». Но только если ему удастся преодолеть небольшое препятствие – ну знаете, написать ее.

Здесь я хочу извиниться перед читателями, потому что история принимает мрачный оборот. Хладика – еврея в захваченной фашистами Праге – арестовывает гестапо. За судом на скорую руку следует смертный приговор. Накануне казни герой обращается к Богу:

Если я не одна из Твоих ошибок и повторений, если я существую на самом деле, то существую лишь как автор «Врагов». Чтобы окончить драму, которая будет оправданием мне и Тебе, прошу еще год. Ты, кто владеет временем и вечностью, дай мне этот год!

Проходит бессонная ночь, наступает рассвет – время казни – и, когда сержант уже отдает последний приказ расстрельной команде, когда Хладик замирает в преддверии смерти, когда кажется, что все уже безвозвратно потеряно… Вселенная застывает.

Господь даровал Хладику тайное чудо. Это единственное мгновение с каплей, скатывающейся по его щеке, и смертоносными пулями, повисшими в воздухе, увеличилось, растянулось, расширилось. Мир остановился, но мысли героя нет. Теперь Хладик может закончить свою драму, составляя и доводя до совершенства строки в своем сознании. Этот момент будет длиться год.

Сейчас, на переломе судьбы, которой никто не мог бы позавидовать, Хладик получает подарок, способный стать предметом зависти любого.

«Цель каждого художника, – однажды написал Фолкнер, – художественными средствами остановить [на картине] течение самой жизни и закрепить его». (Разумеется, сам Хладик является плодом фантазии писателя Хорхе Луиса Борхеса.) «Tempus fugit», – писал Исаак Ньютон, что означает: время бежит. «Tempus fugit, – заявляли средневековые солнечные часы, – время бежит». Хотя наши цели различаются, все мы – художники, ученые и даже те болтливые невежды, которых мы зовем «философами», – охотимся за одним и тем же невероятным призом. Мы хотим поймать время, удержать в руках мгновение так, как это сделал Хладик.

Увы, время уклоняется и ускользает. Вспомните знаменитый «парадокс стрелы» от неисправимого греческого тролля Зенона Элейского.

Идея: представьте себе стрелу, летящую в воздухе. Теперь мысленно остановите ее, как это произошло при расстреле Хладика. Стрела по-прежнему движется? Нет, конечно, нет – стоп-кадр по определению является застывшим. В любой отдельно взятый момент стрела неподвижна. Но если время состоит из моментов, а ни в один момент стрела не движется… тогда как же она может двигаться?

Философы в Древнем Китае играли в подобные игры разума. «То, что не поддается измерению, не может быть собрано в целое, – писал один из них. – Оно имеет размер в тысячу километров». В математическом смысле мгновение не имеет измерений. Оно не обладает ни длиной, ни протяженностью. Оно длится ноль секунд. Но, поскольку ноль, умноженный на ноль, равен нулю, два мгновения также составляют нулевое время. Это же относится и к десяти мгновениям, и к тысяче, и к миллиону. Получается, что любое исчисляемое количество мгновений будет в целом продолжаться ноль секунд.

Однако если никакое количество мгновений никогда не складывается ни в какое время, то откуда взялись месяцы, годы и матчи по крикету? Как стремящиеся к нулю мгновения составляют бесконечную временну́ю линию?

Вирджиния Вульф отмечала, что время «заставляет растения и животных расцветать и увядать с потрясающей пунктуальностью». Но «не оказывает такого простого эффекта на сознание человека. Более того, его разум работает с одинаковой странностью, независимо от того, в каком времени находится тело».

Мы охотимся за моментами истории, уродуя время. С помощью песочных часов и размеченных свечей мы поделили день на часы. С помощью маятников и передаточных механизмов разбили часы на минуты (слово «минута» означает «малая» [часть часа]) и после этого – на секунды (более мелкая единица второго порядка, мельчайшая часть минуты). Далее мы разложили время на миллисекунды (половина взмаха крыльев мухи), микросекунды (яркий проблеск стробоскопа) и наносекунды (за каждую из которых свет совершает путешествие на 30 сантиметров), не говоря уж о пико-, фемто-, атто-, зепто- и йоктосекундах. Затем поток названий истощился, предположительно потому, что у доктора Сьюза кончились идеи, но мы продолжаем «мельчить» время. В конце концов вечность распадается на единицы планковского времени, составляющие примерно одну миллиардную триллионной доли йоктосекунды, или количество времени, необходимое для того, чтобы свет прошел пути через протон. Ни один инструмент не может выйти за пределы этой максимальной краткости: физики настаивают, что это наименьшая значимая единица времени, насколько мы можем его понимать (или, как я, не понимать).

Где же, где же ты, мгновение? Где-то за планковским временем? Если мы не можем ни собрать моменты в интервалы, ни разбить интервалы на моменты, так чем же тогда являются эти невидимые, неделимые вещи? Пока я пишу книгу в обычном мире бегущего времени, в каком же искрящемся немире создает свое произведение Хладик?

В XI в. математики впервые нащупали ответ на этот вопрос. В то время как европейские мудрецы рвали на себе волосы, пытаясь рассчитать дату Пасхи, индийские астрономы занимались предсказанием солнечных затмений. Им требовалась ювелирная точность. Астрономы начали членить единицы времени так давно, что прошло почти 1000 лет, прежде чем появились какие-то приборы, которые могли бы их измерить. Одна трути равна менее чем 1/30 000 секунды.

Эти бесконечно малые частицы времени проложили дорогу к понятию, которое называется таткалика-гати – мгновенное движение. Как быстро и в каком направлении движется Луна в данный конкретный момент?

А что насчет этого момента?

А как сейчас?

А сейчас?

В наши дни таткалика-гати известна под более скучным названием – производная.

Возьмем движущийся велосипед. Производная измеряет, как быстро изменяется его положение, то есть скорость велосипеда в отдельно взятый момент. На графике внизу это отражается в кривизне линии. Более крутая кривая указывает на более быстрый велосипед и, таким образом, бо́льшую производную.

Конечно, в любой отдельно взятый момент велосипед, как и стрела Зенона, неподвижен. Таким образом, мы не можем рассчитать производную в застывшем кадре. Вместо этого мы работаем с помощью сокращения интервала. Во-первых, определим скорость велосипеда в десятисекундный интервал, затем попробуем интервал в одну секунду, затем – 0,1 секунды, 0,01 и 0,001…

Таким хитрым способом мы незаметно подкрадываемся к мгновению, подступаем все ближе, ближе и ближе, пока рисунок не проступает совершенно явственно.

Для другого примера возьмем реакцию синтеза, когда два элемента соединяют свои молекулы, чтобы создать новый химический элемент. Производная измеряет, как быстро растет концентрация вещества, то есть скорость реакции в отдельно взятый момент.

Или представим себе остров, переполненный кроликами. Производная измеряет, насколько быстро меняется размер популяции, то есть скорость ее роста в данный конкретный момент. (Для этого графика мы должны на непродолжительное время принять выдумку о «дробных кроликах», но если ваша вера в невероятное зашла столь далеко, то, я уверен, вы справитесь с любой задачей.)

Этот «хлеб с маслом» всех математиков странным образом похож на поэтическую фантазию. Производная – «мгновенное изменение», она захватывает движение в отдельный момент, как будто ловит молнию в бутылку. Это отрицание Зенона, который сказал, что в отдельно взятое мгновение ничего случиться не может, и оправдание Хладика, который верил, что за один момент может произойти все что угодно.

Теперь, вероятно, вы можете себе представить, как закончилась история Хладика. 12 месяцев он сочинял свою пьесу. «Он трудился не для потомства, – говорит Борхес, – даже не для Бога, чьи литературные вкусы были ему неведомы». Он писал для себя. Он работал, чтобы удовлетворить то, что Томас Вулф считал вечной жаждой художника:

…Навечно закрепить в нерушимых структурах единственный момент человеческого бытия, единственный момент красоты жизни, страсти и неописуемого красноречия, который проходит, загорается и гаснет, всегда просачиваясь сквозь наши пальцы с течением песчинок времени, навсегда ускользающих от нашей отчаянной хватки, ибо река течет и удержать ничего нельзя.

Хладику удалось удержать реку. Не имеет никакого значения, что «Врагов» никто никогда не прочтет или что пули через краткий промежуток времени возобновят свой путь. Важно только то, что он дописал книгу, которая теперь будет существовать всегда, в этот единственный момент, который сам по себе является вечностью.

II

Вечно падающая Луна

Исаак Ньютон был любопытным ребенком. Здесь под «любопытным» я подразумеваю «жадным до знаний», а также «очень странным». В одной из историй говорится, что чтение так захватывало юного гения, что его домашняя кошка растолстела, подъедая нетронутые завтраки, обеды и ужины. Или вспомните о том, как он впервые провел исследование по оптике. Встречали ли вы когда-нибудь настолько любопытного ребенка, чтобы он рискнул своим зрением ради проблеска истины? В своем дневнике Ньютон писал: «Я брал шпильку [палочку с тупым концом] и вдавливал ее между глазом и костью, как можно ближе к боковой части глаза. Нажатие… приводило к появлению нескольких светлых, темных и цветных кругов».

Жаль, но сегодня мы редко вспоминаем Ньютона как калечащего самого себя владельца тучной домашней кошки. Вместо этого мы помним его как гения, которому на голову упало яблоко.

На самом деле сила воздействия фрукта на его мозг преувеличена. Как рассказывал сам сэр Исаак Ньютон, все, что потребовалось для того, чтобы часы его разума совершили историческое движение, – это быстро промелькнувшее перед глазами падающее яблоко. «Сидя в саду в одиночестве, – вспоминал Генри Пембертон, друг Ньютона, – он начал размышлять о силе тяготения». Падение яблока навело ученого на мысль о том, что, как бы высоко мы ни поднялись – на крышу, на вершину дерева или горы, – притяжение не исчезает. Оно, перефразируя слова Альберта Эйнштейна, является «жутким действием на расстоянии». Вещество Земли, кажется, притягивает вещество других тел, независимо от того, как далеко они находятся.

Любопытный молодой человек пошел дальше. (На этот раз никаких булавок, только размышления.) Что, если притяжение простирается дальше вершин гор? Что, если его сила действует гораздо дальше, чем мы можем предположить?

Что, если она достигает Луны?

Аристотель никогда не верил в это. Звезды выстраиваются в идеальный порядок, словно ноты в музыкальной симфонии или родственники моей жены, организующие торжественный обед. Жизнь на Земле – анархия, источник беспорядка, как я, когда устраиваю ужин для друзей. Как эти два королевства могут следовать одним и тем же законам? Какой сумасшедший, пытавшийся выколоть себе глаза, решится объединить земное и небесное?

Весной 1666 г. этот сумасшедший 23 лет от роду отдыхал в тенистом саду своей матери. Он увидел, как падает яблоко, а затем, в порыве вдохновения, представил еще одно падающее яблоко, на этот раз на том расстоянии, где находится Луна. Один маленький шаг для Apple, гигантский скачок для фрукта.

Ньютон приблизительно представлял, о каком расстоянии идет речь: если взять за единицу расстояние от поверхности Земли до ее центра, то Луна находится примерно в 60 таких единицах.

Как может вести себя притяжение при таком огромном удалении?

Даже самые высокие горы не предлагают никакой подсказки. В масштабах космоса, по сравнению с Луной, вершина Эвереста, считай, что вовсе не удалена от поверхности Земли – так, выступает над ней на толщину волоска… Но давайте предположим – с помощью грандиозного и слегка нарушающего ход истории «скачка», – что притяжение ослабевает на больших расстояниях. Чем больше вы удаляетесь, тем слабее его сила. Сейчас я ссылаюсь на знаменитый закон обратного квадрата Ньютона.

Если расстояние увеличивается вдвое, то сила притяжения составляет 1/4.

Если возрастает втрое – 1/9.

При десятикратном увеличении – всего 1/1000.

Наше великолепное яблоко, путешествующее по космосу, оказавшись в 60 раз дальше от ядра Земли по сравнению со своими висящими на яблоне братьями и сестрами, подвергнется всего 1/3600 силы притяжения. Если вы никогда не делили на 3600, позвольте мне сообщить: этот процесс делает вещи намного меньше.

Бросьте яблоко у поверхности Земли, и за первую секунду оно упадет на 4,9 м. Это примерно уровень второго этажа здания.

Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер[3] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские[4] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.

А что теперь? Следующим шагом Ньютона было изящное геометрическое доказательство. Построим прямоугольный треугольник. Нам нужно узнать длину гипотенузы (самой длинной стороны). Поэтому впишем его в более крупный треугольник, сохраняющий те же пропорции.

Поскольку треугольники являются подобными, их стороны соотносятся одинаково:

Решив уравнение, получаем следующий ответ

Как вы помните, наше яблоко опускается с малой скоростью 1 мм/с – около 3 % скорости ленивца на поверхности земли. И тем не менее, чтобы удержать фрукт на орбите, мы должны запустить его со скоростью 1 км/с, что примерно в три раза больше скорости звука.

Казалось бы, невероятно, немыслимо! Луна падает как брошенное в сторону яблоко? Действительно, сэр Исаак? Можете ли вы подтвердить этот смешной мысленный эксперимент какими-либо – как это называется – доказательствами?

Ну, давайте прикинем время, за которое наше лунное яблоко сделает оборот по орбите вокруг Земли. На таком большом расстоянии ему придется пройти путь в 2,5 млн км по окружности. При движении со скоростью чуть больше 1 км/с сколько времени займет это путешествие?

Ха, вы только посмотрите на это! Наши расчеты совпали – с погрешностью менее 0,7 % – с периодом реальной лунной орбиты. Это удивительным образом подтверждает теорию Ньютона: Луна действительно падает, как огромное яблоко сорта «ред делишес» (и ее почти так же хочется съесть). Как заключил биограф Джеймс Глейк:

Яблоко само по себе ничего не значило. Оно представляло только половину пары – второй в ней была Луна… Яблоко и Луна сошлись при случайном стечении обстоятельств, создали обобщение, связали явления разного масштаба: близкое и далекое, обыкновенное и неизмеримое.

Теорию сэра Исаака трудно переоценить. Она определяет единственную универсальную силу, которая управляет земным и небесным королевствами, и порождает современный взгляд на реальность – механическая Вселенная, работающий как часы космос, подчиняющийся ясным, недвусмысленным и нерушимым законам, развиваясь от одного мгновения к другому.

Французский ученый Пьер-Симон Лаплас сказал об этом так: вообразите себе могучий ум, которому ведомы расположение всех предметов и мощность каждой силы. Подобный разум должен был бы знать все. «Ничего не было бы определенным, – сказал Лаплас, – а будущее, как и прошлое, стояли бы перед его глазами».

Весь мир – это дифференциальное уравнение, а все люди – всего лишь его переменные.

Не все приняли точку зрения Ньютона. Поэт Уильям Блейк не стал стесняться в выражениях и заявил: «Наука – это древо смерти». Писатель Алан Мур разъяснял: «Для Блейка границы мысли Ньютона были холодными каменными стенами внутреннего подземелья, куда заключено все человечество».

Сильно сказано!

Как бы то ни было, у Ньютона имелись полчища настоящих защитников. Перекрывая рекорды Александра Поупа («Был этот мир глубокой тьмой окутан. / Да будет свет! И вот явился Ньютон»[5]) и Уильяма Вордсворта («Тихое лицо / Как циферблат ума, что в одиночку / Плывет сквозь мысли странные моря»[6]), одним из самых яростных адвокатов Ньютона был философ и фанат науки Вольтер, который называл ученого «творческим духом», «нашим Христофором Колумбом» и (возможно, несколько перегибая палку) «божеством, которому я приношу жертвы». Именно Вольтеру мы обязаны одним из самых поэтических описаний математического анализа в истории: «искусство вычислять и измерять именно то, существование чего не может быть постигнуто», а также популярностью истории о яблоке, которое он поместил в центр интеллектуальных исканий ученого.

Если учесть, какой ореол мифов окутывает ее, насколько мы можем доверять сказке о яблоке?

«Эта история, разумеется, правда, – говорит Кейт Мур, глава архивов Королевского общества, – но, следует признать, ее можно было бы рассказать получше». Ньютон и сам подогревал интерес к этому случаю вместо того, чтобы честно рассказать о том, какими маленькими шажками и рывками наука постепенно движется к прогрессу. Не стоит забывать, что 15 лет он провел, совершенствуя свои теории, опираясь на работы Галилея, Евклида, Декарта, Валлиса, Гука, Гюйгенса и множества других ученых. Теории появляются на свет не просто так, у них есть корни. Они растут. В тот момент в нашем саду знаний еще не произросло полноценное понимание гравитации. Солнце только согрело своими лучами его первые ростки.

III

Радости полета бутерброда

Перебравшись в Англию и впервые переступив порог частной школы, насчитывающей 462 года истории, где я должен был стать преподавателем, я никак не мог поверить в свою удачу. Каждое утро учителя собирались в комнате отдыха и пили чай с бутербродами. Понятия «комната отдыха преподавателей» и «перерыв» уже были мне знакомы по прежнему месту работы. Но каждое утро бывать на пиру, словно в ожившей иллюстрации из жизни Хогвартса? «Я никогда к этому не привыкну», – говорил я своим новым коллегам.

Но я привык.

Ученые называют это ослаблением реакции на раздражитель. Это означает, что у меня было зрение, как у динозавра: хорошо натренированный замечать то, что движется, я не замечал всего, что неподвижно, даже если оно было намазано маслом. Возможно, это явление имеет объяснение с точки зрения эволюционной психологии, а может быть, я неблагодарная скотина, но в любом случае привыкание поддается систематизации с точки зрения математики. Мы растем, привыкая к функции, каких бы высот она ни достигала. С течением времени для того, чтобы привлечь наше внимание, требуется производная – ненулевая величина изменений. Только более новая новизна может захватить нас.

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» – она выводится, или производится.

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

– А есть еще и вторая производная, – сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

– Расскажи мне.

– Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

– Производная – это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься все быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

– Хм-м-м-м, – Джеймс прикусил губу. – Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная… положительная, верно?

– Да!

– А если улучшение замедляется, – продолжил он, – тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

– Да.

– Мне это нравится, – сказал Джеймс. – Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

– Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

– О-о-о, дай подумать! – Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. – Это означает… Я счастлив… И я становлюсь менее счастлив… Но снижение моего уровня счастья замедляется?

– Все верно.

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив!» или «Человек грустит!». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры – аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p´´, или «p два штриха».)

Производные и вторые производные дают четкую информацию. Чтобы понять разницу, представьте себе ракету сразу после отрыва от земли, когда лица астронавтов расползаются, как желе. Скорость еще низкая, но изменения происходят быстро, поэтому ускорение высокое.

Может быть и обратная ситуация. Летящий на эшелоне самолет имеет высокую скорость, но она является постоянной и не меняется, поэтому ускорение равно нулю.